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2021-2022学年河南省永城市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
2．（3分）用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是
A． B． C． D．
3．（3分）在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽
，则油的最大深度为
A． B． C． D．
4．（3分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸
出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是
A． B． C． D．
5．（3分）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是
A．图象经过点
B．图象在第一、三象限
C．当 时，
D．当 时， 随着 的增大而增大
6．（3分）已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图
（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是
第1页（共26页）A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
7．（3分）如图，已知 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于
A． B． C． D．
8．（3分）无论 为何值，关于 的一元二次方程 的根的情况
A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
9．（3分）在平面直角坐标系中，把点 向右平移8个单位得到点 ，再将点 绕原点
顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
10．（3分）二次函数 的大致图象如图，下列结论错误的为
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
第2页（共26页）11．（3分）如图，直线 ，则图中 的值为 ．
12．（3分）已知方程 的根是 ， ，则 的值是 ．
13．（3分）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形（阴影部分），
则此扇形的面积为 ．
14．（3分）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到△
的位置，使得 ，则 的度数为 ．
15．（3分）如图，函数 与函数 的图象相交于点 ， ．若 ，
则 的取值范围是 或 ．
16．（3分）若点 ， ， ， ， 都在二次函数 的图象
上，则 ， ， 的大小关系用小于号连接起来正确的结果是 ．
三、解答下列各题（共8个小题，满分72分）
17．（8分）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠
第3页（共26页）肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月
份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
18．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为
（单位：吨 小时），卸完这批货物所需的时间为 （单位：小时）．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
19．（8分）已知二次函数 ．
（1）请把二次函数的解析式化成 的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点
坐标和对称轴；
（2）请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）．
20．（9分）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和
书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南
”九 班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，
下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为 米（眼睛以上的高度
忽略不计），测量时小永的影长为 米，雕塑的影长为 米；利用小镜测量时，小永离镜子的
距离为 米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为 米．请你帮助小永选择其中一个方案，
画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示）．
第4页（共26页）21．（9分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；
另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次
转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出
一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，
此游戏公平吗？为什么？
22．（9分）如图，在 中， ，点 在 上，以 长为半径的 交 于 点，
垂直平分 交 于 点，交 于 点，连接 ．
求证：直线 与 相切．
23．（10分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，顶点为 ，
点 为线段 上一个动点， 轴，垂足为点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，补全图形并求点 的坐标．
第5页（共26页）24．（11分）【问题提出】如图1，四边形 中， ， ， ，
， ，求四边形 的面积．
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到
，则 的形状是 ．
（2）在（1）的基础上，求四边形 的面积．
【类比应用】如图3，四边形 中， ， ， ， ，
，求四边形 的面积．
第6页（共26页）2021-2022学年河南省永城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水涨船高是必然事件， 不正确；
守株待兔是随机事件， 正确；
水中捞月是不可能事件， 不正确
缘木求鱼是不可能事件， 不正确；
故选： ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一
定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是
A． B． C． D．
【分析】方程两边加上一次项一半的平方，据此即可判断．
【解答】解： ．用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上 ，不
合题意；
．用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上4，不合题意；
．用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上16，符合题意；
．用配方法解一元二次方程 时，应当在方程的两边同时加上64，不合题意；
故选： ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽
，则油的最大深度为
第7页（共26页）A． B． C． D．
【分析】连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交圆 于点 ，由垂径定理求出
的长，再根据勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．
【解答】解：连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交圆 于点 ，
直径为 ， ，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题
的关键．
4．（3分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸
出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是
A． B． C． D．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后
根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，
第8页（共26页）所以两次都摸到白球的概率是 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有 种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率 （A） 是解题关键．
5．（3分）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是
A．图象经过点
B．图象在第一、三象限
C．当 时，
D．当 时， 随着 的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解： 、 ， ， 图象经过点 ，正确；
、 ， 图象在第一、三象限，正确；
、 ， 图象在第一象限内 随 的增大而减小， 当 时， ，正确；
、应为当 时， 随着 的增大而减小，错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当 时，函数图象在第一、三象限，在每个象限
内， 的值随 的值的增大而减小．
6．（3分）已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图
（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是
A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
【分析】在图（1）中，根据三角形内角和定理求出 ，根据两角对应相等的两个三角形相似
第9页（共26页）证明；在图（2）中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
【解答】解：在图（1）中， ，
则 ， ，
；
在图（2）中， ， ，
，又 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．（3分）如图，已知 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据 是 的直径，可得 ，根据同弧所对圆周角相等可得
，进而可得 的度数．
【解答】解： 是 的直径，
，
，
，
即 ．
故选： ．
第10页（共26页）【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．在同圆或等圆中，圆周
角是所对圆心角的一半．
8．（3分）无论 为何值，关于 的一元二次方程 的根的情况
A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】将原方程变形为一般式，由根的判别式△ ，可得出：无论 为何值，原方
程有两个不相等的实数根．
【解答】解：原方程可变形为 ．
△ ．
，
，即△ ，
无论 为何值，原方程有两个不相等的实数根．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△ 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的
关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，把点 向右平移8个单位得到点 ，再将点 绕原点
顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，画出图形可得结论．
【解答】解：观察图象可知， ， ，
第11页（共26页）故选： ．
【点评】本题考查坐标与图形变化 旋转，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利
用图象法解决问题．
10．（3分）二次函数 的大致图象如图，下列结论错误的为
A． B． C． D．
【分析】①由二次函数 的图象与 轴交点个数可判断 ；
②由于当 时， ，而根据图象知道当 时 ，由此即可判定 的
符号；
③根据图象知道函数的最小值为 ，由此即可判定此结论正确；
④根据图象的对称轴为即可判定答案错误
【解答】解： 二次函数 的图象与 轴有两个交点，
．
故 正确．
当 时， ，
而根据图象知道当 时 ，
．
故 正确．
第12页（共26页）根据图象知道函数的最小值为 ，
．
故 正确．
从图象可知抛物线的对称轴为 ，
．
故 错误．
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用图象求出 ， ， 的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，
解决本题的关键是正确看图．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，直线 ，则图中 的值为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的
关键．
12．（3分）已知方程 的根是 ， ，则 的值是 1 ．
【分析】先将已知方程转化为一般式，然后利用根与系数的关系解答．
【解答】解：由方程 ，得 ．
方程 的根是 ， ，
第13页（共26页）．
故答案是：1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的
关系为： ， ．
13．（3分）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形（阴影部分），
则此扇形的面积为 ．
【分析】连接 ，根据圆周角定理得出 为圆的直径，解直角三角形求出 ，根据扇形面
积公式求出即可．
【解答】解：连接 ，
从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，即 ，
为直径，即 ， （扇形的半径相等），
，
，
阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
14．（3分）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到△
的位置，使得 ，则 的度数为 ．
第14页（共26页）【分析】由旋转的性质可得 ， ，由等腰三角形的性质可求
，即可求解．
【解答】解： ，
，
将 绕点 旋转到△ 的位置，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题
的关键．
15．（3分）如图，函数 与函数 的图象相交于点 ， ．若 ，
则 的取值范围是 或 ．
【分析】观察函数图象得到当 或 时，一次函数图象都在反比例函数图象的下方，
即 ．
【解答】解：由图象可知， 时的 的取值范围为 或 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出
不等式的解集是解答此题的关键．
16．（3分）若点 ， ， ， ， 都在二次函数 的图象
第15页（共26页）上，则 ， ， 的大小关系用小于号连接起来正确的结果是 ．
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可得到
结论．
【解答】解： 函数 过点 ， ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
点 与点 关于直线 对称，且 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
三、解答下列各题（共8个小题，满分72分）
17．（8分）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠
肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月
份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为 ，则二月份平均日产量为 个，三月
份平均日产量为 个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于 的
一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量 三月份平均日产量 增长率），即可预计出四月份平均日产
量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为 ，则二月份平均日产量为 个，
三月份平均日产量为 个，
依题意得： ，
第16页（共26页）解得： （不合题意，舍去）， ．
答：口罩日产量的月平均增长率为 ．
（2） （个 ．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
18．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为
（单位：吨 小时），卸完这批货物所需的时间为 （单位：小时）．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
【分析】（1）直接利用 进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得： ，
则 ；
（2） 不超过5小时卸完船上的这批货物，
，
则 ，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
19．（8分）已知二次函数 ．
（1）请把二次函数的解析式化成 的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点
坐标和对称轴；
（2）请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）．
第17页（共26页）【分析】（1）利用配方法得到 ，则根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐
标、对称轴；
（2）解方程 得抛物线与 轴的交点坐标，然后描点画出二次函数的图象．
【解答】解：（1） ，
所以抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
（2）当 时， ，解得 ， ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
，
如图，
．
【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数的三种表现形式，正确求出二次函数
顶点坐标是解题关键．
20．（9分）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和
第18页（共26页）书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南
”九 班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，
下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为 米（眼睛以上的高度
忽略不计），测量时小永的影长为 米，雕塑的影长为 米；利用小镜测量时，小永离镜子的
距离为 米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为 米．请你帮助小永选择其中一个方案，
画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示）．
【分析】根据同一时刻，物长与影长的比相等列比例式，即可得到结论．
【解答】解： 小永身高为 米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为 米，雕塑
的影长为 米，
雕塑的高度 米，
答：雕塑的高度为 米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物长与影长的比相等是解题的关
键．
21．（9分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；
另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次
转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出
一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，
此游戏公平吗？为什么？
第19页（共26页）【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为3的倍数”“和为7的倍数”的概率
即可．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ；
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
， ，
因此游戏是公平的．
【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种
结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
22．（9分）如图，在 中， ，点 在 上，以 长为半径的 交 于 点，
垂直平分 交 于 点，交 于 点，连接 ．
求证：直线 与 相切．
第20页（共26页）【分析】连接 ，如图，根据线段垂直平分线的性质得 ，则 ，再利用等
量代换计算出 ，则 ，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：连接 ，如图，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 是 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，顶点为 ，
点 为线段 上一个动点， 轴，垂足为点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，补全图形并求点 的坐标．
第21页（共26页）【分析】（1）由 ，得 ， ，用待定系数法即得抛物线的解析式为
；
（2）过 作 轴于 ，过 作 于 ，由 ，得抛物线
顶点 ，即可得 ，设直线 解析式是 ，用待定系数法
得 直 线 解 析 式 是 ， 设 ， 则 ，
， ，根据 ，即得
，即可解得 ，从而 ， ．
【解答】解：（1） ，
， ，
将 ， 代入 得：
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图：
第22页（共26页）过 作 轴于 ，过 作 于 ，
，
抛物线顶点 ，
． ，
，
，
，
设直线 解析式是 ，
，解得 ，
直线 解析式是 ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
解得 ，
，
， ．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、锐角三角函数等知识，解题的关键是
第23页（共26页）用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
24．（11分）【问题提出】如图1，四边形 中， ， ， ，
， ，求四边形 的面积．
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到
，则 的形状是 等边三角形 ．
（2）在（1）的基础上，求四边形 的面积．
【类比应用】如图3，四边形 中， ， ， ， ，
，求四边形 的面积．
【分析】（1）易证 ，则 ， ，所以 是等边三角形；
（2）知等边三角形的边长为3，求出 即可；
【类比应用】类比（1），连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，
得到 ，连接 ，延长 ，作 ；易证 是等腰直角三角形， 是等
腰直角三角形，利用勾股定理计算 ， ，求 和 的面积和即
可．
【解答】解：（1）如图2，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转
，得到 ，
，
是等边三角形；
（2）由（1）知， △ ，
四边形 的面积 等边三角形 的面积，
第24页（共26页），
；
【类比应用】如图3，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，
得到 ，
连接 ，延长 ，作 ；
，
△
，
， ，
，
，
，
，
，等边 ， 上的高 ，
，
，
．
第25页（共26页）【点评】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构
造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．
第26页（共26页）
