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2021-2022学年河南省平顶山市汝州市九年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
3．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时
液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
第1页（共32页）4．（3分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩
形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x
满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
5．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第
一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，
若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边
AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2
7．（3分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC， ，则 ＝（ ）
第2页（共32页）A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k x+2（k ≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点
1 1
B，与反比例函数y＝ 在第二象限内的图象交于点C，连接OC，若S△OBC ＝1，tan∠BOC
＝ ，则k 的值是（ ）
2
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
9．（3分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C
处测得通信基站顶端 M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为
30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡
DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝ DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端
M与顶端N的高度差为（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
10．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝
，则其面积S＝ ．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝
第3页（共32页）5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．（3分）若A（1，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （m＜ ）图象上的两点，则y 、y 的
1 2 1 2
大小关系是y y .（填“＞”、“＝”或“＜”）
1 2
12．（3分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从
A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者
的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面
上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下
名字．则A，B两名志愿者被选中的概率是 ．
13．（3分）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，
物高与影长的比是 ，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高
DE＝ 米．（结果保留根号）
14．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝ ．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则
▱
sin∠BCE＝ ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝
﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
第4页（共32页）其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
17．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形．
18．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断
训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看
到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后
退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的
高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，
AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边
CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
19．（9分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑
第5页（共32页）马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾
驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：
sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ， ≈1.73，结果精确到0.1米）
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于
A、B两点，且与反比例函数y＝ 图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的
传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的
猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元
时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）
求y关于x的函数解析式并求最大利润．
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F
是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，
连接HB，HC．
①求证：HD＝HB；
第6页（共32页）②若DK•HC＝ ，求HE的长．
23．（11分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物
线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水
位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否
会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部
分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞
0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图
象，求m的取值范围．
第7页（共32页）2021-2022学年河南省平顶山市汝州市九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线
画实线，看不到的线画虚线．
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、
cosB即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
第8页（共32页）∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ，
∴sinA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，cosB＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确
解答的前提．
3．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时
液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽△ABO'，即相似比为 ，
第9页（共32页）∴ ＝ ，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝11﹣7＝4（cm），
∴ ＝ ，
∴AB＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
4．（3分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩
形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x
满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x
的函数关系式．
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
第10页（共32页）【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识，理清题中的
数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
5．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第
一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，
若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2
亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边
AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边
三角形，求出EH，GF，FG即可．
【解答】解：如图，连接BD，AC．
第11页（共32页）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝ AB＝1，OB＝ OA＝ ，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE＝OF，BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝ × ＝ ，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF＝GH＝ ，EH＝FG＝ ，
∴四边形EFGH的周长＝3+ ，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC， ，则 ＝（ ）
第12页（共32页）A． B． C． D．
【分析】由于平行线之间的距离处处相等，则根据三角形面积公式得到 ＝ ＝ ，
再证明△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到 ＝ ＝ ，利用比例的性质得到
＝ ，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离相等，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ ＝
×底×高．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k x+2（k ≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点
1 1
B，与反比例函数y＝ 在第二象限内的图象交于点C，连接OC，若S△OBC ＝1，tan∠BOC
第13页（共32页）＝ ，则k 的值是（ ）
2
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
【分析】如图，作CH⊥y轴于H．承办方求出点C坐标即可解决问题；
【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H．
由题意B（0，2），
∵ •OB•CH＝1，
∴CH＝1，
∵tan∠BOC＝ ＝ ，
∴OH＝3，
∴C（﹣1，3），
把点C（﹣1，3）代入y＝ ，得到k ＝﹣3，
2
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数于一次函数的交点问题，锐角三角函数等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C
处测得通信基站顶端 M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为
30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡
第14页（共32页）DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝ DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端
M与顶端N的高度差为（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【分析】根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，
得到答案．
【解答】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝ ，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30× ≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝ DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角和
俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
10．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝
，则其面积S＝ ．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝
5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p＝ ，p＝5，c＝4，
第15页（共32页）∴5＝ ，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当b＝3时，S有最大值为 ＝2 ．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的
面积．
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．（3分）若A（1，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （m＜ ）图象上的两点，则y 、y 的
1 2 1 2
大小关系是y ＜ y .（填“＞”、“＝”或“＜”）
1 2
【分析】反比例函数的系数为2m﹣1＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜ ），
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜1＜3，
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指
在同一象限内．
12．（3分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从
A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者
第16页（共32页）的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面
上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下
名字．则A，B两名志愿者被选中的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴则A，B两名志愿者被选中的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，
物高与影长的比是 ，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高
DE＝ （ 1 6 ﹣ 6 ） 米．（结果保留根号）
【分析】设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得
AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．
【解答】解：如图，
第17页（共32页）设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝12米．
∵物高与影长的比是1： ，
∴ ，
则AF＝ EF＝6 米，
故DE＝FB＝（16﹣6 ）米．
故答案为（16﹣6 ）．
【点评】本题考查了相似三角似三角形的应用和平行投影，根据物高与影长的比是1： ，
得出AF的值是解题的关键．
14．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝ ．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则
▱
sin∠BCE＝ ．
【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sinA＝ ＝ ，可得DE＝4，根
据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝
AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得
BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，
第18页（共32页）∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝ ＝ ，
∴DE＝4，
∴AE＝ ＝3，
在 ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴▱BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF＝ ，
∴sin∠BCE＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF
＝3BF是解决本题的关键．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝
﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
第19页（共32页）其中，正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值
y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特
征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
第20页（共32页）（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得
出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x ＝m，x ＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出
1 2
答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x ＝m，x ＝3m．
1 2
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x ，x ，则x +x ＝4m，x •x ＝3m2，
1 2 1 2 1 2
∵x ﹣x ＝2，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝4，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ＝4，
1 2 1 2
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题
的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
17．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形．
第21页（共32页）【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AM＝CN，即可得出结论
（2）由等腰三角形的性质得CM⊥AD，则∠AMC＝90°，即可得出结论；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝ AD＝AM，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝ ，CN＝ ，
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴CM⊥AD，
∴∠AMC＝90°，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴CM＝ AD＝AM，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性
质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证出四边
形AMCN为平行四边形是解题的关键．
18．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断
训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
第22页（共32页）方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看
到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后
退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的
高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，
AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边
CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 二、三 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，
方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用△ABC∽△EDC，得
AB＝1.5BC，再根据△ABF∽△GHF，可求出x的值．
【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可
行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
∴AB＝ ，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴ ，
第23页（共32页）∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴ ，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
故答案为：二，三；AB＝12m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，读懂题意，熟练运用相似三角形的性质是解
题的关键．
19．（9分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑
马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾
驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：
sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ， ≈1.73，结果精确到0.1米）
【分析】延长AB，过C作CE⊥AB于点E，在直角△AEC与直角△BEC中，利用三角函数，
即可利用CE表示出AE于BE，根据AB＝AE﹣BE，即可得到关于CE的方程，从而求解．
进而求得AE，则AE﹣AB﹣1.8即可求解．
【解答】解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，
第24页（共32页）∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
同理BE＝ ，
∵AB＝AE﹣BE，
∴ ﹣ ＝4，
解得：m＝4× ≈4.08（m），
∴AE＝ m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题，学会利用参数构建方程求解．
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于
A、B两点，且与反比例函数y＝ 图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
第25页（共32页）【解答】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y＝ 图象上一点，
∴代入得m＝ ＝4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x＝﹣ ，A（﹣ ，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B O⊥A H，∠PA O＝∠B A O，
1 1 1 1 1
∴△A OB ∽△A HP，
1 1 1
∴ ，
∴B O＝ PH＝4× ＝2，
1
∴b＝2，
∴A O＝OH＝1，
1
∴|﹣ |＝1，
∴k＝2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B Q，A O⊥B Q，∠A B O＝∠AB Q，
2 2 2 2 2 2
∴△A OB ∽△PQB ，
2 2 2
∴ ，
第26页（共32页）∴AO＝|﹣ |＝ PQ＝ ，B O＝ B Q＝ OQ＝|b|＝2，
2 2
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
综上，k＝2或k＝6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特
征，三角形相似的判定和性质，求得AO的长度的解题的关键．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的
传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的
猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元
时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）
求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元
购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每
天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数
关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则 ，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
第27页（共32页）当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售
猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F
是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，
连接HB，HC．
①求证：HD＝HB；
②若DK•HC＝ ，求HE的长．
【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE＝AF，即可求解；
（2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点H是EF的中点，故DH＝
EF，进而求解；
②证明△DKF∽△HEC，则 ，即DK•HC＝DF•HE，进而求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，
∵CE＝AF，
第28页（共32页）∴△DCE≌△DAF（SAS）；
（2）①∵△DCE≌△DAF，
∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，
∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴△DFE为等腰直角三角形，
∵DH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∴DH＝ EF，
同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝ EF，
∴HD＝HB；
②∵四边形ABCD为正方形，
故CD＝CB，
∵HD＝HB，CH＝CH，
∴△DCH≌△BCH（SSS），
∴∠DCH＝∠BCH＝45°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DFE＝45°，
∴∠HCE＝∠DFK，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DKF＝∠HEC，
∴△DKF∽△HEC，
∴ ，
∴DK•HC＝DF•HE，
在等腰直角三角形DFH中，DF＝ HF＝ HE，
∴DK•HC＝DF•HE＝ HE2＝ ，
∴HE＝1．
【点评】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三角形
第29页（共32页）的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中．
23．（11分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物
线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水
位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否
会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部
分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞
0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图
象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a
（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即
可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求
出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣ ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣ （x﹣4）2+4，
第30页（共32页）即y＝﹣ x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣ x2+2x，
解得：y＝ ＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣ x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对
称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
第31页（共32页）∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
【点评】本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关键是利用平移后的函数对
称轴，函数的增减性求m的取值范围．
第32页（共32页）
