文档内容
2021-2022学年福建省宁德市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题
卡的相应位置填涂）
1．（3分）在实数0， ，2， 中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．2 D．
2．（3分）如图，AB∥CD，∠D＝37°，下列各角中一定等于37°的是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠AOC
3．（3分）下列选项中的各组数，是方程x﹣2y＝8的解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一次函数y＝﹣x+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共21页）6．（3分）现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图
案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．4，6，8 B．4，6，10 C．4，8，10 D．6，8，10
7．（3分）已知 ﹣1的值介于连续整数a与b之间，则a，b的值分别是（ ）
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．5，6
8．（3分）某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人
数的2倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：s2＝ （[ 8﹣ ）2+（6﹣
）2+（9﹣ ）2+（6﹣ ）2+（11﹣ ）2]，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误
的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
10．（3分）已知一次函数y＝kx+4，其中y的值随x值的增大而减小，若点A在该函数图象上，
则点A的坐标可能是（ ）
A．（1，6） B．（3，4） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，5）
二、填空题（本大题有6小题，每小题2分，共12分，请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（2分）若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第2列第3排的位置表示为
．
12．（2分）计算： ＝ ．
13．（2分）在初三毕业体育测试中，5位同学参加了跳绳项目测试，成绩分别是（单位：个/分
钟）：176，184，172，170，180，则该组数据的中位数是 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 ．
第2页（共21页）15．（2分）如图，已知直线y＝x+1与y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的二元一次方程
组 的解是 ．
16．（2分）已知直线l：y＝k（x﹣1）+3，点A与原点O关于直线l对称，则线段OA的最大值是
．
三、解答题（本大题有8题，共58分．请在答题卡的相应位置作答）
17．（10分）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（5分）解方程组： ．
19．（5分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：
AD∥BF．
20．（6分）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，其中点B的坐标
为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，1）．
（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，并直接写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）求线段A B 的长．
1 1
第3页（共21页）21．（6分）为铭记历史，致敬英雄，某校开展抗美援朝专题知识竞赛活动，现抽取20名同学
的竞赛成绩（满分100分，得分都取整数）进行整理，得到如图所示的频数分布直方图．
（图中的75～80表示75≤x＜80，其余类推）
根据以上信息回答下列问题：
（1）下列推断合理的有 ；（填写序号）
①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上；
②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上；
③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上．
（2）求竞赛成绩的平均分．（每组中各个数据用该组的中间值代替，如75～80的中间值为
77）
22．（8分）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往
购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢
笔和4本笔记本，需220元．
第4页（共21页）（1）求钢笔和笔记本的单价；
（2）售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买纪念品的总费用为
w元，其中钢笔的支数为a．
①当a＞6时，求w与a之间的函数关系式；
②李老师购买纪念品一共花了210元钱，他可能购买了多少支钢笔？
23．（9分）如图，已知△ABC，点D，E分别在AB，AC上，EF平分∠DEC交BC于点F．
（1）如图1，当DE∥BC，且∠AED＝58°时，求∠EFC；
（2）如图2，连接BE，当DE＝DB时，完成以下问题：
①若∠AED＝64°，且∠A＝62°，求∠BEF；
②判断∠BEF与∠A的数量关系，并说明理由．
24．（9分）如图，已知直线y＝ x+ 经过点A（﹣2，a），与x轴交于点B，点C在x轴上，且
AC＝AB，直线AC与y轴交于点D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）若点P是线段AD上的一点，求△PBO与△PCO面积之差的最大值．
第5页（共21页）2021-2022学年福建省宁德市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题
卡的相应位置填涂）
1．（3分）在实数0， ，2， 中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、 是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）如图，AB∥CD，∠D＝37°，下列各角中一定等于37°的是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠AOC
【分析】根据平行线的性质可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝37°，∠B＝∠C，
∴一定等于37°的角是∠A．
故选：A．
第6页（共21页）【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（3分）下列选项中的各组数，是方程x﹣2y＝8的解的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解进
行分析即可．
【解答】解：A、1﹣2×（﹣3）≠8，因此不是方程x﹣2y＝8的解，故此选项不符合；
B、2﹣2×（﹣3）＝8，因此是方程x﹣2y＝8的解，故此选项符合；
C、4﹣2×（﹣1）≠8，因此不是方程x﹣2y＝8的解，故此选项不符合；
D、6﹣2×1≠8，因此不是方程x﹣2y＝8的解，故此选项不符合；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程解的定义是本题的关键．
4．（3分）一次函数y＝﹣x+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数y＝﹣x+3判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即
可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，k＝﹣1＜0，b＝3＞0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴此函数的图象不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k＜0时函数图象经
过第二、四象限，b＞0时函数图象与y轴相交于正半轴．
第7页（共21页）5．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A． 的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 是最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，
满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因
式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
6．（3分）现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图
案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．4，6，8 B．4，6，10 C．4，8，10 D．6，8，10
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成
的三角形是直角三角形，即可解答本题．
【解答】解：∵四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，
∴四块正方形纸片的边长分别是2， ，2 ， ，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，8，4+6≠8，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，4+6＝10，围成的三角形是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是4，8，10时，4+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是6，8，10时，6+8≠10，围成的三角形不是直角三角形；
故选：B．
第8页（共21页）【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定
理解答．
7．（3分）已知 ﹣1的值介于连续整数a与b之间，则a，b的值分别是（ ）
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．5，6
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
∴1＜ ﹣1＜2，
∴a＝1，b＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解
题的关键．
8．（3分）某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人
数的2倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据此题的等量关系：①共36人；②挑水人数是植树人数的2倍列出方程解答
即可．
【解答】解：设有x人挑水，y人植树，可得： ，
故选：C．
【点评】此题考查方程组的应用问题，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题
目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
9．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：s2＝ （[ 8﹣ ）2+（6﹣
）2+（9﹣ ）2+（6﹣ ）2+（11﹣ ）2]，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误
的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
【分析】根据方差的计算公式得出这组数据为6、6、8、9、11，再利用平均数、众数和中位数
及方差的定义求解即可．
第9页（共21页）【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11，
所以这组数据的平均数为 ＝8，众数为6，中位数为8，
方差为s2＝ [（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（11﹣8）2]＝3.6，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出这组数据，并掌握平
均数、众数和中位数及方差的定义．
10．（3分）已知一次函数y＝kx+4，其中y的值随x值的增大而减小，若点A在该函数图象上，
则点A的坐标可能是（ ）
A．（1，6） B．（3，4） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，5）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值，结合y随x的增大
而减小即可求解．
【解答】解：A、当点A的坐标为（1，6）时，k+4＝6，
解得k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（3，4）时，3k+4＝4，
解得k＝0，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为（﹣1，﹣2）时，﹣k+4＝﹣2，
解得k＝6＞0，
∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（﹣2，5）时，﹣2k+4＝5
解得k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，
利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题2分，共12分，请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（2分）若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第2列第3排的位置表示为
（ 2 ， 3 ） ．
【分析】理清有序实数对与教室座位的对应关系，据此说明其它实数对表示的意义．
第10页（共21页）【解答】解：（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第2列第3排的位置表示为
（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解两个数的实际意义是解题的关键．
12．（2分）计算： ＝ ﹣ 2 ．
【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以 的值为﹣2．
【解答】解： ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了立方根的意义．注意负数的立方根是负数．
13．（2分）在初三毕业体育测试中，5位同学参加了跳绳项目测试，成绩分别是（单位：个/分
钟）：176，184，172，170，180，则该组数据的中位数是 17 6 ．
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为170，172，176，180，184，
所以这组数据的中位数为176，
故答案为：176．
【点评】本题主要考查中位数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数
据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是|﹣5|
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等
于横坐标的绝对值是解题的关键．
15．（2分）如图，已知直线y＝x+1与y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的二元一次方程
组 的解是 ．
第11页（共21页）【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一
次方程组的解．
【解答】解：∵直线y＝x+1与y＝kx+b相交于点P（1，m），
∴m＝1+1＝2，
∴P（1，2），
故关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答问题．
16．（2分）已知直线l：y＝k（x﹣1）+3，点A与原点O关于直线l对称，则线段OA的最大值是
2 ．
【分析】如图，对于一次函数y＝k（x﹣1）+3，过定点B（1，3）．O，A关于直线y＝k（x﹣1）+3
对称，可得OB＝AB＝ ＝ ，再根据OA≤OB+AB＝2 ，可得结论．
【解答】解：如图，对于一次函数y＝k（x﹣1）+3，过定点B（1，3）．
∵O，A关于直线y＝k（x﹣1）+3对称，
∴OB＝AB＝ ＝ ，
第12页（共21页）∵OA≤OB+AB＝2 ，
∴OA的最大值为2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是发现直
线过定点B（1，3），推出AB＝OB＝ 解决问题．
三、解答题（本大题有8题，共58分．请在答题卡的相应位置作答）
17．（10分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先计算乘法、化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的除法，再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2 +2
＝2；
（2）原式＝ ﹣ +2
＝3﹣ +2
＝3+ ．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序
和运算法则．
18．（5分）解方程组： ．
【分析】利用加减消元法进行计算即可解答．
【解答】解： ，
①×3得：3x+6y＝﹣24③，
③﹣②得：7y＝﹣35，
解得：y＝﹣5，
把y＝﹣5代入①中得：x﹣10＝﹣8，
解得：x＝2，
∴原方程组的解为： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组的，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关
第13页（共21页）键．
19．（5分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：
AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利
用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
【点评】考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不
大．
20．（6分）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，其中点B的坐标
为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，1）．
（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，并直接写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）求线段A B 的长．
1 1
第14页（共21页）【分析】（1）根据轴对称的性质即可在网格中画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，
1 1 1
进而写出点A 的坐标；
1
（2）根据勾股定理即可求线段A B 的长．
1 1
【解答】解：（1）如图，△A B C ，即为所求；A （2，3）；
1 1 1 1
（2）A B ＝ ＝ ．
1 1
【点评】本题考查的是作图−−轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此
题的关键．
21．（6分）为铭记历史，致敬英雄，某校开展抗美援朝专题知识竞赛活动，现抽取20名同学
的竞赛成绩（满分100分，得分都取整数）进行整理，得到如图所示的频数分布直方图．
（图中的75～80表示75≤x＜80，其余类推）
根据以上信息回答下列问题：
（1）下列推断合理的有 A ；（填写序号）
①竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上；
②竞赛成绩的众数一定不在75～80这一组上；
③竞赛成绩的众数可能在95～100这一组上．
（2）求竞赛成绩的平均分．（每组中各个数据用该组的中间值代替，如75～80的中间值为
77）
第15页（共21页）【分析】（1）根据众数的定义判断即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
（2）根据算术平均数的公式计算即可．
【解答】解：（1）∵在90～95这一组出现的人数最多，
所以竞赛成绩的众数一定在90～95这一组上，
故选：A；
（2）竞赛成绩的平均分为： （77+83×3+87×6+93×7+100×3）＝89.95（分）．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、众数、加权平均数，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往
购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢
笔和4本笔记本，需220元．
（1）求钢笔和笔记本的单价；
（2）售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买纪念品的总费用为
w元，其中钢笔的支数为a．
①当a＞6时，求w与a之间的函数关系式；
②李老师购买纪念品一共花了210元钱，他可能购买了多少支钢笔？
【分析】（1）设钢笔和笔记本的单价分别为x，y元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需
230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元”列方程组求解；
（2）①若买a（a＞6）支钢笔，则买（12﹣a）支钢笔，根据单价可写出w与a之间的函数关
系式；
②根据①的结论列方程解答即可．
【解答】解：（1）设钢笔和笔记本的单价分别为x，y元，根据题意得：
第16页（共21页），
解得： ，
答：钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
（2）①当a＞6时，w＝20×0.9a+15（12﹣a）＝3a+180；
②设买了n只钢笔，m本笔记本，根据题意，得：
20n+15m＝210（n≤6），
18n+15m＝210（n＞6），
∴n+m＝12，
∵m、n是正整数，
∴ 或 或 ，
答：他可能购买了3或6或10支钢笔．
【点评】本题主要考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用．理清题意，正确列出
表达式是解答关键．
23．（9分）如图，已知△ABC，点D，E分别在AB，AC上，EF平分∠DEC交BC于点F．
（1）如图1，当DE∥BC，且∠AED＝58°时，求∠EFC；
（2）如图2，连接BE，当DE＝DB时，完成以下问题：
①若∠AED＝64°，且∠A＝62°，求∠BEF；
②判断∠BEF与∠A的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CEF＝ DEC＝61°，根据平行线的性质得到
∠C＝∠AED＝58°，于是得到∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝61°；
（2）①根据三角形的内角和定理得到∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝52°，根据等腰三角
第17页（共21页）形的性质得到∠DBE＝∠DEB，根据三角形外角的性质得到∠DEB＝ ∠ADE＝26°，根
据角平分线的定义即可得到结论；
②设∠AED＝ ，∠A＝ ，根据三角形内角和定理得到∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝
α β
180°﹣ ﹣ ，根据三角形外角的性质得到∠DEB＝ ∠ADE＝90°﹣ （ + ），根据角平分
α β α β
线的定义得到∠DEF＝ DEC＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ，于是得到结论．
α
【解答】解：（1）∵∠AED＝58°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝122°，
∵EF平分∠DEC，
∴∠CEF＝ DEC＝61°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝58°，
∴∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝61°；
（2）①∵∠AED＝64°，∠A＝62°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝54°，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DEB＝ ∠ADE＝27°，
∵∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣64°＝116°，
∵EF平分∠DEC，
∴∠DEF＝ DEC＝ 116°＝58°，
∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝58°﹣27°＝31°；
②∠BEF＝ ∠A，
理由：设∠AED＝ ，∠A＝ ，
∴∠ADE＝180°﹣∠α A﹣∠AEβD＝180°﹣ ﹣ ，
α β
第18页（共21页）∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DEB＝ ∠ADE＝90°﹣ （ + ），
α β
∵∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣ ，
∵EF平分∠DEC， α
∴∠DEF＝ DEC＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ，
α
∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣ ﹣[90°﹣ （ + ）]＝ ，
α β β
即∠BEF＝ ∠A．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的没结婚的了，熟练掌握平行
线的性质是解题的关键．
24．（9分）如图，已知直线y＝ x+ 经过点A（﹣2，a），与x轴交于点B，点C在x轴上，且
AC＝AB，直线AC与y轴交于点D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）若点P是线段AD上的一点，求△PBO与△PCO面积之差的最大值．
【分析】（1）由直线y＝ x+ 经过A（﹣2，a），得a＝6，即得A（﹣2，6），在y＝ x+
中，令y＝0得x＝﹣10，即得B（﹣10，0）；
（2）设C（m，0），由AB＝AC得100＝（m+2）2+（0﹣6）2，即可解得C（6，0），用待定系数法
可求得直线AC的表达式为y＝﹣ x+ ；
第19页（共21页）（3）设P（t，﹣ t+ ），其中﹣2≤t≤0，可得S△PBO ﹣S△PCO ＝﹣ t+9，由一次函数性质即
可得△PBO与△PCO面积之差的最大值是12．
【解答】解：（1）∵直线y＝ x+ 经过A（﹣2，a），
∴a＝ ×（﹣2）+ ＝6，
∴A（﹣2，6），
在y＝ x+ 中，令y＝0得 x+ ＝0，
解得x＝﹣10，
∴B（﹣10，0），
答：点A的坐标为（﹣2，6），点B的坐标为（﹣10，0）；
（2）设C（m，0），
∵A（﹣2，6），B（﹣10，0），
∴AB2＝（﹣2+10）2+（6﹣0）2＝100，
∵AB＝AC，
∴AB2＝AC2，即100＝（m+2）2+（0﹣6）2，
解得m＝﹣10（舍去）或m＝6，
∴C（6，0），
设直线AC为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AC的表达式为y＝﹣ x+ ；
（3）如图：
第20页（共21页）设P（t，﹣ t+ ），其中﹣2≤t≤0，
∴S△PBO ＝ ×10×（﹣ t+ ）＝﹣ t+ ，S△PCO ＝ ×6×（﹣ t+ ）＝﹣ t+ ，
∴S△PBO ﹣S△PCO ＝﹣ t+ ﹣（﹣ t+ ）＝﹣ t+9，
∵﹣ ＜0，
∴S△PBO ﹣S△PCO 随t的增大而减小，
∵﹣2≤t≤0，
∴t＝﹣2时，S△PBO ﹣S△PCO 最大，最大值为﹣ ×（﹣2）+9＝12，
答：△PBO与△PCO面积之差的最大值是12．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理等知识，解
题的关键是掌握函数图象上点坐标特征及一次函数的性质．
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