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2021-2022学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（4分）若 ＝ ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（
）
A．12 B．6 C．4 D．3
3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）已知∠ 为锐角，且sin ＝ ，则∠ ＝（ ）
α α α
A．30° B．45° C．60° D．90°
第1页（共27页）5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（4分）关于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣2
7．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（
）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF
的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8
9．（4分）已知点A（﹣7，y ），B（﹣4，y ），C（5，y ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞
BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S ，S ，S ，S
1 2 3 4
表示，则下列判断正确的是（ ）
第2页（共27页）A．S ＝4S B．S ＝3S C．S ＝S D．S ＝S
1 2 4 2 1 3 3 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ ．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是 ．
13．（4分）若抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），则k的值是 ．
14．（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，
2），则点A的坐标是 ．
15．（4分）如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距
离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是
m．（图中CD，FG均表示小明身高）
16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y ），（m﹣3，n），（﹣1，0），
1
（3，y ），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y ＞y ；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为
2 1 2
x ＝﹣1，x ＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序
1 2
号）．
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．求证：
AE＝AF．
第3页（共27页）19．（8分）已知变量y与x成反比例函数关系，其部分对应数值如表格所示：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 a 2 1.5 1 …
（1）求y与x的函数关系式，及表中a的值；
（2）根据表格中对应数值，在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象．
20．（8分）为杜绝家禽散养，美化环境，乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地，
围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所，并用隔栏隔成两个等宽的矩形，圈养场一
边利用长为8m的墙，另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成．已知该场所的总面积为
18m2，求与墙平行的边BC的长．
21．（8分）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角
度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O
的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座
第4页（共27页）的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°＝ ，cos37°
＝ ，tan37°＝ ）
22．（10分）某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩，吸引了大量学生参与．规则是：付3
元钱摸彩一次，每次从奖箱中摸出两个球，若两个球中一个是红球，则奖励3元；若两个球
都是红球则奖励10元；若摸到的两个球都是白球则无奖金．为了揭示摸彩的危害性，经打
探得知奖箱中共有6个球，其中4个是白球，2个是红球．
（1）若花3元钱摸一次彩，求能获奖的概率；
（2）从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算．
23．（10分）如图，已知 ABCD，点F在AB延长线上，CF⊥AB．
（1）尺规作图：在BC边▱上找一点E，使得△DCE∽△CBF（保留作图痕迹，不写作法，不必
证明）；
（2）在（1）条件下，若点E为BC中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．
24．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折
叠，点A落在点F处，连接FC，FD．
（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；
（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；
（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．
第5页（共27页）25．（13分）已知抛物线G ：y＝﹣x2+2mx+m和G ：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A
1 2
的直线l：y＝kx+b与抛物线G 交于另一点B，与抛物线G 交于另一点C，抛物线G 的顶
1 2 1
点为点M，抛物线G 的顶点为点N．
2
（1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
（2）当m＝﹣3，n＝2，且直线l∥x轴时，求证：MB＝NA；
（3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
第6页（共27页）2021-2022学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（4分）若 ＝ ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；
合分比性质；等比性质．
2．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（
）
A．12 B．6 C．4 D．3
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CD＝ AB＝ ×12＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
的一半是解题的关键．
第7页（共27页）3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有
一条纵向的虚线．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（4分）已知∠ 为锐角，且sin ＝ ，则∠ ＝（ ）
α α α
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠ 为锐角，且sin ＝ ，
α α
∴∠ ＝30°．
故选α：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AE的长为（ ）
第8页（共27页）A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，
∴ ，
∴ ，
解得：AE＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理
是解题关键．
6．（4分）关于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣2
【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得
出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，
∴其图象开口向上，其顶点为（1，﹣2）．
∴函数的最小值为﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的
关键．
7．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（
）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选
项进行判断．
第9页（共27页）【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF
的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2，
∴其位似比为1：4．
故选：B．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应
的面积比等于相似比的平方．
9．（4分）已知点A（﹣7，y ），B（﹣4，y ），C（5，y ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y ，y ，y 的大小，从而可以解答本题．
1 2 3
【解答】解：∵点A（﹣7，y ），B（﹣4，y ），C（5，y ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，
1 2 3
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限，
∵﹣7＜﹣4，0＜5，
∴y ＜y ＜0＜y ，
2 1 3
即y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：D．
第10页（共27页）【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反
比例函数的性质解答．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞
BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S ，S ，S ，S
1 2 3 4
表示，则下列判断正确的是（ ）
A．S ＝4S B．S ＝3S C．S ＝S D．S ＝S
1 2 4 2 1 3 3 4
【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论．
【解答】解：设AB＝a．
∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，
∴AD＝AE＝ a，BE＝BC＝a（1﹣ ）＝ a，
∴S△ADE ＝ •（ a）2＝ a2，S△ABC ＝ ×a× a＝ a2，
∴S△ADE ＝S△ABC ，
即S +S ＝S +S ，
1 2 2 3
∴S ＝S ，
1 3
故选：C．
【点评】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ ．
【分析】根据正弦的定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正
第11页（共27页）弦，记作sinA．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是 x ＝ 0 ， x ＝ 2 ．
1 2
【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相
乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0，
x ＝0，x ＝2．
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因
式分解法．
13．（4分）若抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），则k的值是 0 ．
【分析】由抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），利用二次函数图象上点的坐标特征可
得出2＝1﹣k+1，解之即可得出k值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），
∴2＝1﹣k+1，
∴k＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记图象上任意一点的坐标都满足函
数关系式是解题的关键．
14．（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，
2），则点A的坐标是 （﹣ 2 ， 3 ） ．
【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以
OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
第12页（共27页）∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需
要的辅助线是解题的关键．
15．（4分）如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距
离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是
2 m．（图中CD，FG均表示小明身高）
【分析】根据题意得到AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，得到CD∥AB，GF∥AB，根据相似三
角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，∵AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，
第13页（共27页）∴CD∥AB，GF∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△MGF∽△MBA，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：FM＝2，
答：此时他的影长是2m，
故答案为：2．
【点评】本题看了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的
高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边
的比相等的性质求物体的高度．
16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y ），（m﹣3，n），（﹣1，0），
1
（3，y ），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y ＞y ；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为
2 1 2
x ＝﹣1，x ＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 ①②③
1 2
（填写序号）．
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，
用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，
由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可
得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝ ＝2．
∴﹣ ＝2．
第14页（共27页）∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如下图：
由图象可知：y ＞y ，
1 2
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
第15页（共27页）∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函
数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移项，得x2+4x＝2，
两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用开平方法，得 或 ，
∴原方程的根是 ， ．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难
度适中．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．求证：
AE＝AF．
【分析】根据菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的
性质即可得到AE＝AF．
【解答】证明：四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
第16页（共27页）∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OF＝OE，
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的
关键．
19．（8分）已知变量y与x成反比例函数关系，其部分对应数值如表格所示：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 a 2 1.5 1 …
（1）求y与x的函数关系式，及表中a的值；
（2）根据表格中对应数值，在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象．
【分析】（1）设y与x成反比例函数关系式为y＝ （k≠0），再将（1，6）代入即可求出k，把
x＝2代入关系式可求出a；
（2）描点，连线即可．
【解答】解：（1）设y与x成反比例函数关系式为y＝ （k≠0），
由表格中的数据可知，当x＝1时，y＝6，
∴6＝ ，解得k＝6，
∴y与x成反比例函数关系式为y＝ ，
当x＝2时，y＝ ＝3，即a的值为3．
第17页（共27页）（2）根据表格中的数据在坐标系上画出函数图象（x＞0），如下图所示：
【点评】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比
例函数．
20．（8分）为杜绝家禽散养，美化环境，乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地，
围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所，并用隔栏隔成两个等宽的矩形，圈养场一
边利用长为8m的墙，另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成．已知该场所的总面积为
18m2，求与墙平行的边BC的长．
【分析】设与墙垂直的一边长AB＝xm，则与墙平行的一边长为BC＝（15﹣3x）m，根据花圃
面积为18m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设与墙垂直的一边长AB＝xm，则与墙平行的一边长为BC＝（15﹣3x）m，
根据题意得：AB•BC＝18，
即x（15﹣3x）＝18．
解得：x ＝2，x ＝3，
1 2
当x＝2时，15﹣3x＝9＞8（舍去），
当x＝3时，15﹣3x＝6＜8，
则15﹣3x＝6m．
答：与墙平行的边BC的长6m．
第18页（共27页）【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据场所的面积列出关于x的一元二次方
程是解决问题的关键．
21．（8分）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角
度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O
的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座
的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°＝ ，cos37°
＝ ，tan37°＝ ）
【分析】过点B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在
Rt△ABC中求出AB即可解决问题．
【解答】解：过点B作BC⊥OA于C，如图．
在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，
∴BC＝OB•sin∠BOC＝2× ＝ ，
OC＝OB•cos∠BOC＝2× ＝ ，
∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣ ＝ ，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝ ．
故液压臂AB的长为 m．
第19页（共27页）【点评】本题考查了解直角三角形，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数
学模型，把实际问题转化为数学问题．
22．（10分）某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩，吸引了大量学生参与．规则是：付3
元钱摸彩一次，每次从奖箱中摸出两个球，若两个球中一个是红球，则奖励3元；若两个球
都是红球则奖励10元；若摸到的两个球都是白球则无奖金．为了揭示摸彩的危害性，经打
探得知奖箱中共有6个球，其中4个是白球，2个是红球．
（1）若花3元钱摸一次彩，求能获奖的概率；
（2）从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可，找出符合条件的情况数，
再根据概率公式即可得出答案；
（2）求出奖金平均数，再与3进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
白 白 白 白 红 红
白 （白，白） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红）
红 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红）
红 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红）
共有30种等可能的情况数，其中能获奖的有18种，
则能获奖的概率是 ＝ ；
（2）摸彩对参与的学生不合算，
第20页（共27页）奖金平均数是： ×3+ ×10＝ ＜3，
则摸彩对参与的学生不合算．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，已知 ABCD，点F在AB延长线上，CF⊥AB．
（1）尺规作图：在BC边▱上找一点E，使得△DCE∽△CBF（保留作图痕迹，不写作法，不必
证明）；
（2）在（1）条件下，若点E为BC中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E即可；
（2）根据勾股定理求出CB的长，再根据△DCE∽△CBF，对应边成比例即可求解．
【解答】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）在 ABCD中，BC＝AD＝8，AB＝CD，
∵CF⊥A▱B，BF＝3，
∴CB＝ ＝ ＝ ，
∵点E为BC中点，
∴CE＝BE＝ BC＝4，
∵△DCE∽△CBF，
∴ ＝ ，
第21页（共27页）∴ ＝ ，
∴DC＝ ，
∴AB＝DC＝ ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握
基本作图方法．
24．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折
叠，点A落在点F处，连接FC，FD．
（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；
（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；
（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．
【分析】（1）利用中点、折叠的性质和等腰三角形性质即可证得结论；
（2）如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB
长为半径作 B，则点F在 B上运动，根据sin∠FCB＝ ＝ ，可知：sin∠FCB的值随
⊙ ⊙
BG的增大而增大，BG越大则sin∠FCB的值越大，当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此
时BG最大，sin∠FCB的值也最大，再根据三角函数定义即可求得答案；
（3）由AB2＝AE•BC，可得 ＝ ，再由矩形性质可得∠ABC＝∠EAB＝90°，可证得
△ABC∽△EAB，BE⊥AC，再根据折叠可得AF⊥BE，根据过一点有且只有一条直线与已
知垂直，即可证得结论．
【解答】（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∴ED＝EF，
第22页（共27页）∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，
∴∠AEB＝∠EDF；
（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，
以点B为圆心、AB长为半径作 B，则点F在 B上运动，
⊙ ⊙
∵sin∠FCB＝ ＝ ，
∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，
∴BG越大则sin∠FCB的值越大，
∵BG≤FB，
∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，
如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，
此时sin∠FCB＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠FCB的最大值为 ；
（3）证明：如图3，
∵AB2＝AE•BC，
∴ ＝ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠EAB＝90°，
∴△ABC∽△EAB，
∴∠ACB＝∠EBA，
∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，
∴∠BTC＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF，
∴A、F关于BE对称，
∴AF⊥BE，
∴点F在线段AC上．
第23页（共27页）【点评】本题是相似三角形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定
与性质，勾股定理，锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法，解题的关键是
正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
25．（13分）已知抛物线G ：y＝﹣x2+2mx+m和G ：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A
1 2
的直线l：y＝kx+b与抛物线G 交于另一点B，与抛物线G 交于另一点C，抛物线G 的顶
1 2 1
点为点M，抛物线G 的顶点为点N．
2
（1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
（2）当m＝﹣3，n＝2，且直线l∥x轴时，求证：MB＝NA；
（3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
第24页（共27页）【分析】（1）先将二次函数的解析式化为顶点式，然后得到点M的坐标；
（2）先将m＝﹣3，n＝2代入函数解析式得到抛物线G 和G 的解析式，然后得到点M和
1 2
点N的坐标，再求得点A的坐标，进而得到直线l的解析式，然后求得点B的坐标，最后求
MB和NA的长度，即可得证；
（3）先求得点A的坐标，然后代入直线l的解析式得到k和b的关系，然后分别求得点B
和点C的横坐标，再结合AB＝AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系，即可得到m
与k、m与b之间的关系，最后得到直线l的表达式．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，
∴点M的坐标为（m，m2+m）．
（2）证明：∵m＝﹣3，n＝2，
∴G ：y＝﹣x2﹣6x﹣3，G ：y＝﹣x2+4x+2，
1 2
∴M（﹣3，6），N（2，6），
由 ，得 ，
∴点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∵直线l∥x轴，
∴l：y＝﹣ ，
令y＝﹣ ，则﹣x2﹣6x﹣3＝﹣ ，
解得：x＝﹣ 或x＝﹣ ，
第25页（共27页）∴B（﹣ ，﹣ ），
∴BM＝ ＝ ，AN＝ ＝
，
∴BM＝AN．
（3）解：由 ，得 ，
∴点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∵点A在直线y＝kx+b上，
∴﹣ k+b＝﹣ ，
∴b＝ k﹣ ，
∴直线l的表达式为y＝kx+ k﹣ ，
由 ，得 ，
解得：x＝﹣ 或x＝﹣k+2m+ ，
∴点B的横坐标为﹣k+2m+ ，
同理可得，点C的横坐标为﹣k+2n+ ，
∵AB＝AC，
∴点A是BC的中点，
∴﹣k+2m+ +（﹣k+2n+ ）＝2×（﹣ ），
∴k＝m+n+1，
∴b＝ （m+n+1）﹣ ＝ + ，
第26页（共27页）∴直线l的表达式为y＝（m+n+1）x+ + ．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二
次函数的交点，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
第27页（共27页）
