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2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）1985年经国务院批准撤销新宾县成立新宾满族自治县，为全国第一个满族自治县，
以下能准确表示新宾满族自治县地理位置的是（ ）
A．在抚顺的东南部 B．东经125°，北纬41°
C．与吉林省相邻 D．东经125°
2．（3分）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A． ， ， B．32，42，52 C． ， ， D．12，15，9
3．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A． 是6的算术平方根
B． 的平方是6
C． 是无理数
D． 在数轴上找不到对应点
6．（3分）如图，已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，以斜边为半径画弧，交数轴正
半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列大小关系正确的是（ ）
A． ﹣2＞0 B．2 ﹣3＜0 C． ＞1 D．8＜
8．（3分）在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（ ）
第1页（共22页）A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置
B．点P的纵坐标是：4
C．点P到x轴的距离是4
D．它与点（4，3）表示同一个坐标
9．（3分）如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点的坐标是
（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，1） D．（﹣4，1）
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的
坐标为（ ）
A．（0，0） B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．（3分）﹣27的立方根是 ；在﹣1.4144，﹣ ， ， ，2﹣ ，0. ，
2.121112111112111…中，无理数的个数是 ．
12．（3分）已知实数a、b满足 +|6﹣b|＝0，则 的值为 ．
13．（3分）如图，在平行直角坐标系中有两点A（5，0），B（0，4），则A、B两点之间的距离为
14．（3分）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，若AD的长为2，则两
个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）为 ．
第2页（共22页）15．（3分）已知点O（0，0），B（1，2），点A在坐标轴上，且S△OAB ＝2，则满足条件的点A的坐
标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）.
16．（10分）计算：
（1） +（﹣2）﹣2﹣ +（ ﹣2）0；
π
（2）（ ﹣2）2× +6 ．
17．（9分）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理
信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年
以上的古松树4棵（S ，S ，S ，S ），古槐树6棵（H ，H ，H ，H ，H ，H ）．为了加强对这些
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S （2，
1
8），S （4，9），S （10，5），S （11，10）．
2 3 4
（1）根据S 的坐标为（2，8），请在图中画出平面直角坐标系；
1
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；
（3）已知H 在S 的南偏东41°，且相距5.4米处，试用方位角和距离描述S 相对于H 的位
5 1 1 5
置？
18．（9分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开
港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行
第3页（共22页）12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远
航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
19．（9分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
20．（9分）在解决问题“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答
的：
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1．
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a＝ ，求2a2﹣12a+1的值．
21．（9分）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积
为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了
说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法
第4页（共22页）吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
22．（10分）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的
研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 ﹣1 n ﹣1 0 m 2 …
其中，m＝ ，n＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，
画出该函数的图象；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
23．（10分）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它
是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形
ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正
方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S 、S 、S ，若S +S +S ＝18，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3 2
第5页（共22页）第6页（共22页）2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）1985年经国务院批准撤销新宾县成立新宾满族自治县，为全国第一个满族自治县，
以下能准确表示新宾满族自治县地理位置的是（ ）
A．在抚顺的东南部 B．东经125°，北纬41°
C．与吉林省相邻 D．东经125°
【分析】根据坐标确定点的位置可得．
【解答】解：A．在抚顺的东南部，无法准确确定新宾满族自治县地理位置，不符合题意；
B．东经125°，北纬41°，是地球上唯一的点，能准确确定新宾满族自治县地理位置，符合题
意；
C．与吉林省相邻，无法准确确定新宾满族自治县地理位置，不符合题意；
D．东经125°，不能准确表示新宾满族自治县地理位置，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标确定点的位置，掌握将平面用两条互相垂直的直线划分为四个
区域，据此可表示出平面内每个点的准确位置是关键．
2．（3分）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A． ， ， B．32，42，52 C． ， ， D．12，15，9
【分析】勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不符合勾股数的定义；
B、92+162≠252，不符合勾股数的定义；
C、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不符合勾股数的定义；
D、92+122＝152，符合勾股数的定义；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数．②一组
勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以
第7页（共22页）提高速度．
3．（3分）如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第三象限内点的坐标特征求出a、b的正负情况，然后对点Q的坐标进行判断
即可．
【解答】解：∵P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴点Q（a+b，ab）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，
﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】由正比例函数的性质可得出比例函数y＝kx的图象经过原点对称，结合正比例函
数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），即可得出正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
【解答】解：∵比例函数y＝kx的图象经过原点对称，且正比例函数y＝kx的图象经过点
（﹣2，1），
∴正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记正比例函数图象关于原点对称是解题的关键．
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A． 是6的算术平方根
B． 的平方是6
C． 是无理数
D． 在数轴上找不到对应点
【分析】根据6的算术平方根是 ，无限不循环小数是无理数，如开方开不尽的数是无理
数，如 是无理数，实数与数轴上的点是一一对应的关系，即可解答．
【解答】解：A、 是6的算术平方根，正确；
B、 的平方是6，正确；
第8页（共22页）C、 是无理数，正确；
D、 可以数轴上表示出来，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根、无理数、实数，解决本题的关键是熟记算术平方根和无理
数的定义，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系．
6．（3分）如图，已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，以斜边为半径画弧，交数轴正
半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据旋转的性质求出A点的数．
【解答】解：直角三角形斜边的长为： ，
根据旋转前后线段的长分别相等，
∴A点表示的数为 ．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理和旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图
形的大小、形状都不改，要求学生了解常见的数学思想、方法．
7．（3分）下列大小关系正确的是（ ）
A． ﹣2＞0 B．2 ﹣3＜0 C． ＞1 D．8＜
【分析】利用平方法比较实数大小的方法对每个选项进行判断即可．
【解答】解：∵ ＝2，22＝4，
又∵2＜4，
∴ ＜2．
∴ ﹣2＜0．
故A选项错误；
∵ ＝12，32＝9，
第9页（共22页）又∵12＞9，
∴2 ＞3．
∴2 ﹣3＞0．
故B选项错误；
∵ ＝5，32＝9，
∴ ＜3．
∴ ﹣1＜2，
∴ ＜1．
故C选项错误；
∵ ＝65，82＝64，
∴8＜ ．
故D选项正确．
综上，正确的选项为：D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（ ）
A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置
B．点P的纵坐标是：4
C．点P到x轴的距离是4
D．它与点（4，3）表示同一个坐标
【分析】分别利用点的坐标性质以及点坐标意义分析得出即可．
【解答】解：A、P（3，4）表示这个点在平面内的位置，正确，不合题意；
B、点P的纵坐标是：4，正确，不合题意；
C、点P到x轴的距离是4，正确，不合题意；
D、它与点（4，3）不是同一个坐标，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标的意义，得出横纵坐标意义是解题关键．
9．（3分）如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点的坐标是
（ ）
第10页（共22页）A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【分析】根据点A（m+2，m﹣1）在x轴上，可求出m的值，进而确定点B的坐标，再根据关
于x轴对称的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m+2，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得：m＝1，
∴m+3＝4，m﹣2＝﹣1，
∴点B（m+3，m﹣2）即（4，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（4，1）．
故选：C．
【点评】本题考查关于x轴对称点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点坐标之间的关
系是正确解答的前提．
10．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的
坐标为（ ）
A．（0，0） B． C． D．
【分析】先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B在直线y＝x上运动，所以
△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．
【解答】解：先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当点B与点B′重
合时AB最短，
∵点B在直线y＝x上运动，
∴∠AOB′＝45°，
∵AB′⊥OB，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，
∴△B′CO为等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
第11页（共22页）∴OC＝CB′＝ OA＝ ×1＝ ，
∴B′坐标为（﹣ ，﹣ ），
即当B与点B′重合时AB最短，点B的坐标为（﹣ ，﹣ ），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示B′
点坐标的等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．（3分）﹣27的立方根是 ﹣ 3 ；在﹣1.4144，﹣ ， ， ，2﹣ ，0. ，
2.121112111112111…中，无理数的个数是 4 ．
【分析】根据立方根的定义可求得﹣27的立方根；
根据无理数的定义：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有
理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限
不循环小数是无理数，可以确定无理数的个数．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3；
无理数有：﹣ ， ，2﹣ ，2.121112111112111…共有4个．
故答案是：﹣3，4．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
12．（3分）已知实数a、b满足 +|6﹣b|＝0，则 的值为 2 ．
【分析】先根据非负数的和为0求出a、b的值，再代入化简．
【解答】解：∵ +|6﹣b|＝0，
第12页（共22页）又∵ ≥0，|6﹣b|≥0，
∴a﹣3＝0，6﹣b＝0．
∴a＝3，b＝6．
∴ ＝ ＝2 ．
故答案为：
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是
解决本题的关键．
13．（3分）如图，在平行直角坐标系中有两点A（5，0），B（0，4），则A、B两点之间的距离为
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，A、B两点之间的距离＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那
么a2+b2＝c2．
14．（3分）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，若AD的长为2，则两
个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）为 1 ．
【分析】根据勾股定理得出AC2+CD2＝AD2，进而得出半圆面积解答即可．
【解答】解：∵△ACD是直角三角形，
∴AC2+CD2＝AD2，
第13页（共22页）∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD ＝ • AD2，S半圆AEC ＝ • AC2，S半圆CFD ＝ • CD2，
π π π
∴S半圆ACD ＝S半圆AEC +S半圆CFD ，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）＝Rt△ACD的面积＝
×2×1＝1；
故答案为：1．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据图中阴影部分＝△ACD的面积解答．
15．（3分）已知点O（0，0），B（1，2），点A在坐标轴上，且S△OAB ＝2，则满足条件的点A的坐
标为 （ 2 ， 0 ）或（﹣ 2 ， 0 ）或（ 0 ， 4 ）或（ 0 ，﹣ 4 ） ．
【分析】分点A在x轴上和y轴上两种情况利用三角形的面积公式求出OA的长度，再分两
种情况讨论求解．
【解答】解：若点A在x轴上，则S△OAB ＝ ×OA×2＝2，
解得OA＝2，
所以，点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0），
若点A在y轴上，则S△OAB ＝ ×OA×1＝2，
解得OA＝4，
所以，点A的坐标为（0，4）或（0，﹣4），
综上所述，点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）.
16．（10分）计算：
（1） +（﹣2）﹣2﹣ +（ ﹣2）0；
π
（2）（ ﹣2）2× +6 ．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化
简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
第14页（共22页）（2）直接利用乘法公式结合二次根式的性质化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+ ﹣ +1
＝4；
（2）原式＝（3+4﹣4 ）×2 +6×
＝14 ﹣24+2
＝16 ﹣24．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
17．（9分）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理
信息系统，其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年
以上的古松树4棵（S ，S ，S ，S ），古槐树6棵（H ，H ，H ，H ，H ，H ）．为了加强对这些
1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为S （2，
1
8），S （4，9），S （10，5），S （11，10）．
2 3 4
（1）根据S 的坐标为（2，8），请在图中画出平面直角坐标系；
1
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的坐标；
（3）已知H 在S 的南偏东41°，且相距5.4米处，试用方位角和距离描述S 相对于H 的位
5 1 1 5
置？
【分析】（1）以点S 向左2个单位，向下8个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可；
1
（2）写出6棵古槐树的坐标即可；
（3）根据方位角的概念，可得答案．
【解答】解：（1）补充画出平面直角坐标系如图所示：
第15页（共22页）；
（2）6棵古槐树的坐标分别为：H（3，5），H（1，3），H（7，5），H（8，6），H（8，1），H（12，
1 2 3 4 5 6
7）；
（3）∵H 在S 的南偏东41°，且相距5.4米处，
5 1
∴S 在H 的北偏西41°，且相距5.4米处．
1 5
【点评】本题考查了坐标确定位置，信息量比较大，根据已知点的坐标确定出原点的位置
是解题的关键．
18．（9分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开
港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行
12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远
航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【分析】直接得出RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，利用勾股定理逆定理以及方
向角即可得到“海 天”号航行方向．
【解答】解：由题意可得：RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
第16页（共22页）∵“远航”号沿北偏东45°方向航行
∴∠RPS＝45°，
∴“海天”号沿北偏西45°方向航行．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现
直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
19．（9分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【分析】由图象过点（0，1）和（3，﹣3）可求得函数解析式，从而可求得直线与x轴的交点，
则可求得l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【解答】解：
如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
由图象可知函数图象过点（0，1）和（3，﹣3），
代入解析式可得 ，解得 ，
∴直线l解析式为y＝﹣ x+1，
令y＝0可得0＝﹣ x+1，解得x＝ ，
∴A（ ，0），且B（0，1），
∴OA＝ ，OB＝1，
∴S△AOB ＝ OA•OB＝ × ×1＝ ，
第17页（共22页）即l与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
【点评】本题主要考查待定系数法，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关
键．
20．（9分）在解决问题“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答
的：
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1．
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a＝ ，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2﹣6a的值，最后整体代入．
【解答】解：∵a＝
＝
＝
＝3+ ．
第18页（共22页）∴ ．
∴（a﹣3）2＝7．
即a2﹣6a+9＝7．
∴a2﹣6a＝﹣2．
∴2a2﹣12a＝﹣4．
∴2a2﹣12a+1
＝﹣4+1
＝﹣3．
即2a2﹣12a+1的值为﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
21．（9分）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积
为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了
说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法
吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
【分析】先求得正方形的边长，然后设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，然后依据矩形的面
积为20cm2列方程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【解答】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，
设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝ ，
长为 ，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
22．（10分）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的
研究过程，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
第19页（共22页）y … 2 1 0 ﹣1 n ﹣1 0 m 2 …
其中，m＝ 1 ，n＝ ﹣ 2 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，
画出该函数的图象；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【分析】（1）将x＝﹣1，x＝2分别代入函数y＝|x+1|﹣2即可求m、n的值；
（2）描点法，取点（﹣1，﹣2），（1，0），（﹣3，0）连线即可；
（3）x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，函数有最小值﹣2，（答案不唯一）．
【解答】解：（1）x＝﹣1时，n＝|﹣1+1|﹣2＝﹣2，
x＝2时，m＝|2+1|﹣2＝1，
故答案为1，﹣2；
（2）如图：
（3）x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣1时，函数有最小值﹣2，（答案不唯一）．
第20页（共22页）【点评】本题考查一次函数图象上点的特点，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关
键．
23．（10分）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它
是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形
ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正
方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S 、S 、S ，若S +S +S ＝18，则S ＝ 6 ．
1 2 3 1 2 3 2
【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可；
（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，根据题意得出方程解答
即可．
【解答】证明：（1） ，
第21页（共22页），
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，
设AH＝BC＝x，则AB＝6﹣x，
在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，
即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，
解得：x＝1，
∴ ；
（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，
∵S +S +S ＝18，
1 2 3
∴S ＝8y+x，S ＝4y+x，S ＝x，
1 2 3
∴S +S +S ＝3x+12y＝18，
1 2 3
∴x+4y＝6，
∴S ＝6．
2
故答案为：6．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答．
第22页（共22页）
