文档内容
不等式综合
学习目标
1.熟练掌握不等式性质及其应用．
2.熟练掌握下列常见不等式解法：①一元二次不等式；②分式不等式；③高次不等式；④绝对值不等
式；⑤指数不等式；⑥对数不等式；⑦无理不等式。
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
基本不等式 18
常见不等式的解法 18
不等式 山东&海南2020-11
不等式的性质 10
证明不等式的基本方法 5
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质
试卷.
高频考点
1.解决含参一元二次不等式的分类讨论；
2.绝对值不等式的求解问题。
难点
在含有参数的不等式中，求最值、参数的取值范围问题。
易错点
1.在解分段函数每段对应的不等式时，忘记与其区间取交集；
2.在因式分解过程中，未考虑其范围问题，导致不等号出现问题。
一、 不等式关系与不等式性质
我们用数学符号“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有
1这些不等号的式子，叫做不等式．
1. 不等式的性质
（1） （反身性或对称性）
（2） ， （传递性）
（3）
（4） ，则
（5） ， ，则 ；如果 ， ，则
（6） ，则
（7） ，则
（8） ，则
经典例题
1. 下列说法不一定成立的是 .
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则
④若 ，则
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调不等式基础性质的应用．
（2）本题关键的解题步骤：“0”的存在会影响不等式的成立，详见解析．
（3）本题的易错点：“0”的考虑，容易忽略这个情况导致失误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：非负数的性质．
【答案】③
【解析】①中，在不等式 的两边同时加上 ，不等式 成立．
②中，在不等式 的两边同时减去 ，不等式 成立．
③中，当 时，若 ，则不等式 不成立，故选择此选项．
④中，在不等式 的两边同时除以不为 的 ，不等式 成立，故此选项错误．
故选：③
【标注】【题型】题型：不等式的性质
巩固练习
2.
2若 ， ， ，给出下列命题：①若 ， ，则 ；②若 ， ，则
；③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 ．其中正确命题的
序号是（ ）．
A. ①②④ B. ①④ C. ①③④ D. ②③
【答案】B
【解析】由同向不等式可加知①正确．
由不等式性质，两边同时乘一个正数，
不等号保持不变知④正确．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
3. 设 均为正数，若 ，则 三个数的大小关系是 ．
【答案】
【解析】每项都加 ，可得 ，故 ，
．
【标注】【能力】运算能力
【知识点】不等式的性质
2. 知识总结
不等式的基础性质：
（1） （反身性或对称性）
（2） ， （传递性）
（3）
（4） ，则
（5） ， ，则 ；如果 ， ，则
（6） ，则
（7） ，则
（8） ，则
3二、 解不等式
1. 一元二次不等式
经典例题
4. 已知关于 的不等式 的解集 或 ．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）解关于 的不等式： ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：明确含参一元二次不等式的解法，强调数形结合．
（2）本题关键的解题步骤：数形结合，方程、函数与不等式之间的关系．
（3）本题的易错点：注意根的情况，注意参数的分类讨论，注意计算失误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：需要多注意题目问法，解集为空集时需要写为空
集，而不是无解．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ．
【解析】（ 1 ）∵不等式 的解集是 或 ，
∴方程 的实数根是 和 ，
4由根与系数的关系，得 ；
解得 ， ．
（ 2 ）∵ ， ；
∴不等式 化为 ，
即 ；
∴当 时，解得 ，
当 时，不等式无解，
当 时，解得 ，
综上，当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式；解不等式中的分类讨论；含字母系数的不等式；二次函数
的图象及性质
巩固练习
5. 已知函数 ．
（ 1 ）若关于 的不等式 的解集是 ，求实数 ， 的值；
（ 2 ）若 ， ，解关于 的不等式 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）①若 ，解集为 ；
②若 ，解集为 或 ；
③若 ，解集为 或 ．
【解析】（ 1 ）因为不等式 的解集是 ，
所以 ， 是方程 的两根．
由 ，
解得 ．
（ 2 ）当 时， ．
因为 ，所以 ．
5①若 ，即 ，解集为 ；
②若 ，即 ，解集为 或 ；
③若 ，即 ，解集为 或 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式
【思想】分类讨论思想
【素养】数学运算
2. 分式不等式
（1） ．
（2） 且 ．
（3） ．
经典例题
6. 解下列不等式
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固分式不等式的解法．
（2）本题关键的解题步骤：需要进行通分，并化为同号或异号的问题解决．
（3）本题的易错点：分母不为零的考虑，最后结果需取以上交集．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：解集的写法，需要是集合形式，不等式范围则可以
写成不等式形式．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）原不等式可转化为 ，等价于
， 解得： 或 ， 即原不等式的解集为 或 ．
（ 2 ）原不等式可转化为 ，等价于 或
， 解得： ．
【标注】【题型】题型：解可化为一元二次方程的分式方程
6巩固练习
7. 已知关于 的不等式 ， ．
（ 1 ）当 时，求不等式的解集．
（ 2 ）当 时，求不等式的解集．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 时， 或 ；
时， ；
时， 或 ．
【解析】（ 1 ）当 时，不等式 ，
∴ ．
（ 2 ）当 时，不等式 ，
① 时， ，
∴ 或 ．
② 时，不等式 恒成立，
∴ ．
③ 时， ，
∴ 或 ．
综上所述： 时， 或 ；
时， ；
时， 或 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式；分式不等式
3. 高次不等式
一般高次不等式 用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
（1）将 最高次项的系数化为正数；
（2）将 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
（3）将每个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根
直接穿过数轴，即所谓的奇穿偶不穿）．
7经典例题
8. 解不等式 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固高次不等式的解法，主要是因式分解与穿根法．
（2）本题关键的解题步骤：化为分子、分母同号或异号的问题．
（3）本题的易错点：分母不为零，需要结合到结果范围中．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意正负号以及不等式符号的变化．
【答案】 或 ．
【解析】原式变形为： ，
令 ，
∴ ， ， ，
再画数轴：
∴不等式的解集为： 或 ．
【标注】【题型】题型：图象法解高次不等式；高次不等式
巩固练习
9. 解不等式 ．
【答案】 ．
【解析】不等式化为 ，
它与不等式 同解．
因为 ，
所以不等式可化为 ．
解此不等式，得 或 ．
所以原不等式的解集是 ．
【标注】【知识点】分式不等式；高次不等式
经典例题——长除法
810. 解不等式 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固高次不等式的解法，主要是长除法与穿根法．
（2）本题关键的解题步骤：先因式分解，再猜根，对此运用长除法进行最后因式分解，最
后运用“奇穿偶不穿”求出范围．
（3）本题的易错点：注意未知数范围，不可以直接除掉，不等式符号会有影响．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意正负号以及不等式符号的变化．
【答案】 ．
【解析】不等式两边同时乘以 ，
得 ，
即 ．
根据法则 得 ，
四个根由小到大依次为 ， ， ， ．
根据法则 ，不等式的解集是 ．
【标注】【知识点】高次不等式
巩固练习——长除法
11. 解下列不等式： ．
【答案】 ．
【解析】原式为
∴
∴得解集为 ．
【标注】【素养】数学运算
4. 绝对值不等式
绝对值不等式的常见解法
（1）公式法： 或 ， ．
（2）平方法： ．
（3）分类讨论：遇到多个绝对值的不等式，可以结合绝对值中的数的正负号的进行分类讨论．
9经典例题
12. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
（ 2 ）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固绝对值不等式的解法，结合一元二次不等式综合考
察．
（2）本题关键的解题步骤：建立不等式时，考虑去不等式分类讨论，而不是两边平方，增
加计算量，也容易计算失误．
（3）本题的易错点：分类讨论有所重漏，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：选择分类讨论还是两边平方是把这个题的关键之
一，面对含参不等式问题，可转化为恒能成立问题，结合函数性质解决．
【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）当 时， ，∴ ．
当 ， ，得， ；
当 ， ，得， ；
当 ， ，得， ； ∴
， 综上所述，解集为 ．
（ 2 ） ，得， 的解集为 ， 当 ，
恒成立，
则有 ，
∴ ．
令 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】解不等式中的分类讨论；含绝对值的不等式
巩固练习
13. 已知 ．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
10（ 2 ）若 时，不等式 成立，求 的取值范围．
（ 3 ）当 时，求不等式 的解集.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）当 时， ，
则 ，
∴当 时， ，即
又当 时， 满足 ，
综上： ．
（ 2 ）当 时， 恒成立，
则 时有： ，
即 ，即 ，
， ，
，
．
（ 3 ）当 时，
，即 ，
可得 ，左右同时平方，
得 ，得到 ，
从而解得 的取值范围为
【标注】【知识点】函数的值域
经典例题——恒成立问题
14. 设函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
（ 2 ）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调恒成立问题的转换．
11（2）本题关键的解题步骤：第一问的去绝对值，要注意分类讨论；第二问的恒成立问题，
可转换为最值问题，结合函数性质解决．
（3）本题的易错点：分类讨论与参变分离的选择，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：在去绝对值时，选择分类讨论还是两边平方是把这
个题的关键之一．
【答案】（ 1 ）不等式 的解集是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
∴ ，
当 时， ，
①当 时，原不等式等价于 ，
解得： ，故 ．
②当 时，原不等式等价于 ，
解得： ，
故 ．
③ 时， ，而 ，
故不等式 的解集是空集；
综上，不等式 的解集是 ．
（ 2 ）①当 时， 恒成立等价于 ，
又 ，故 ，故 ．
②当 时， 恒成立
等价于 恒成立，即 ，
只需 即可，即 ，
综上， ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式；一元二次不等式；二次函数相关的恒成立问题
巩固练习——恒成立问题
15. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
（ 2 ）若 ，不等式 对 都成立，求 的取值范围．
12【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 ， ，
∴ ．
∴ 的解集为 ．
（ 2 ）
即 ．
∴ ， ．
∴ ．
【标注】【知识点】含字母系数的不等式；不等式中的恒成立与能成立问题；含绝对值的不等式
经典例题——能成立问题
16. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，解不等式 ．
（ 2 ）若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调存在性问题的转换．
（2）本题关键的解题步骤：第一问中，注意去绝对值的讨论；第二问中，注意存在性问题
的转换，参变分离与分类讨论的选择，可对比分析．
（3）本题的易错点：分类讨论可能会有重漏，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：参变分离是解决不等式问题的一种重要数学思想，
在这个体重的分参，需要注意存在性问题转换为最值问题的未知数范围．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
13【解析】（ 1 ）当 时，由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上可知，不等式 的解集为 或 ．
（ 2 ）方法一：由 ，得 ，
则 ，
令 ，
则问题等价于 ，
因为 ，
，
所以实数 的取值范围为 ．
方法二：因为 ，
即 ，
则 ．
【标注】【知识点】含字母系数的不等式；含绝对值的不等式；不等式中的恒成立与能成立问题
巩固练习——能成立问题
17. 已知函数 ， ．
（ 1 ）解不等式 ．
（ 2 ）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）由 ，
得： ，
故 ，
解得： ．
（ 2 ）由题意知
14又 ，
，
所以 或 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题
5. 指数不等式
， 且
（1）当 时， .
（2）当 时， .
经典例题
18. 不等式 的解集为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调指数不等式需要结合对数函数理解，本质上是结合
函数单调性解决问题．
（2）本题关键的解题步骤：运用指数函数的单调性逆运用，得到一元二次不等式，再运用
常见一元二次不等式的解法求解．
（3）本题的易错点：单调性的判断别混淆，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：解集的写法，应写成集合形式．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】解指数不等式
巩固练习
19. 不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
15解得 ，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】解指数不等式
6. 对数不等式
， 且
(1)当 时，
(2)当 时，
经典例题
20. 不等式 的解集为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调对数不等式需要结合对数函数理解，本质上是结合
函数单调性解决问题．
（2）本题关键的解题步骤：运用对数函数的单调性逆运用，得到一元二次不等式，再运用
常见一元二次不等式的解法求解．
（3）本题的易错点：对数存在性条件容易遗漏，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：解集的写法，应写成集合形式，最好用区间表示．
【答案】
【解析】
由题意， ，即 ，
∴ ，
∴不等式 的解集为 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式；解对数不等式
【素养】数学运算
巩固练习
21. 解不等式 （ 且 ）．
16【答案】当 ，由 ；
当 时，由 ．
【解析】令 ，于是原不等式变形为
所以当 ，由 ；
当 时，由 ．
【标注】【知识点】解对数不等式
7. 无理不等式
或
经典例题
22. 解不等式： ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固无理不等式的求法．
（2）本题关键的解题步骤：把根式放在不等号两边，并两边平方．
（3）本题的易错点：根式成立的条件容易遗漏，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：结果需要结合根式成立的条件，取以上交集．
【答案】 ．
【标注】【知识点】无理不等式
巩固练习
23. 解不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
17【标注】【知识点】无理不等式
8. 知识总结
1.一元二次不等式：
二次函数
的图象
一元二次方程
有两不同实根 ， 有两个相等的实根
无实根
的根
{ } R
的解集
的解集
2.分式不等式：
（1） ．
（2） 且 ．
（3） ．
3.高次不等式：一般高次不等式 用数轴穿根法（或称穿线法）求解.
4.绝对值不等式：
（1）公式法： 或 ．
（2）平方法： ．
5.指数不等式： ， 且 ，当 时， ;当 时，
.
186.对数不等式： ， 且 ,
当 时， ;当 时，
7.无理不等式：
① 或
②
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
24. 解不等式： ．
【答案】当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
19当 时，不等式的解集为 ．
【解析】 若 ，即 时，原不等式 ；
若 ，即 时，原不等式 ．
若 ，即 时， ，原不等式 ；
若 ，即 时，比较 与 得：
若 ，则 ，此时原不等式 或 ；
若 ，则 ，此时原不等式 或 ；
若 ，则原不等式变为 ；
综上：
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【标注】【知识点】含字母系数的不等式
25. 解不等式 ．
【答案】 或 ．
【解析】令 ，则上述不等式即为 ，
因为 是 上的增函数，
所以 ，
解此不等式即得原不等式的解集 或 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
26.
设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 ．
20【答案】
y
【解析】方法一：
4
2
x
–2–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
的图象如上，
易知 在 上递增，
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
方法二：当 时， ，
∴ ，
∴ 满足题意．
当 时，原不等式可化为 ，
∴ ，故 ．
综上可知： ．
【标注】【知识点】解幂函数不等式；解指数不等式
27. 已知函数 则 的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当 时，不等式可化为 ，即
，所以 ，解得 ；
当 时，不等式可化为 ，即 ，解得 ．
综上， 的解集为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】解指数不等式
28. 设函数 ．
21（ 1 ）解不等式 ．
（ 2 ）求 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数．
【答案】（ 1 ）①当 时，所给不等式的解集是 ，
②当 时，所给不等式的解集是 ，
③当 时，所给不等式的解集是 ，
④当 时，所给不等式的解集是 ，
⑤当 时，所给不等式的解集是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
不等式 ，即 ，
所以①当 时，所给不等式的解集是 ，
②当 时，所给不等式的解集是 ，
③当 时，所给不等式的解集是 ，
④当 时，所给不等式的解集是 ，
⑤当 时，所给不等式的解集是 ．
（ 2 ）在区间 上任取 ， ，且 ，
则
，
要使 在 上单调，
只需 在 上恒正或恒负，
又∵ ， ， ，
，
∴ 或 ，
∴符合条件的实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式；无理不等式；解不
等式中的分类讨论；用定义法证明函数的单调性
29. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，使得 成立，求 的范围．
22（ 2 ）求不等式 的解集．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
，
当 时， ，
所以 ，
∴ ．
（ 2 ）不等式 ，
即 由（ ）可知，
当 时， 的解集为空集，
当 时， ，
即 ，
∴ ，
当 时， ，
即 ，
∴ ，
综上，原不等式的解集为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；解不等式中的分类讨论；含绝对值的不等式；一元
二次不等式
23
