文档内容
2021-2022 学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（北师大
版A卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。
1．（4分）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列方程是一元二次方程的为（ ）
A．x+1＝0 B． ＝1
C．x2﹣x＝2 D．（x﹣1）2+1＝x2
3．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
4．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
tanA＝（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）抛物线y＝x2通过平移，得到抛物线y＝x2+1，则该平移方式正确的是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
6．（4分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们
通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
第1页（共22页）A．任意两个菱形都相似
B．任意两个正方形都相似
C．任意两个等腰三角形都相似
D．任意两个矩形都相似
8．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝3，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．3
9．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝2，BD＝1，DE∥BC，则
下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．△ADE∽△ABC
C．DE＝ BC D．S△ADE ：S△ABC ＝2：3
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与双曲线y＝ 的图象交于A，B两点，点P
在x轴的正半轴上，若PA⊥PB，则OP的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题卡的相应位置。
11．（4分）cos60°＝ ．
12．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2的顶点坐标 ．
13．（4分）菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 是位似图形，且顶点都在格点上，
1 1 1
则位似中心的坐标是 ．
第2页（共22页）15．（4分）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、
广各几何？”大意是说：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈
＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 ．
16．（4分）关于二次函数y＝x2﹣8x+7；现给出以下结论：
①图象的开口向下；
②图象与y轴的交点坐标为（0，7）；
③当x＞4时，y的值随x值的增大而增大；
④y的最小值为﹣9．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题卡的相应位置解答。
17．（8分）解方程：x2﹣4x+3＝0．（要求用两种不同方法来解本题）
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
求证：四边形AEBO是菱形．
19．（8分）已知反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）若该反比例函数的图象与一次函数y＝x+1的图象的交点为A（2，n），求m的值．
20．（8分）在全民阅读活动中，某图书馆第一个月进馆200人次，第三个月进馆392人次．求
第3页（共22页）第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率．
21．（8分）某校延时服务每天中午为学生提供A，B，C三种套餐，每位学生只能从中任选一种．
（1）若某同学从中随机选一种，则其选中A种套餐的概率是 ．
（2）若甲、乙两位同学从中随机选一种套餐，请你利用画树状图或列表的方法，求他们恰
好选中同种套餐的概率．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．
23．（10分）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如
图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，
他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体
温监测有效识别区域AB的长度．
24．（12分）如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在
边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
第4页（共22页）25．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点（2，0）．
（1）求抛物线的对称轴及c的值；
（2）若该抛物线与直线y＝x﹣2只有一个公共点．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线的图象沿x轴平移n个单位后，当3≤x≤4时，y的最小值为3，请说明平移方
式．
第5页（共22页）2021-2022 学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（北师大
版A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。
1．（4分）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（4分）下列方程是一元二次方程的为（ ）
A．x+1＝0 B． ＝1
C．x2﹣x＝2 D．（x﹣1）2+1＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．该方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
C．该方程中含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是2，是一元二次方程，故本选项符
合题意；
D．由原方程得到：﹣2x+2＝0，该方程中含有一个未知数，是一元一次方程，故本选项不合
题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程叫一元二次方程．
第6页（共22页）3．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边
形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相
等，错误．
【解答】解：A、菱形对角不互补，故本选项错误；
B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最
典型的图形．
4．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．
【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴tanA＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜
边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．（4分）抛物线y＝x2通过平移，得到抛物线y＝x2+1，则该平移方式正确的是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．
第7页（共22页）【解答】解：抛物线y＝x2向上平移1个单位即可得到抛物线y＝x2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6．（4分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们
通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得： ＝0.25，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的
比例，再计算其个数．
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个菱形都相似
B．任意两个正方形都相似
C．任意两个等腰三角形都相似
D．任意两个矩形都相似
【分析】根据相似图形的判定和菱形、矩形、等腰三角形和等腰直角三角形的性质逐一判
断即可得．
【解答】解：A．任意两个菱形不一定相似，此选项不符合题意；
B．任意的两个正方形形一定相似，此选项符合题意；
C．任意两个等腰三角形不一定相似，此选项不符合题意；
D．任意的两个矩形不一定相似，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的概念和菱形、矩形、等腰三
角形和等腰直角三角形的性质．
8．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝3，则sinB的值为（ ）
第8页（共22页）A． B． C． D．3
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解
题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝2，BD＝1，DE∥BC，则
下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．△ADE∽△ABC
C．DE＝ BC D．S△ADE ：S△ABC ＝2：3
【分析】由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝2，DE＝ BC，
∴S△ADE ：S△ABC ＝4：9．
故选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，
属于中考常考题型．
第9页（共22页）10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与双曲线y＝ 的图象交于A，B两点，点P
在x轴的正半轴上，若PA⊥PB，则OP的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
【分析】由图象的对称性可得OA＝OB，从而可得OP＝OA，设点A坐标为（m， ），进而求
解．
【解答】解：如图，
∵直线y＝kx与双曲线y＝ 的图象关于原点成中心对称，
∴OA＝OB，即点O为AB中点，
∵PA⊥PB，
∴在Rt△APB中，OP＝ AB＝OA，
设点A坐标为（m， ），则OP＝OA＝ ＝ ，
∴当m＝ ，即m＝2时，OP取最小值为2 ．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，
掌握函数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题卡的相应位置。
第10页（共22页）11．（4分）cos60°＝ ．
【分析】根据记忆的内容，cos60°＝ 即可得出答案．
【解答】解：cos60°＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这
是需要我们熟练记忆的内容．
12．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2的顶点坐标 （ 1 ， 2 ） ．
【分析】利用抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k直接求出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），
∴y＝2（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故答案为（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴
是直线x＝h．
13．（4分）菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为 8 ．
【分析】菱形的面积可以根据对角线的长计算，已知菱形的面积，对角线AC的长即可计算
BD的长
【解答】解：菱形ABCD的面积S＝ AC•BD＝24，
∵AC＝6，
∴BD＝ ＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，本题中正确计算是解题的关键．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 是位似图形，且顶点都在格点上，
1 1 1
则位似中心的坐标是 （ 6 ， 2 ） ．
第11页（共22页）【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【解答】解：如图可知，位似中心P的坐标为（6，2），
故答案为：（6，2）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的
连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似
中心．
15．（4分）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、
广各几何？”大意是说：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈
＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 x 2 +
（ x + 6 ） 2 ＝ 10 0 ．
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝100，
第12页（共22页）故答案为：x2+（x+6）2＝100．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
16．（4分）关于二次函数y＝x2﹣8x+7；现给出以下结论：
①图象的开口向下；
②图象与y轴的交点坐标为（0，7）；
③当x＞4时，y的值随x值的增大而增大；
④y的最小值为﹣9．
其中正确的是 ②③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正
确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，
∴该函数图象的开口向上，故①错误；
图象与y轴的交点坐标为（0，7），故②正确；
当x＞4时，y的值随x值的增大而增大，故③正确；
当x＝4时，y取得最小值﹣9，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题卡的相应位置解答。
17．（8分）解方程：x2﹣4x+3＝0．（要求用两种不同方法来解本题）
【分析】解法一：利用配方法求解即可；
解法二：利用因式分解法求解即可．
【解答】解法一：
解：移项得x2﹣4x＝﹣3，
配方得x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1，
∴x ＝3，x ＝1；
1 2
解法二：
解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
第13页（共22页）∴x ＝3，x ＝1．
1 2
【点评】此题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法
的步骤是本题的关键，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因
式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
求证：四边形AEBO是菱形．
【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB，进而利用菱形的判定解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴平行四边形AEBO是菱形．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出OA＝OB解答．
19．（8分）已知反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）若该反比例函数的图象与一次函数y＝x+1的图象的交点为A（2，n），求m的值．
【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到k＝m﹣5＞0，即可求出m的范围；
（2）将A坐标代入正比例函数解析式中求出n的值，确定出A坐标，代入反比例解析式中
即可确定出反比例解析式．
【解答】解：（1）∵反比例函数位于第一、三象限，
∴k＝m﹣5＞0，解得m＞5；
（2）∵点A（2，n）在一次函数y＝x+1的图象上，
∴n＝2+1＝3，则A点的坐标为（2，3）．
第14页（共22页）又∵点A在反比例函数y＝ （m为常数，x＞0）的图象上，
∴m﹣5＝2×3＝6，
∴m＝11．
∴m的值为11．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图
象与性质，待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（8分）在全民阅读活动中，某图书馆第一个月进馆200人次，第三个月进馆392人次．求
第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率．
【分析】设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x，利用第三个月进馆人次数＝
第一个月进馆人次数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正
值即可得出结论．
【解答】解：设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝392，
解得：x ＝0.4＝40%，x ＝﹣2.4（不合题意，舍去）．
1 2
答：第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
21．（8分）某校延时服务每天中午为学生提供A，B，C三种套餐，每位学生只能从中任选一种．
（1）若某同学从中随机选一种，则其选中A种套餐的概率是 ．
（2）若甲、乙两位同学从中随机选一种套餐，请你利用画树状图或列表的方法，求他们恰
好选中同种套餐的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概
率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C三种套餐，
∴其选中A种套餐的概率是 ；
故答案为： ；
第15页（共22页）（2）根据题意画图如下：
共有9中等可能的情况数，其中恰好选中同种套餐的有3种，
则恰好选中同种套餐的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．
【分析】（1）过点A作线段BC的垂线即可；
（2）由AB＝AC＝6，AD⊥BC知BE＝CE，结合DE＝2得BC＝4，再由△ACE∽△BCD知
＝ ，代入计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．
第16页（共22页）（2）∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，
∴BE＝CE，
∵DE＝2，
∴BC＝4，
∵△ACE∽△BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得CD＝ ．
【点评】本题主要考查作图—相似变换，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角
形的判定与性质．
23．（10分）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如
图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，
他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体
温监测有效识别区域AB的长度．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公
共边构造三角关系，进而可求出答案．
第17页（共22页）【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，
∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，
设FC＝x，
在Rt△MFC中，
∵∠MCF＝60°，
∴∠FMC＝30°，
∴MC＝2FC＝2x，MF＝ x，
∵∠MDC＝30°，
∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，
∴CD＝CM＝2x，
∵ME＝MF+EF，
∴ x+1.5＝7.5，
解得：x＝2 ，
∴MC＝2x＝4 （米），
答：体温监测有效识别区域AB的长为4 米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊
角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
24．（12分）如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在
边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于M．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）当BE＝1时，求OB•OM的值．
第18页（共22页）【分析】（1）由“ASA”可证△BOE≌△COF；
（2）通过证明△EOM∽△BOE，可得OE2＝OB•OM，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝45°，
∴∠ABO＝∠OEF，
又∵∠BOE＝∠BOE，
∴△EOM∽△BOE，
∴ ，
∴OE2＝OB•OM，
如图，过点O作OH⊥AB于H，
∵正方形ABCD的周长为16，
∴AB＝4，
第19页（共22页）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝2＝OH，
∵BE＝1，
∴HE＝1，
∴OE2＝OH2+HE2＝5，
∴OB•OM＝5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相
似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点（2，0）．
（1）求抛物线的对称轴及c的值；
（2）若该抛物线与直线y＝x﹣2只有一个公共点．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线的图象沿x轴平移n个单位后，当3≤x≤4时，y的最小值为3，请说明平移方
式．
【分析】（1）根据抛物线对称轴为x＝﹣ 求出抛物线对称轴，再把A（2，0）代入抛物线
即可求出c；
（2）①根据抛物线与直线y＝x﹣2只有一个公共点，转化为一元二次方程有两个相等实
根，由Δ＝0即可求得a，从而得出抛物线解析式；
②根据①中解析式由函数的性质和平移的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
又∵抛物线与x轴交于点（2，0），
∴4a﹣4a+c＝0，
∴c＝0；
（2）①由（1）知抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax，
联立方程组得： ，
∴ax2﹣（2a+1）x+2＝0，
∵该抛物线与直线y＝x﹣2只有一个公共点，
第20页（共22页）∴方程ax2﹣（2a+1）x+2＝0有两个相等的实数根，
即Δ＝（2a+1）2﹣8a＝0，
解得：a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣x；
②由①知，y＝ x2﹣x＝ （x﹣1）2﹣ ，
当抛物线沿x向左平移n（n＞0）个单位时，抛物线解析式为y＝ （x﹣1+n）2﹣ ，
∵对称轴为x＝1﹣n＜1，
∴当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y有最小值3，
即 （3﹣1+n）2﹣ ＝3，
解得n＝ ﹣2；
当抛物线沿x向右平移n（n＞0）个单位时，抛物线解析式为y＝ （x﹣1﹣n）2﹣ ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（n，0）和（n+2），对称轴为x＝1+n＞1，
当1＜n+1≤2，即0＜n≤1时，当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y有最小值3，
∴ （3﹣1﹣n）2﹣ ＝3，
解得：n＝2± （不符合题意，舍去）；
当2＜n+1≤3，即1＜n≤2时，
当3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
当x＝3时，y有最小值，但此时最小值小于0，不符合题意；
当3＜n+1≤4，即2＜n≤时，
在3≤x≤4内，x＝n+1时，y有最小值，
此时最小值小于0，不合题意；
当n+1＞4，即n＞3时，
当3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y有最小值3，
第21页（共22页）即 （4﹣1﹣n）2﹣ ＝3，
解得：n＝3+ ．
∴将抛物线的图象沿x轴向左平移 ﹣2个单位或向右平移3+ 个单位，当3≤x≤4
时，y的最小值为3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是对二次函数的性质以及平移性质的应用．
第22页（共22页）
