文档内容
2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市八年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C．﹣ D．
2．（3分）点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣3）在坐标平面内的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．没有对称关系
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A． 是一个二元一次方程组
B． 是一个二元一次方程组
C． 是方程组 的解
D．二元一次方程 x﹣7y＝11有无数个解
4．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这
组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
5．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，y ）和点B（4，y ），且y ﹣y ＝5，则k的
1 2 1 2
值是（ ）
A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．﹣
6．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，∠AEC＝60°，∠EFD＝130°．则∠CEF的度数是（
）
A．60° B．70° C．75° D．80°
第1页（共25页）7．（3分）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直
角三角形的是（ ）
A．a2﹣b2＝c2 B．a＝1，b＝1，c＝
C．∠A+∠B＝∠C D．a＝8，b＝40，c＝41
8．（3分）早餐店里，小明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；小红爸爸
买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所
列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论不一定成立的
是（ ）
A．AB∥CD
B．∠ABE+∠CDF＝180°
C．AC∥BD
D．若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F
10．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6
分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先
到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之
间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②
甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的
说法有（ ）
第2页（共25页）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则这个三角形的外角∠ABD的度数为：
．
12．（3分）一组数据：1，3，a，5，7的平均数是a，则它们的方差是 ．
13．（3分）计算|1﹣ |﹣ +2 ＝ ．
14．（3分）直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组
的解为 ．
15．（3分）如图，直线l ：y＝ x+5交x轴于点A，交y轴于点B，直线l ：y＝﹣5x+5交x轴于
1 2
点C，交y轴于点B，点P在线段BC上，且点P到l 的距离是2，则点P的坐标是 ．
1
第3页（共25页）三、解答题（共8题，75分）
16．（10分）（1）计算 ；
（2）解方程 ．
17．（9分）为了让同学们了解自己的体育水平，初三1班的体育刘老师对全班45名学生进行
了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，班的体育委员根据这次测试成
绩，制作了统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）整理班级成绩得如下表格：
平均分 中位数 众数
男生 a 8 c
女生 7.92 b 8
则a＝ ，b＝ ，c＝ ，
（2）请你从平均数、中位数、众数的角度进行分析，1班的男生队、女生队哪个表现更突出
一些．
18．（9分）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF
第4页（共25页）交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
19．（9分）植树造林不仅可以美化家园，同时也可以调节气候、促进经济发展．在植树节前夕，
某单位计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进的A、B两种树苗刚好1220元，求A、B两种树苗分别购买了多少棵？
（2）若购买A种树苗a棵，所需总费用为w元．求w与a的函数关系式．
（3）若购买时A种树苗不能少于5棵，w的最小值是多少？请说明理由．
20．（9分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，已知AB＝8，BC
＝6，CD＝2 ，AD＝2 ．
（1）请判断△ACD的形状并说明理由．
（2）求线段DE的长．
21．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0）、（a，
b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a、b满足|a﹣3|+ ＝0．点P从原点出发，以每秒2个
单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到点O为止）．
（1）求出a、b的值并直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC、PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO、∠BCP、
∠AOP之间满足的数量关系．
第5页（共25页）22．（10分）如图，在同一坐标系中，直线l ：y＝﹣x+1交x轴于点P，直线l ：y＝ax﹣3过点
1 2
P．
（1）求a的值；
（2）点M、N分别在直线l 、l 上，且关于原点对称（说明：点A（x，y）关于原点对称的点
1 2
A'的坐标为（﹣x，﹣y），求点M、N的坐标和△PMN的面积．
23．（10分）（1）如图1，已知∠A＝55°，∠B＝30°，∠C＝25°．直接写出∠BOC的度数及
∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系
（2）对于图2，已知AB∥CD，直接写出∠E与∠B和∠D之间的数量关系．
（3）如图3，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E＝90°．求证：AB∥CD．
（4）拓展与应用：在（3）的条件下，作射线BF和DF交于点F．已知∠ABE＝3∠ABF，∠F
＝30°．请直接判断∠CDF与∠CDE之间的数量关系．
第6页（共25页）2021-2022学年河南省平顶山市舞钢市八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C．﹣ D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D． 是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣3）在坐标平面内的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．没有对称关系
【分析】根据关于原点对称，关于x轴、y轴对称的点的坐标特征判断即可．
【解答】解：点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣3）在坐标平面内的关系是关于x轴对称，
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对
称，关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A． 是一个二元一次方程组
第7页（共25页）B． 是一个二元一次方程组
C． 是方程组 的解
D．二元一次方程 x﹣7y＝11有无数个解
【分析】根据二元一次方程组的定义即可判断选项A和选项B，根据方程组的解的定义即
可判断选项C；根据二元一次方程的解的定义即可判断选项D，
【解答】解：A． 是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B． 是三元一次方程组，故本选项符合题意；
C．经检验 是方程2x+y＝﹣1的解，也是方程x﹣y＝4的解，即 是方程组
的解，故本选项不符合题意；
D．二元一次方程 x﹣7y＝11有无数个解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程的解的定义，二次一元方程组
的解的定义等知识点，能熟记二次一次方程的定义和方程（或组）的解的定义是解此题的
关键．
4．（3分）若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这
组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
【分析】根据平均数的公式求出数据4，3，2，4，2的平均数，根据题意可知添加的一个数据
是平均数，再根据中位数的定义求解．
【解答】解：（4+3+2+4+2）÷5
＝15÷5
＝3．
∵它们的平均数不变，
∴添加的数据为3．
∴这组新数据为：2，2，3，3，4，4，
第8页（共25页）这组新数据的中位数为： ×（3+3）＝3，
故选：A．
【点评】考查了平均数，中位数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，y ）和点B（4，y ），且y ﹣y ＝5，则k的
1 2 1 2
值是（ ）
A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象上点的坐标特征，求得y ＝3k+b，y ＝4k+b，根据y
1 2 1
﹣y ＝5，得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
2
【解答】解：由题意得 ，
①﹣②得y ﹣y ＝﹣k，
1 2
∵y ﹣y ＝5，
1 2
∴﹣k＝5，
解得k＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标特征列出方程是解题的关键．
6．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，∠AEC＝60°，∠EFD＝130°．则∠CEF的度数是（
）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】先利用角平分线的性质求出∠C，再利用三角形外角和内角的关系求出∠CEF．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝60°．
∵∠EFD＝∠CEF+∠C，
∴∠CEF＝∠EFD﹣∠C
＝130°﹣60°
＝70°．
第9页（共25页）故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的
关键．
7．（3分）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直
角三角形的是（ ）
A．a2﹣b2＝c2 B．a＝1，b＝1，c＝
C．∠A+∠B＝∠C D．a＝8，b＝40，c＝41
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
B、∵a2+b2＝12+12＝2＝c2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
D、∵82+402≠412，∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么
这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
8．（3分）早餐店里，小明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；小红爸爸
买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所
列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①5个馒头的钱+3个包子的钱＝10+1元；②（8个馒头
的钱+6个包子的钱）×9折＝18元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：若馒头每个x元，包子每个y元，由题意得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
9．（3分）如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论不一定成立的
是（ ）
第10页（共25页）A．AB∥CD
B．∠ABE+∠CDF＝180°
C．AC∥BD
D．若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F
【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和得到AB∥CD，再根据平行线的性质和外
角定理可得答案．
【解答】解：∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠PAC＝ ∠BAC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠2＝∠PCA＝ ∠DCA，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∴AB∥CD，故A一定成立；
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠ABE+∠CDF＝180°，故B一定成立；
若∠ACD＝2∠E，
∵∠ACD＝2∠PCA，
∴∠PCA＝∠E，
∴AC∥BD，
∴∠F＝∠CAP，
∵∠CAB＝2∠F，故D一定成立；
题中的条件不能说明AC∥BD，故C不一定成立．
故选：C．
第11页（共25页）【点评】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，三角形的内角和定理，正确
利用平行线的性质分析是解题关键．
10．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6
分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先
到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之
间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②
甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的
说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据图象可知A、B两地相距3720米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，
由二者相遇的时间＝6+A、B两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由
A、C两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C
两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程．
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，
甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），
乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；
A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用数量关系，求出甲、乙的速度及A、C两地之间的
距离是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
第12页（共25页）11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则这个三角形的外角∠ABD的度数为：
80° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝35°+45°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，是基础题，熟记三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和是解题的关键．
12．（3分）一组数据：1，3，a，5，7的平均数是a，则它们的方差是 4 ．
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据：1，3，a，5，7的平均数是a，
∴5a＝1+3+a+5+7，
∴a＝4，
∴这组数据的方差是s2＝ [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
（[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
1 2 n
大，反之也成立．也考查了平均数．
13．（3分）计算|1﹣ |﹣ +2 ＝ ﹣ 1 ﹣ ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣3 +2×
＝ ﹣1﹣3 +
＝﹣1﹣ ．
故答案为：﹣1﹣ ．
第13页（共25页）【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14．（3分）直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组
的解为 ．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一
次方程组的解．
【解答】解：根据函数图可知，
函数y＝x+1与y＝mx+n的图象交于点P的坐标是（1，a），
把x＝1，y＝a代入y＝x+1，可得：a＝1+1＝2，
解得：a＝2，
故关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答问题．
15．（3分）如图，直线l ：y＝ x+5交x轴于点A，交y轴于点B，直线l ：y＝﹣5x+5交x轴于
1 2
点C，交y轴于点B，点P在线段BC上，且点P到l 的距离是2，则点P的坐标是 （ ，
1
3 ） ．
第14页（共25页）【分析】由两条直线的解析式求得A、B、C的坐标，进一步求得AB和AC，利用三角形面积
公式求得S△ABC ＝ ，S△APB ＝13，即可求得S△APC ＝ AC•y
P
＝ ﹣13＝ ，解得y
P
＝
3，代入y＝﹣5x+5即可求得P的坐标．
【解答】解：∵直线l ：y＝ x+5交x轴于点A，交y轴于点B，直线l ：y＝﹣5x+5交x轴于
1 2
点C，交y轴于点B，
∴A（﹣12，0），B（0，5），C（1，0），
∴OA＝12，OC＝1，OB＝5，
∴AB＝ ＝13，AC＝12+1＝13，
∴S△ABC ＝ ＝ ，
∵点P到l 的距离是2，
1
∴S△APB ＝ ＝13，
∴S△APC ＝ AC•y
P
＝ ﹣13＝ ，
∴ ×y ＝ ，
p
∴y ＝3，
P
代入y＝﹣5x+5得，3＝﹣5x+5，解得x＝ ，
∴点P的坐标是（ ，3），
故答案为：（ ，3）．
第15页（共25页）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，借助三角形的面积求
得P的纵坐标是解题的关键．
三、解答题（共8题，75分）
16．（10分）（1）计算 ；
（2）解方程 ．
【分析】（1）先化简、然后合并同类二次根式即可；
（2）先化简方程组，然后根据加减消元法可以解答此方程组．
【解答】解：（1）
＝ ﹣4
＝ ﹣4
＝ ﹣
＝﹣ ；
（2） ，
化简，得： ，
①﹣②，得：3y＝15，
解得y＝5，
将y＝5代入①，得：x＝8，
∴原方程组的解是 ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确二次
根式混合运算的运算法则，会用加减消元法解方程组．
17．（9分）为了让同学们了解自己的体育水平，初三1班的体育刘老师对全班45名学生进行
第16页（共25页）了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，班的体育委员根据这次测试成
绩，制作了统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）整理班级成绩得如下表格：
平均分 中位数 众数
男生 a 8 c
女生 7.92 b 8
则a＝ 7. 9 ，b＝ 8 ，c＝ 7 ，
（2）请你从平均数、中位数、众数的角度进行分析，1班的男生队、女生队哪个表现更突出
一些．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数定义可得答案；
（2）根据平均数的大小即可得出答案．
【解答】解：（1）这个班共有男生1+2+6+3+5+3＝20（人），共有女生45﹣20＝25（人），
男生的平均分a＝ ×（5+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）＝7.9（分），
男生的众数为7分，即c＝7；
把女生的成绩从小到大排列，中位数是第13个数，
则b＝8．
故答案为：7.9，8，7；
（2）从平均数看，女生队的平均数高于男生队的平均数，所以女生队表现更突出．
【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需
数据，并熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解题的关键．
第17页（共25页）18．（9分）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF
交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
【分析】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相
等，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，
两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．
【解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出
∠CHG＝∠1；（2）利用平行线的判定得出AC∥DF．
19．（9分）植树造林不仅可以美化家园，同时也可以调节气候、促进经济发展．在植树节前夕，
某单位计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进的A、B两种树苗刚好1220元，求A、B两种树苗分别购买了多少棵？
（2）若购买A种树苗a棵，所需总费用为w元．求w与a的函数关系式．
（3）若购买时A种树苗不能少于5棵，w的最小值是多少？请说明理由．
第18页（共25页）【分析】（1）设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵，根据“购进A、B两种树苗共17棵，
已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元，购进的A、B两种树苗刚好1220元”列方
程组解答即可；
（2）根据所需费用为w＝A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答；
（3）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案．
【解答】解：设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵，根据题意得：
，
解得： ，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）购进a种树苗A棵，则购进B种树苗（17﹣a）棵
根据题意得：w＝80a+60（17﹣a）＝20a+1020；
（3）由题意得a≥5，
由w＝20a+1020，
∵20＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w有最小值，w最小 ＝1120，
答：费用最省方案为：购进A种树苗5棵，B种树苗12棵．这时所需费用为1120元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据一次函数的增
减性得出费用最省方案是解决（3）的关键．
20．（9分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，已知AB＝8，BC
＝6，CD＝2 ，AD＝2 ．
（1）请判断△ACD的形状并说明理由．
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC＝10，再根据勾股定理的逆定理即可判定△ACD的
形状；
第19页（共25页）（2）根据△ACD的面积不变即可求出线段DE的长．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：
在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝ ＝ ＝10，
∵CD＝2 ，AD＝2 ，
∴CD2+AD2＝（2 ）2+（2 ）2＝60+40＝100＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）由（1）知，△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∵S△ACD ＝ AC•DE＝ AD•DC，
∴DE＝ ＝ ＝2 ．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，求出AC的长并判定△ACD是直
角三角形是解题的关键．
21．（9分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0）、（a，
b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a、b满足|a﹣3|+ ＝0．点P从原点出发，以每秒2个
单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到点O为止）．
（1）求出a、b的值并直接写出点A、B、C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC、PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO、∠BCP、
∠AOP之间满足的数量关系．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且
AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+ ＝0，
∴|a﹣3|＝0， ＝0，
第20页（共25页）∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，过点P作PE∥AO，
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP．
【点评】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和二次根式的非负性、
平行线的性质、动点路程问题，解决此题的关键是作PE∥AO．
22．（10分）如图，在同一坐标系中，直线l ：y＝﹣x+1交x轴于点P，直线l ：y＝ax﹣3过点
1 2
P．
（1）求a的值；
（2）点M、N分别在直线l 、l 上，且关于原点对称（说明：点A（x，y）关于原点对称的点
1 2
A'的坐标为（﹣x，﹣y），求点M、N的坐标和△PMN的面积．
第21页（共25页）【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求得P的坐标，代入直线l ：y＝ax﹣3即可
2
求得a的值；
（2）设M的横坐标为x，由题得M （x，﹣x+1），N（﹣x，x﹣1），由N在直线l 上可得x﹣1
2
＝﹣3x﹣3，解方程求得x的值，可得出点M、N的坐标，即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝﹣x+1交x轴于点P，
1
∴P（1，0），
又∵直线l ：y＝ax﹣3过点P，
2
∴0＝a﹣3，
解得a＝3；
（2）由a＝3得l ：y＝3x﹣3，
2
设M的横坐标为x，由题得M （x，﹣x+1），N（﹣x，x﹣1），
又N（﹣x，x﹣1）在l ：y＝3x﹣3上，
2
∴x﹣1＝﹣3x﹣3，解得x＝﹣ ，
则M（﹣ ， ），N（ ，﹣ ），
∴S△PMN ＝ OP• + OP• ＝ ×1× ×2＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关
于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23．（10分）（1）如图1，已知∠A＝55°，∠B＝30°，∠C＝25°．直接写出∠BOC的度数及
∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系
（2）对于图2，已知AB∥CD，直接写出∠E与∠B和∠D之间的数量关系．
第22页（共25页）（3）如图3，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E＝90°．求证：AB∥CD．
（4）拓展与应用：在（3）的条件下，作射线BF和DF交于点F．已知∠ABE＝3∠ABF，∠F
＝30°．请直接判断∠CDF与∠CDE之间的数量关系．
【分析】（1）结论：∠BOC＝∠B+∠A+∠C，如图1，连接OA并延长至点D．利用三角形的
外角的性质解决问题即可；
（2）结论：∠BED＝∠B+∠D．过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题即可；
（3）欲证明AB∥CD，只要证明∠ABD+∠CDB＝180°；
（4）作EP∥AB，FQ∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】（1）解：结论：∠BOC＝∠B+∠A+∠C，理由如下：
如图1，连接OA并延长至点D．
∵∠BOD＝∠B+∠BAO，∠COD＝∠C+∠CAO，
∴∠BOD+∠COD＝∠B+∠BAO+∠C+∠CAO．
∴∠BOC＝∠B+∠BAC+∠C，
∴∠BOC＝55°+25°+30°＝110°；
（2）解：结论：∠BED＝∠B+∠D，理由：过点E作ET∥AB．
第23页（共25页）∵AB∥CD，AB∥ET，
∴ET∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠D，
∴∠BED＝∠1+∠2＝∠B+∠D．
（3）证明：如图3中，
∵∠E＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
∴∠ABD+∠CDB＝2（∠EBD+∠EDB）＝180°，
∴AB∥CD；
（4）结论： ＝ ，理由如下：
作EP∥AB，FQ∥AB，如图2，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ，
∴∠ABE＝∠BEP，∠DEP＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE＝90°，
同理，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
第24页（共25页）∵∠ABE＝3∠ABF，∠BFD＝30°，
∴∠BFD＝ ∠ABE+∠CDF＝30°＝ ∠BED，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的
性质，属于中考常考题型．
第25页（共25页）
