不等式综合题集(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思高中面授升高三暑假讲义+题集（小一轮）

不等式综合 一、 解不等式 1. 解高次不等式： （ 1 ） ； （ 2 ） 【答案】（ 1 ） 或 ． （ 2 ） 或 或 ． 【解析】（ 1 ）略． （ 2 ）略． 【标注】【知识点】高次不等式 2. 已知 ，解下列关于 的不等式． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 【答案】（ 1 ） 时，解集为 ； 时，解集为 ． （ 2 ）当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． （ 3 ）当 时，解集为 ． 当 ，解集为 ． （ 4 ） 当 时，解集为 ． 1时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ． 【解析】（ 1 ）由题意知：先因式分解，有 ， 先令其等于零，即 ， 得 ， ，分类讨论，有： ① 时， ，得解集为 ； ② 时， ，得解集为 ． （ 2 ）原式为 ， 因式分解得， ， 先令其等于零，得 ， ，分类讨论，有： ①当 时，原式化为 ，解集为 ； ②当 时， ，得解集为 ； ③当 时， ，得解集为 ． （ 3 ）先令其等于零，讨论两根情况． 而 ，故有： ①当 时， 恒成立，故解集为 ． ②当 ，得 两根为 ， ， ， ∴不等式解集为 ． （ 4 ）由题意知，因二次项系数含参，故先讨论 的情况： 如 时，不等式化为 恒成立，得解集为 ； 当 时，因开口方向会对解集取法有影响，故进一步讨论： ①当 时， ，有： 时， ，不等式大于零恒成立，故解集为 ； 时， ，得解集为 ； 时， ，得解集为 ． ②当 时， ， ， ， ， 2得解集为 ． 【标注】【素养】逻辑推理 3. 不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】令 ，则原不等式变为 . 解得 ，即 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】换底公式及其变形运用；对数方程和对数不等式 二、 含参不等式综合 4. 的所有整数解之和为 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】方法一：方程 的解为 ， ，所以解集为 或 ， 由于区间内所有整数和为 ，所以，解集应为 ，在由于 ，所以 ． 方法二： ； ①若 ，则 无解； ②若 ，则 的解集是 ，由于其没有正整数解，所以所有整数解之和 必定非正，与题意矛盾； ③若 ，则 的解集是 ，其整数解设为 ， ， ，…， ， 由于和为 ，即有： ，解得 ； 由于 ，但 ，所以 的取值范围是 ． 【标注】【知识点】一元二次不等式 5. 3已知条件 ： ，条件 ： ．若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围 是 ． 【答案】 【解析】条件 ： ，化为： ，解得 ． ∵ 是 的必要不充分条件， ∴ ． 则实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】充要条件与不等式结合 6. 若 ， （ 且 ），则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 ， 且 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 则实数 的取值范围是 ， 故答案为： ． 【标注】【知识点】含字母系数的不等式 7. 若关于 的不等式 在区间 内恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由 ，得 ， ∴ ， 即 在区间 内恒成立． ∵函数 在区间 内单调递增， 4∴ 的最大值为 ． 令 ， ， 则 在 上为增函数，又函数 为增函数， ∴ 在区间 内单调递增， 的最小值为 ， ∴ ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题 8. 设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数 ， 当 ， 即为 ， 即 ，解得 ； 当 ， 即为 ， 即 ，解得 ， 综上可得． 或 ． 故选 ． 【标注】【知识点】解对数不等式 9. 已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解 集为 ． 【答案】 【解析】不等式 ， 即 ， ∴ ，且 和 是一元二次方程 的两个根， 5∴ ，解得 ， ， ∴ ， 即 的解集为 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】一元二次不等式；解对数不等式 10. 若二次函数 满足 ，且 ．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意， ， 即 ， 可得 ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ，即 ， ∴ ，令 ， ， ∴ ， ∴ ． 【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题 11. 设 为实数，函数 ． （ 1 ）若 ，求 的取值范围． （ 2 ）讨论 的单调性． （ 3 ）当 时，讨论 在区间 内的零点个数． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）当 时， ，所以 在区间 上单调递减； 6当 时， ，所以 在区间 上单调递增． （ 3 ）当 时， 在区间 内有一个零点； 当 时， 在区间 内有两个零点． 【解析】（ 1 ） ． 当 时， 对于任意的 恒成立；当 时， ，令 ，解得 ． 综上， 的取值范围是 ． （ 2 ）函数 的定义域为 ． 由已知得， 则 当 时， ，所以 在区间 上单 调递减； 当 时， ，所以 在区间 上单 调递增． （ 3 ）令 ，由(2)得， ，则 当 时， ，所以 在 区间 上单调递减； 当 时，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增． 因为 ， ， ①若 ，则 ，此时 在 上有唯一 一个零点； ②若 ，则 ，此时 在区间 上和 上各有一个零点，共两个零点． 综上，当 时， 在区间 内有一个零点； 当 时， 在区间 内有两个零点． 【标注】【知识点】求函数零点（含参二次型导函数）；求函数单调区间（含参一次型导函数） 78