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专题 24.10 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积
的技巧五大题型的理解！
【题型1 直接法】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆
心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，
则图中阴影部分的面积为（ ）
9π 9√3 9π 9√3 9√3 9π 9√3
A． - B． - C．9π- D． -
2 2 4 4 2 2 4
2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O
于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 2π 3π 3π
A． B． C． D．
3 5 10 5
3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连
接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（ ）13π 15π
A．4π B． C．3π D．
4 4
4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以
边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（ ）
A．3 B．9 C．3√2 D．18
5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，
点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为4√3的扇形OAB中，
∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为
．7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半
径画圆，则：
（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线DF与圆A的位置关系是 .
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于
B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为
【题型2 和差法】
1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，
DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，∠BDE=∠BCF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=∠BDE，BF=3，求阴影部分的面积．
2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，
以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=2√2，请求出图中阴影部分的面积．
（结果保留π）3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，DC∥AB，
BC∥AD．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作
CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积．
6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与
⊙O相交于点D，点E是A´D上任一点．(1)求证：∠BED=∠DBC．
(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）
7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=√2，点P在BC上，以点C
为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中
阴影部分的面积为y．（π取3）
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O
交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若AE=1，∠BAD=75°，
①求BE的长．
②求阴影部分的面积．
【题型3 割补法】1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2
为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
π π π
A． -1 B．1- C． -1 D．2π-4
2 4 3
2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，
并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．
分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2，则图中阴影部分的面
积为（ ）
5 8 5 8
A． π-2√3 B． π-2√3 C． π-√3 D． π-4√3
3 3 3 3
3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，
将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）2π 1 π √3 π √3 2π √3
A． - B． + C． - D． -
3 2 3 4 2 2 3 2
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点
O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴
影部分的面积为 ．
5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径
作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4√3，以点C
为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于
点F，交A´E于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023秋·浙江·九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三
角形”．（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则
这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角
形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠BDC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=3时，求阴影部分的面积．
8．（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的
⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=2，求阴影部分的面积．
【题型4 整体法】
1.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则
其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．2.（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，一块四边形绿化园地，四角都有半径为r的圆形喷水池，则这
四个喷水池(阴影部分)的占地面积为 (结果保留π).
3.（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，
分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm，则图中阴影部
分的面积为______cm2．
4.（2023 秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，在⊙O中，OA⊥OB，
CD=DE=√2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为______．
5.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，BC=3，分别以点B，C为圆
心，BC长为半径在BC右侧画弧，两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的
面积和为（ ）
3π 5π 5π
A． B． C． D．2π
2 2 3
7．（2023秋·河北承德·九年级承德市民族中学校考开学考试）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）
8．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影
部分的面积为 （结果保留π）．【题型5 等面积变形法】
1.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角
线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，
BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π-1 B. π-3 C. π-2 D. 4-π
2.（2023 秋·四川泸州·九年级校考期末） 如图，在⊙O中，OA⊥OB，
CD=DE=√2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为( )
π 1
A. -
4 2
π
B.
4
π 1
C. -
2 2
π
D. -1
2
3.（2023秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=
，则图中阴影部分的面积是______4.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转
45°，点A旋转到点A'的位置，则图中阴影部分的面积是_______(结果保留π)．
5.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边
形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作
AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分
的面积为______．
⏜
6.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，△ABC是边长为1的正三角形，
AB
⏜
与 所对的圆心角均为120∘，则图中阴影部分的面积为 ．
AC
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考模拟预测）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C
为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA
延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；FD 2
（2）若 = ，求图中阴影部分的面积．
DE 1
8．（2023秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，
交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
