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2021-2022学年江西省赣州市南康区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．以下为四个银行的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
3．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是
点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
4．一元二次方程x2﹣6x+4＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13
5．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图
1）．图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长
为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中
画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．那么这一段斐波那契螺旋线的弧
长为（ ）
第1页（共6页）A． B．5 C． D．6
π π π π
6．已知一个二次函数图象经过P（1，y ），P（2，y ），P（3，y ），P（4，y ）四点，若y ＜y ＜y ，
1 1 2 2 3 3 4 4 3 2 4
则y ，y ，y ，y 的最值情况是（ ）
1 2 3 4
A．y 最小，y 最大 B．y 最小，y 最大
3 1 3 4
C．y 最小，y 最大 D．无法确定
1 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）
7．从﹣1， ，3中随机任取一数，取到无理数的概率是 ．
8．已知x＝π1是方程x2+bx+5＝0的解，则b＝ ．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的弧交AB于点E，交
BC于点D，则∠DCE的度数为 °．
10．若m，n是方程x2+2x﹣3＝0两个根，则m2n+mn2的值为 ．
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到
菱形AEFG．当点E恰好落在AC上时，设EF与CD交于点H，则HE＝ ．
12．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
第2页（共6页）13．（1）解方程：x2﹣4x＝0．
（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在 O
的半径r的长． ⊙
14．已知点P（a，a+b）与点Q（2b，6）关于原点对称，求点P、Q两点的坐标，并直接写出PQ
的长．
15．如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，D是 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△⊙ABC中AB边上的中线CE；
（2）在图2中，画出△ABC中AC边上的中线BF．
16．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共
享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内
容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状
图的方法求抽到的两张卡片恰好是“A．共享出行”和“D．共享知识”的概率．
17．在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4）且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）求直线y＝﹣x﹣1与该二次函数图象的交点的坐标．
第3页（共6页）四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，
﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，直接写出点A 的坐标 ；
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕点O顺时针旋转90°后的△A B C ，求出线段A B 扫过的面积（结果
1 1 1 2 2 2 1 1
保留 ）．
π
19．已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
20．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交 于点E，点F为OD的延长线
上一点且满足∠B＝∠F．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若AB＝4，∠⊙B＝30°，连接AD，求AD的长．
五、（本大题共2小题，每小题6分，共18分）【从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅
第4页（共6页）批改第1题．其中第21题满分为6分，第22题满分为9分】
21．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需
对居住的每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？
22．张大爷佩戴能计步的运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后整理数据如下表．与第一次锻
炼相比，张大爷第二次锻炼时步数在增加，平均步长在减少，其中步数增长的百分率是其
平均步长减少的百分率的3倍．设平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
第一次锻炼 第二次锻炼
平均步长（米/步） 0.6 ①
步数（步） 10000 ②
距离（米） 6000 7020
（1）根据题意完成表格填空① ，② ．
（2）求平均步长减少的百分率x；【温馨提示：数学运算可以先约分后化简】
（3）张大爷发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，
使得总步数恰好为24000步，求张大爷这500米的平均步长．
【从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．其中第1题满分为6分，第2题
满分为9分】
23．已知△ABC中，∠ACB＝135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，
CE．
（1）求证：△ACD为等腰直角三角形；
（2）若BC＝1，AC＝2，求四边形ACED的面积．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°．△AOB绕
着O顺时针旋转 °，得△COD，点A，B旋转后的对应点为C，D．
（1）如图1，CDα恰好经过点A时，
①直接写出旋转角 的度数为 °；
第5页（共6页）
α②求出此时点D的坐标；
（2）如图2，若0＜ ＜90，求证：AC⊥BD．
α
六【从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．其中第1题满分为7分，第2
题满分为12分】
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B
以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q
两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的
取值范围．
26．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E，经
过E、D两点的抛物线y＝﹣ x2+mx+1（x≥0）的图象记为G ，抛物线y＝﹣ x2﹣mx﹣1
1
（x＜0）的图象记为G ．设矩形ABCD的周长为L．
2
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；
（2）求L与m之间的函数关系式：
（3）当G 与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值．
2
第6页（共6页）
