文档内容
2021-2022 学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷（北师大
版B 卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂。
1．（4分）在下列实数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．3
2．（4分）在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
3．（4分）平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
4．（4分）如图，下列条件能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠2＝∠3
5．（4分）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的
用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（ ）
A．10吨 B．9吨 C．8吨 D．7吨
6．（4分）若函数y＝2x+a与y＝﹣ x的图象交于点P（2，b），则关于x，y的二元一次方程组
的解是（ ）
第1页（共21页）A． B． C． D．
7．（4分）若m＝1+ ，则以下对m的值估算正确的是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
8．（4分）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
9．（4分）如图，直线a⊥b，若以平行于a的直线为x轴，以平行于b的直线为y轴，建立平面
直角坐标系，若A（﹣3，2），B（2，﹣3），则坐标系的原点最有可能是（ ）
A．O B．O C．O D．O
1 2 3 4
10．（4分）在平面直角坐标系中，有三个点A（﹣3，1），B（﹣1，5），C（0，m），当△ABC的周长
最短时，m的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．7
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）请写出一个无理数 ．
12．（4分）数据3，3，3，3，3的方差是 ．
13．（4分）若线段AB∥x轴，且A（2，m），B（3，1），则m的值为 ．
14．（4分）把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中30°角的顶点D恰好放在等腰直角三
角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF＝100°，则∠BMD＝ °．
15．（4分）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）满足：当x ＜
1 1 2 2 1
第2页（共21页）x 时，y ＜y ．则k的取值范围是 ．
2 1 2
16．（4分）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的
面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列
四个结论：
①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝ ；④2xy+9＝64．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）解方程组 ．
18．（8分）计算： ．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求
证：△ACD是直角三角形．
20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．
今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，
合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作直线AD，使得AD∥BC；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
第3页（共21页）22．（10分）某校对学生进行立定跳远水平测试随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩
绘制成如下两幅不完整的图（表）．
组别 成绩/m 人数/人
第一组 1.2≤x＜1.6 a
第二组 1.6≤x＜2.0 12
第三组 2.0≤x＜2.4 b
第四组 2.4≤x＜2.8 10
根据图（表）中所提供的信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ ，中位数应落在第 组；
（2）请直接把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点
A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
24．（12分）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻
折得到△A′BP．
（1）如图1，当A′在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
第4页（共21页）（2）如图2，当AP＝6时，连接A′D，求A′D的长．
25．（14分）如图，已知一次函数y＝﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关
于y轴对称．
（1）求直线BC的函数关系式；
（2）若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①如图，当点M（a，0）在线段OA上时，△BPQ的面积为S，求S与a之间的函数关系式；
②连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
第5页（共21页）2021-2022 学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷（北师大
版B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂。
1．（4分）在下列实数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．3
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣ ＜﹣1＜0＜3，
∴所给的实数中，最小的数是﹣ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负
实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是
否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．
D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：
已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．（4分）平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】根据平方根的性质计算．
第6页（共21页）【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a
的二次方根．
4．（4分）如图，下列条件能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠2＝∠3
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平
行进行判断即可．
【解答】解：A、由∠3＝∠4，不能判断AB∥CD，故A选项不合题意；
B、由∠1＝∠4，不能判断AB∥CD，故B选项不合题意；
C、由∠1＝∠2，不能判断AB∥CD，故C选项不合题意；
D、由∠2＝∠3，能判定AB∥DC，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同
旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
5．（4分）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的
用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（ ）
A．10吨 B．9吨 C．8吨 D．7吨
【分析】从图中得到6个月用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的
平均数就可得到平均用水量．
【解答】解：这6个月的平均用水量：（8+12+10+15+6+9）÷6＝10吨，
故选：A．
第7页（共21页）【点评】此题主要考查了折线图的应用以及平均数求法，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练
掌握平均数的计算方法是解题关键．
6．（4分）若函数y＝2x+a与y＝﹣ x的图象交于点P（2，b），则关于x，y的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一
次方程组的解．
【解答】解：∵函数y＝2x+a与y＝﹣ x的图象交于点P（2，b），
∴b＝﹣ ×2＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答问题．
7．（4分）若m＝1+ ，则以下对m的值估算正确的是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴2＜1+ ＜3，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解
题的关键．
8．（4分）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
第8页（共21页）A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【解答】解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任
何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题
是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（4分）如图，直线a⊥b，若以平行于a的直线为x轴，以平行于b的直线为y轴，建立平面
直角坐标系，若A（﹣3，2），B（2，﹣3），则坐标系的原点最有可能是（ ）
A．O B．O C．O D．O
1 2 3 4
【分析】根据A（﹣3，2），B（2，﹣3），建立直角坐标系即可．
【解答】解：如图，
∵A（﹣3，2），B（2，﹣3），直线a⊥b，若以平行于a的直线为x轴，以平行于b的直线为y
轴
∴建立如图所示的直角坐标系，
∴坐标系的原点最有可能是O ．
2
故选：B．
第9页（共21页）【点评】本题考查了坐标与图形性质，根据A（﹣3，2），B（2，﹣3）建立正确的直角坐标系是
解题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系中，有三个点A（﹣3，1），B（﹣1，5），C（0，m），当△ABC的周长
最短时，m的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．7
【分析】若三角形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余两边最短即可，根据对称性
作出B关于y轴的对称点B′、求出AB′的解析式，即可得到m的值．
【解答】解：如图，作B的对称点B'（1，5），
连接AB'交y轴于点C，此时当△ABC的周长最短，
设直线AB'：y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴m＝4．
第10页（共21页）故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，利用轴对称与待定系数法求函数解析式相
结合，考查了同学们的综合应用能力．正确作出图形是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）请写出一个无理数 ．
【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可．
【解答】解： 是无理数．
故答案为： ．
【点评】本题考查了无理数，牢记无理数的定义是解题的关键．
12．（4分）数据3，3，3，3，3的方差是 0 ．
【分析】先求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数＝（3+3+3+3+3）÷5＝3，
∴s2＝ （0+0+0+0+0）＝0．
故答案为0．
【点评】本题考查了方差公式，计算公式是：s2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2（] 可
1 2 n
简单记忆为“方差等于差方的平均数”），此题比较简单，解题的关键是牢记公式．
13．（4分）若线段AB∥x轴，且A（2，m），B（3，1），则m的值为 1 ． ．
【分析】由线段AB∥x轴得m＝1即可．
【解答】解：∵线段AB∥x轴，A（2，m），B（3，1），
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，根据AB∥x轴得出关于m的方程是解题的关键．
14．（4分）把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中30°角的顶点D恰好放在等腰直角三
角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF＝100°，则∠BMD＝ 8 5 °．
第11页（共21页）【分析】根据平角定义求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和是180°求出∠BMD的度
数即可．
【解答】解：由题知，∠ADF＝100°，∠FDE＝30°，
∴∠MDB＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝180°﹣45°﹣50°＝85°，
故答案为：85．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形内角和，平角的定义等知识，熟练掌
握等腰三角形的性质，三角形内角和是180°等知识是解题的关键．
15．（4分）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）满足：当x ＜
1 1 2 2 1
x 时，y ＜y ．则k的取值范围是 k ＞ 1 ．
2 1 2
【分析】根据一次函数的增减性列式求解即可．
【解答】解：∵当x ＜x 时，y ＜y ．
1 2 1 2
∴y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了一次函数的增减性，对于
一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小．
16．（4分）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的
面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列
四个结论：
①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝ ；④2xy+9＝64．
其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理
解答．
第12页（共21页）【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，
故①正确；
由图可知，x﹣y＝CE＝ ＝3，
故本②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4× ×xy+9＝64，
即2xy+9＝64；
故本④正确；
由2xy+9＝64可得2xy＝55①，
又∵x2+y2＝64②，
∴①+②得，x2+2xy+y2＝64+55，
整理得，（x+y）2＝119，
x+y＝ ，
故③正确．
∴正确结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了勾股定理的证明及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，
熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）解方程组 ．
【分析】①+②得出4x＝12，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解： ，
①+②，得4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝4，
解得：y＝1，
所以方程组的解是 ．
第13页（共21页）【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此
题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有：代入法和加减法．
18．（8分）计算： ．
【分析】先利用二次根式的乘法法则算乘法，再化简 ，最后加减．
【解答】解：原式＝ ﹣ +
＝ + ．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的乘除法法则和二次根式的性质是解决本
题的关键．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求
证：△ACD是直角三角形．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DAC＝90°，可
得△ACD是直角三角形．
【解答】证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝ ＝12，
∵52+122＝132，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，
b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．（8分）我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．
今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，
合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？
第14页（共21页）【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据“合买好田、坏田100亩，共需10000钱”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设好田买了x亩，坏田买了y亩，
依题意，得： ，
解得： ．
答：好田买了20亩，坏田买了80亩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）求作直线AD，使得AD∥BC；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【分析】（1）作∠DAB＝∠B，则利用平行线的判定方法可得到AD满足条件；
（2）先根据平行线的性质得到∠DAB＝∠B，∠CAE＝∠C，再利用平角定义得到
∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠CAE＝∠C，
第15页（共21页）∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质
和三角形内角和定理．
22．（10分）某校对学生进行立定跳远水平测试随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩
绘制成如下两幅不完整的图（表）．
组别 成绩/m 人数/人
第一组 1.2≤x＜1.6 a
第二组 1.6≤x＜2.0 12
第三组 2.0≤x＜2.4 b
第四组 2.4≤x＜2.8 10
根据图（表）中所提供的信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ 8 ，中位数应落在第 三 组；
（2）请直接把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，再根据中位数的意义，找出第25、26位的两个
数落在哪个范围即可；
（2）先求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（3）用总学生数乘以立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8；
由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在三组，
故答案为：8，三；
第16页（共21页）（2）b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）根据题意得：
1200× ＝240（人），
答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解各个数量之间的
关系是正确解答的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点
A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；
（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题
目里定义的“等距点”．
24．（12分）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻
折得到△A′BP．
第17页（共21页）（1）如图1，当A′在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
（2）如图2，当AP＝6时，连接A′D，求A′D的长．
【分析】（1）根据翻折的性质可得A′B＝AB＝8，根据勾股定理即可求出AA'的长；
（2）过点A′作AB的平行线交AD和BC于点M和N，设MA′＝x，BN＝AM＝y，则MP＝
AM﹣AP＝y﹣6，A′N＝MN﹣A′M＝8﹣x，根据勾股定理，得62＝x2+（y﹣6）2①，82＝（8
﹣x）2+y2②，①②联立得y＝ x，将y＝ x代入①中得，x＝ ，再根据勾股定理即可
求出A′D的长．
【解答】解：（1）根据翻折可知：A′B＝AB＝8，
∴AA′＝ ＝8 ；
（2）如图，过点A′作AB的平行线交AD和BC于点M和N，
根据翻折可知：A′B＝AB＝MN＝8，A′P＝AP＝6，
设MA′＝x，BN＝AM＝y，
则MP＝AM﹣AP＝y﹣6，A′N＝MN﹣A′M＝8﹣x，
在Rt△A′MP中，根据勾股定理，得A′P2＝A′M2+MP2，
62＝x2+（y﹣6）2，①
在Rt△A′BN中，根据勾股定理，得A′B2＝A′N2+BN2，
82＝（8﹣x）2+y2，②
第18页（共21页）①②联立得y＝ x，
将y＝ x代入①中得，x＝0（舍去），x＝ ，
∴MA′＝ ，
∴BN＝y＝ x＝ ，
∴BN＝AM＝ ，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣ ＝ ，
∴A′D＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质以
及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，依据直角三角形的勾股定理，列方
程进行求解．解题时注意方程思想的灵活运用．
25．（14分）如图，已知一次函数y＝﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关
于y轴对称．
（1）求直线BC的函数关系式；
（2）若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①如图，当点M（a，0）在线段OA上时，△BPQ的面积为S，求S与a之间的函数关系式；
②连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出
直线BC解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
第19页（共21页）②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，
当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45＝（6+x）2，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：﹣ x+3＝0，解得x＝6，
∴A（6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（﹣6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数解析式为y＝ x+3；
（2）①∵点M（a，0），则点P（a，﹣ a+3），点Q（a， a+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝| a+3﹣（﹣ a+3）|＝|a|，BD＝|a|，
则△BPQ的面积S＝ PQ•BD＝ a2，
故S与a之间的函数关系式为S＝ a2；
②如图，当点M在y轴的右侧时，
第20页（共21页）∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，﹣ x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6+x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6+x）2，解得x＝ ，
∴P（ ， ），
如图2，当点M在y轴的左侧时，
同理可得P（﹣ ， ），
综上，点P的坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形
的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
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