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2021-2022学年河南省平顶山市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0
C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2
2．（3分）如图所示几何体，其俯视图大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）方程（x﹣3）2＝4的根为（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝5，x ＝1 C．x ＝x ＝1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（3分）如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添加
下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
5．（3分）某校进行疫情防控趣味活动时，在四张材质、大小完全相同的卡片上分别写上“戴
口罩”“测体温”“健康码”“行程码”，并放置在暗箱中充分摇匀．小红随机抽取两张，
抽取到“戴口罩”和“测体温”两张卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共29页）6．（3分）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15
7．（3分）已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四
季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为x，由题意可
列方程（ ）
A．40（1+x）2＝132.4
B．40+（1+x）+（1+x）2＝132.4
C．40（1+x）（1+x）2＝132.4
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝132.4
8．（3分）甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前
后的两个三角形相似．
乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，
变化前后的两个矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
9．（3分）函数y＝kx﹣k与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和
N，连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
第2页（共29页）A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知 ＝ ，则 ＝ ．
12．（3分）设 ， 是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则 + ＝ ．
α β
13．（3分）已知点（2，y ），（1，y ），（﹣2，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系为 ．（用“＜”连接）
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段
AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为
ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝ s时，四
边形DEBF为正方形．
15．（3分）如图1，点M，N为边长为8cm的正方形ABCD边AB，CD上的动点，连接MN，点E
为边BC的中点．将正方形ABCD沿线段MN折叠，使点D的对应点P落在线段BE上，点
A的对应点为F，如图2所示．则线段CN的取值范围是 ．
三、解答题（本大题8个小题，共计75分）
第3页（共29页）16．（10分）解下列一元二次方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0（用公式法）；
（2）（x﹣3）2＝3x﹣9（用因式分解法）．
17．（8分）如图，△ABC的顶点和定点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上．
（1）以点O为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似△A'B'C'，使它与△ABC的相似比
为2，且位于点O的右侧；
（2）在（1）的情况下，线段B'C′经过格点D（不同于点B'，C'），连接CD，BC'，直接写出四
边形BC'DC的形状及其周长．
18．（9分）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿
着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．
（1）若人和木板对湿地地面的压力F一定时，木板对烂泥湿地的压强p（Pa）是木板面积S
（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
①求出p与S的函数解析式；
②当木板面积为0.3m2时，压强是多少？
（2）已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在400N～750N之间，若要求压
强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？
19．（9分）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点
第4页（共29页）F．
（1）判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若∠B＝35°，当∠C＝ 度时，四边形AEDF为正方形；
②当△ABC是边长为2的等边三角形时，四边形AEDF的面积为 ．
20．（9分）已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0．
（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根．
21．（10分）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价
为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，
那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业
额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否
在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能
售完，说明理由．
22．（10分）古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，
建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在
第一象限内．
①在平面直角坐标系中，画出函数y＝ （x＞0）的图象，图象与边OA交于点D；
②以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数y＝ （x＞0）的图象于点E，如图所示；
③分别过点D，E作x轴和y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP．此时有∠POB＝
∠AOB．
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，交OP于点F，连接DE，EF，且DE交OP于点C，设点
第5页（共29页）D的坐标为（a， ），点E的坐标为（b， ），
根据以上作图，回答下列问题：
（1）点P的坐标为 ；（用含a，b的代数式表示）；
（2）直线OP的解析式为 ，则点F的坐标为 ；（用含a，b的代数式表示）
（3）根据点E，F的坐标可以判断线段EF与DP的位置关系为 ，由此结合题意可
判断四边形DFEP的形状为 ；
（4）证明：∠POB＝ ∠AOB．
23．（10分）（1）如图1，边长为a的正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，且正方形
OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．则图中阴影部分（四边形
BROH）的面积为 ；（用含a的代数式表示）
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，点O为BD的中点．
正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．求图中阴影部分
（即四边形BROH）的面积；
（3）如图3，△ABC与△OEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝
OF．BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，点O为BD的中点，OE交边AB于点H，OF交边
BC于点R．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为S，已知EF＝3 ，当两三角形的
空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积S的值．
第6页（共29页）第7页（共29页）2021-2022学年河南省平顶山市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0
C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；
D．该方程（x+1）（x﹣2）＝x2化简后得，x+2＝0是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程叫一元二次方程．
2．（3分）如图所示几何体，其俯视图大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一行三个相邻的矩形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
第8页（共29页）3．（3分）方程（x﹣3）2＝4的根为（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝5，x ＝1 C．x ＝x ＝1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程（x﹣3）2＝4，
开方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x ＝5，x ＝1．
1 2
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关
键．
4．（3分）如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添加
下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】首先根据中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据菱形的判定：①
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形，可以得出答
案．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝ AC，
同理可得：HG∥AC，HG＝ AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
A：若EH＝HG，则 EFGH为菱形，故A选项能判断四边形EFGH为菱形，
▱ 第9页（共29页）B：若EG⊥HF，则 EFGH为菱形，故B选项能判断四边形EFGH为菱形，
▱
C：若AC＝BD，则有：EH＝ ，HG＝ ，
∴EH＝HG，
∴ EFGH为菱形，故C选项能判断四边形EFGH为菱形，
D：▱若AC⊥BD，则可得：EH⊥HG，则 EFGH为矩形，不一定是菱形，
∴D选项不能判断四边形EFGH为菱形．▱
故选：D．
【点评】本题考查中位线定理及菱形的判定，熟练掌握中位线定理的应用和菱形的判定是
解题关键．
5．（3分）某校进行疫情防控趣味活动时，在四张材质、大小完全相同的卡片上分别写上“戴
口罩”“测体温”“健康码”“行程码”，并放置在暗箱中充分摇匀．小红随机抽取两张，
抽取到“戴口罩”和“测体温”两张卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取到“戴口罩”和“测体温”两张卡
片的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“戴口罩”“测体温”“健康码”“行程码”的四张卡片分别记为A、B、
C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取到“戴口罩”和“测体温”两张卡片的结果有2种，
∴抽取到“戴口罩”和“测体温”两张卡片的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15
第10页（共29页）【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出a与b的值．
【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣6，
配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，
∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
∴a＝﹣3，b＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（3分）已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四
季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为x，由题意可
列方程（ ）
A．40（1+x）2＝132.4
B．40+（1+x）+（1+x）2＝132.4
C．40（1+x）（1+x）2＝132.4
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝132.4
【分析】设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，根据第四季度的总营业额要达
到132.4万元，列方程即可得到结论．
【解答】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，
根据题意可列的方程为40+40（1+x）+40（1+x）2＝132.4，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量
为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．（3分）甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前
后的两个三角形相似．
乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，
变化前后的两个矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
第11页（共29页）C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【解答】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形相似．
∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个矩形不相似，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
9．（3分）函数y＝kx﹣k与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝
kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图
象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图
象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图
象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数
所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
10．（3分）如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和
N，连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
第12页（共29页）A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】作EG⊥BC于G，交AD于F．于是得到四边形BGEM，四边形CNEG，四边形
AMEF，四边形DFEN都是矩形，根据三角形的面积推出S四边形BGEM ＝S四边形DNEF ，得到
S△BEM ＝S△DEN ＝ ×2×6＝6，于是得到结论．
【解答】解：作EG⊥BC于G，交AD于F．
则有四边形BGEM，四边形CNEG，四边形AMEF，四边形DFEN都是矩形，
∴S△BME ＝S△BGE ，S△CGE ＝S△CEN ，S△AME ＝S△AEF ，S△DNE ＝S△DEF ，S△ABC ＝S△ADC ，
∴S△ABC ﹣S△AEM ﹣S△CNE ﹣S△CGE ＝S△ADC ﹣S△AEF ﹣S△CNE ，
∴S四边形BGEM ＝S四边形DNEF ，
∵BM＝CN＝2，
∴S△BEM ＝S△DEN ＝ ×2×6＝6，
∴△END和△BEM的面积和＝6+6＝12，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形BGEM ＝S四边
．
形DNEF
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】根据比例的性质求出b＝3a，代入求出即可．
第13页（共29页）【解答】解：∵ ＝ ，
∴b＝3a，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
12．（3分）设 ， 是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则 + ＝ ．
α β
【分析】根据x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝− ，x x ＝ ，得
1 2 1 2 1 2
+ ＝﹣1， ＝﹣6，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
α【解β 答】解α：β根据题意得 + ＝﹣1， ＝﹣6，
α β αβ
+ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
一种经常使用的解题方法．
13．（3分）已知点（2，y ），（1，y ），（﹣2，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．（用“＜”连接）
2 1 3
【分析】分别把点（2，y ），（1，y ），（﹣2，y ）代入反比例函数y＝﹣ ，求出y ，y ，y 的值，
1 2 3 1 2 3
再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（2，y ），（1，y ），（﹣2，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
1 2 3
∴y ＝﹣ ＝﹣1，y ＝﹣ ＝﹣2，y ＝﹣ ＝1，
1 2 3
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
第14页（共29页）14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段
AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为
ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝ 4 s时，四边
形DEBF为正方形．
【分析】根据等边三角形的性质，可以得到BD的长，然后根据菱形的性质可以得到OD的
长和BD⊥EF，再根据正方形的性质，可以得到OD＝OE，然后即可计算出t的值．
【解答】解：∵△ABD是边长为4cm的等边三角形，
∴BD＝4cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OD＝2cm，
∵四边形DEBF为正方形，
∴OD＝OE，
∴t＝2÷0.5＝4，
即t＝4时，四边形DEBF为正方形，
故答案为：4．
【点评】本题考查等边三角形的性质、菱形的性质、正方形的性质，利用数形结合的思想解
答是解答本题的关键．
15．（3分）如图1，点M，N为边长为8cm的正方形ABCD边AB，CD上的动点，连接MN，点E
为边BC的中点．将正方形ABCD沿线段MN折叠，使点D的对应点P落在线段BE上，点
A的对应点为F，如图2所示．则线段CN的取值范围是 0 ≤ CN ≤ 3 ．
第15页（共29页）【分析】当点N运动到C点，即点P与点B重合时，CN取得最小值为0，当点P与点E重
合时，CN取得最大值，设CN＝x，则DN＝8﹣x，CE＝4，由翻折可得EN＝DN，当点P与点
E重合时，EN＝PN＝8﹣x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，当点N运动到C点，即点P与点B重合时，
CN取得最小值为0，
当点P与点E重合时，CN取得最大值，
∵正方形ABCD的边长为8cm，点E为边BC的中点，
设CN＝x，则DN＝8﹣x，CE＝4，
由翻折可知：EN＝DN，
当点P与点E重合时，
∴EN＝PN＝8﹣x，
在Rt△PCN中，∠PCN＝90°，根据勾股定理得：
PN2＝PC2+CN2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3，
∴CN＝3，
∴线段CN的取值范围是0≤CN≤3．
故答案为：0≤CN≤3．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（本大题8个小题，共计75分）
16．（10分）解下列一元二次方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0（用公式法）；
（2）（x﹣3）2＝3x﹣9（用因式分解法）．
【分析】（1）利用求根公式代入计算即可；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，
分别求解即可得出答案．
第16页（共29页）【解答】解：（1）∵a＝3，b＝8，c＝﹣3，
∴Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x ＝﹣3，x ＝ ．
1 2
（2）∵（x﹣3）2＝3x﹣9，
∴（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x ＝3，x ＝6．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
题的关键．
17．（8分）如图，△ABC的顶点和定点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上．
（1）以点O为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似△A'B'C'，使它与△ABC的相似比
为2，且位于点O的右侧；
（2）在（1）的情况下，线段B'C′经过格点D（不同于点B'，C'），连接CD，BC'，直接写出四
边形BC'DC的形状及其周长．
【分析】（1）延长AO到A′使OA′＝OA，延长BO到B′使OB′＝OB，延长CO到C′
使OC′＝OC，则△A'B'C'满足条件；
（2）利用BC＝C′D＝ ，CD＝BC′＝2 可判断四边形BC'DC为平行四边形．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
第17页（共29页）（2）如图，四边形BC'DC为所作，
∵BC＝C′D＝ ＝ ，CD＝BC′＝ ＝2 ，
∴四边形BC'DC为平行四边形，其周长为2（ +2 ）＝2 +4 ．
【点评】本题考查了位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别
连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图
形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
18．（9分）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿
着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．
（1）若人和木板对湿地地面的压力F一定时，木板对烂泥湿地的压强p（Pa）是木板面积S
（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
①求出p与S的函数解析式；
②当木板面积为0.3m2时，压强是多少？
（2）已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在400N～750N之间，若要求压
强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？
【分析】（1）①根据压强等于压力除以受力面积即可解得；
②将S＝0.3代入函数的解析式计算压强即可；
第18页（共29页）（2）令压强小于等于5000pa，求得面积即可；
【解答】解：（1）①设p与S的函数解析式为P＝ ，由图可知，当S＝2时，p＝300，
所以有300＝ ，
解得：F＝600，
即：p与S的函数解析式p＝ ；
②令S＝0.3，则P＝ ＝2000Pa，
所以物体受到的压强为2000Pa；
（2）由题意得：人与木板对湿地底面的最大压力为750N，此时有P＝ ，
当p＝5000时，有S＝750÷5000＝0.15（m2）．
答：木板的面积至少要0.15m2；
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压
力及受力面积之间的关系．
19．（9分）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点
F．
（1）判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若∠B＝35°，当∠C＝ 5 5 度时，四边形AEDF为正方形；
②当△ABC是边长为2的等边三角形时，四边形AEDF的面积为 ．
【分析】（1）先由DE∥AC，F∥AB，证明四边形AEDF是平行四边形，再由∠EAD＝
∠FAD，∠FAD＝∠EDA，得∠EAD＝∠EDA，则AE＝DE，即可证明四边形AEDF是菱形；
（2）①因为四边形AEDF是菱形，所以当∠EAF＝90°时，四边形AEDF是正方形，而∠B
第19页（共29页）＝35°，所以∠C＝55°；
②△ABC是边长为2的等边三角形，则∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，先证明AE＝BE，AF＝
CF，则S四边形AEDF ＝ S△ABC ，求出△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，
理由：如图1，∵DE∥AC，F∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵∠FAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形.
（2）①如图2，∵四边形AEDF是菱形，
∴当∠EAF＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∵∠B＝35°，
∴当∠C＝55°时，则∠B+∠C＝90°，此时∠EAF＝90°，
故答案为：55．
②如图3，△ABC是边长为2的等边三角形，则∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AE＝AF＝DE＝DF，
∵AD＝AD，
∵△AED≌△AFD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∴AD⊥BC，∠EDA＝∠BAD＝30°，∠FDA＝∠CAD＝30°，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠BED＝∠CFD＝60°，
∴△BDE和△CDF都是等边三角形，
∴AE＝BE＝DE，AF＝CF＝DF，
第20页（共29页）∴S△ADE ＝S△BDE ＝ S△ABD ，S△ADF ＝S△CDF ＝ S△ACD ，
∴S四边形AEDF ＝ S△ABC ，
∵AB＝BC＝2，
∴BD＝CD＝ BC＝1，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC ＝ ×2× ＝ ，
∴S四边形AEDF ＝ × ＝ ，
故答案为： ．
第21页（共29页）【点评】此题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、平行线的性质、等边三角形的性质、
全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性较强，属于考试压轴题．
20．（9分）已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0．
（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把x＝2代入方程求出k的值，进而求出方程的另一根即可．
【解答】（1）证明：∵a＝5，b＝k，c＝﹣6，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4×5×（﹣6）＝k2+120＞0，
无论k为何值，总有k2≥0，即b2﹣4ac＝k2+120＞0，
则无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝2代入方程得：20+2k﹣6＝0，
解得：k＝﹣7，
方程为5x2﹣7x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（5x+3）＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣ ，
1 2
则方程的另一根为﹣ ．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本
题的关键．
21．（10分）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价
为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，
那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业
额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否
在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能
售完，说明理由．
【分析】（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×
第22页（共29页）＝200x（张），根据“平均每天刚好达到3000元营业额”列方程求解即可；
（2）用12月27日后还剩余的卡片数除以降价后每天售出的卡片数判断元旦前能否售完
贺卡，再根据利润率的概念列式计算即可．
【解答】解：（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×
＝200x（张），
由题意，得：（7﹣x）（300+200x）＝3000，
整理，得：2x2﹣11x+9＝0，
解得x ＝1，x ＝4.5（不符合题意，舍去），
1 2
答：每张贺卡应降价1元；
（2）由（1）知，降价后每天可售出贺卡300+200x＝500（张），
12月27日后还剩余3200﹣1200＝2000（张），
故还需要销售2000÷500＝4（天），
显然到12月31日即可售完全部贺卡，
所以摊主能在元旦前售完贺卡，
摊主此次销售贺卡的利润率为 ×100%＝27.5%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（10分）古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，
建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在
第一象限内．
①在平面直角坐标系中，画出函数y＝ （x＞0）的图象，图象与边OA交于点D；
②以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数y＝ （x＞0）的图象于点E，如图所示；
③分别过点D，E作x轴和y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP．此时有∠POB＝
∠AOB．
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，交OP于点F，连接DE，EF，且DE交OP于点C，设点
D的坐标为（a， ），点E的坐标为（b， ），
第23页（共29页）根据以上作图，回答下列问题：
（1）点P的坐标为 （ b ， ） ；（用含a，b的代数式表示）；
（2）直线OP的解析式为 y ＝ ，则点F的坐标为 （ a ， ） ；（用含a，b的代数
式表示）
（3）根据点E，F的坐标可以判断线段EF与DP的位置关系为 EF ∥ DP ，由此结合题
意可判断四边形DFEP的形状为 矩形 ；
（4）证明：∠POB＝ ∠AOB．
【分析】（1）根据P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同写出P点坐标即可；
（2）设出OP的解析式用待定系数法求解析式即可，然后根据解析式求出F点的坐标；
（3）根据坐标可判断EF平行于x轴，DP也平行于x轴，即可判定EF平行于DP，先判定
四边形DFEP是平行四边形，进而证明四边形DFEP是矩形即可；
（4）先证∠OCD＝2∠CPD，再证∠DOP＝∠OCD，然后证∠POB＝∠CPD，即可得证
∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB．
【解答】解：（1）由题知，P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同，
∴P（b， ），
故答案为：（b， ）；
（2）设直线OP的解析式为y＝kx，
由（1）知，P（b， ），
第24页（共29页）即bk＝ ，
∴k＝ ，
∴直线OP的解析式为y＝ ，
∵F点的横坐标为a，且点F在直线OP上，
∴F点的纵坐标为 ，
即F（a， ），
故答案为：y＝ ，（a， ）；
（3）∵E（b， ），F（a， ），
∴EF∥x轴，
又∵DP∥x轴，
∴EF∥DP，
∵DF∥PE，
∴四边形DFEP是平行四边形，
又∵DG⊥x轴，
∴DG⊥EF，
∴平行四边形DFEP是矩形，
故答案为：EF∥DP，矩形；
（4）∵四边形DFEP是矩形，
∴CD＝CP，DE＝2CD，
∴∠CDP＝∠CPD，
∴∠OCD＝∠CDP+∠CPD＝2∠CPD，
由题知，DE＝2OD，
∴OD＝DC，
即∠DOP＝∠OCD，
∵DP∥x轴，
∴∠POB＝∠CPD，
第25页（共29页）即∠DOP＝2∠POB，
∴∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB，
即∠POB＝ ∠AOB．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，矩形的性质，待
定系数法求解析式等知识是解题的关键．
23．（10分）（1）如图1，边长为a的正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，且正方形
OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．则图中阴影部分（四边形
BROH）的面积为 ；（用含a的代数式表示）
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，点O为BD的中点．
正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．求图中阴影部分
（即四边形BROH）的面积；
（3）如图3，△ABC与△OEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝
OF．BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，点O为BD的中点，OE交边AB于点H，OF交边
BC于点R．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为S，已知EF＝3 ，当两三角形的
空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积S的值．
【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，
∠BOR+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOR，根据ASA可证△AOH≌△BOR，由全等三角形
的性质可得S△AOH ＝S△BOR ，可得重叠部分的面积为正方形面积的 ，即可求解；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，连接DM，DN，根据平行
线分线段成比例定理可得点D，M，N分别为AC，AB，BC的中点，证明四边形BNGM是正
方形，可得阴影部分的面积；
第26页（共29页）解法二：如图 3，如图 3，过点 O 作 MN∥AC 分别与 AB，BC 交于点 M，N，证明
△MOH≌△BOR（ASA），可得阴影部分的面积；
（3）先计算OE＝OF＝3，根据两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2列方程
（分两种情况），可得AB2的值，由（2）的结论可得S的值．
【解答】解：（1）如图1，在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝
45°，
∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOR+∠EOB＝90°，
∴∠AOH＝∠BOR．
在△AOH和△BOR中
，
∴△AOH≌△BOR（ASA），
∴S△AOH ＝S△BOR ，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOB ＝ S正方形ABCD ＝ a2，
故答案为： a2；
（2）如图2，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，连接DM，DN，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∴点D，M，N分别为AC，AB，BC的中点，
第27页（共29页）∴MD∥BC，DN∥AB，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，BM＝BN，
∴四边形BNGM是正方形，
由（1）中得：S阴影部分 ＝ S正方形BNDM ＝ ×BM2＝ ；
方法二：如图3，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，
同理得：BM＝BN＝ a，
∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴BO⊥MN，∠HMO＝∠RBO＝45°，OM＝OB，
∠MOH+∠BOH＝∠BOH+∠BOR＝90°，
∴∠MOH＝∠BOR，
∴△MOH≌△BOR（ASA），
∴S阴影部分 ＝S△BOM ＝ S△MBN ＝ × BM2＝ ×BM2＝ ；
（3）∵△EFO是等腰直角三角形，且∠EOF＝90°，EF＝3 ，
∴OE＝OF＝3，
∵两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2，
分两种情况：
①（ AB2﹣S）﹣（ ﹣S）＝2，
解得：AB2＝13，
第28页（共29页）由（2）得：S＝ AB2＝ ；
②（ AB2﹣S）﹣（ ﹣S）＝﹣2，
解得：AB2＝5，
∴S＝ AB2＝ ；
综上，S的值为 或 ．
【点评】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三
角形全等的性质和判定，三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形，并运用类比的方法解决问题．
第29页（共29页）
