文档内容
2021-2022学年辽宁省丹东市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的。每小题2分，共18分）
1．（2分）方程x2＝x的解是（ ）
A．x ＝3，x ＝﹣3 B．x ＝1，x ＝0 C．x ＝1，x ＝﹣1 D．x ＝3，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
2．（2分）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
3．（2分）若反比例函数的图象经过（﹣2，2），（1，a），则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
4．（2分）一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全
相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大
量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．请估计箱子里白色小球的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2分）如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A． B．BC2＝AB•AC C． D． ≈0.618
6．（2分）某超市一月份的营业额为5万元，第一季度的营业额共60万元，如果平均每月增长
率为x，则所列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60
7．（2分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为BC边上一点，DE∥AC，若 ＝ ，
则△EDO和△ACO的面积比为（ ）
A． B． C． D．
第1页（共31页）8．（2分）如图，在矩形ABCD中，BC＜AB，折叠矩形ABCD使点B与点D重合，点C与点E
重合，折痕与AB、CD相交于点M、N，若AM＝2，CD＝8，则MN＝（ ）
A．4 B．4 C．2 D．
9．（2分）如图，正方形ABCD的对角线BD的延长线上有一点E，且 ＝ ，点G在CB延长
线上，连接EG，过点E作FE⊥EG，交BA的延长线于点F，连接FG并延长，交DB的延长
线于点 H，若 AB＝3，BG＝3，则下列结论：① EG＝EF，②∠BEG＝∠BFG，
③△HBF∽△GBE，④BH＝ ，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．（2分）已知 ＝3，则 ＝ ．
11．（2分）在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为 ．
12．（2分）关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2分）将方程2x2﹣4x﹣9＝0配方成（x+m）2＝n的形式为 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（6，4），以原点O为位似中心，把
△ABC缩小为原来的 ，得到△A′B'C′，则点A的对应点A′的坐标为 ．
15．（2分）在反比例函数y＝ 的图象上有A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（2，y ）三个点，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系为 ．
1 2 3
第2页（共31页）16．（2分）如图，某同学想测量大树的高度，他在某一时刻测得2米长的竹竿竖直放置时在地
面上的影长为1.2米，在同一时刻测量大树的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得
在地面上的影长为3米，留在墙上的影长为1米，则大树的高度为 ．
17．（2分）如图，矩形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴上，反比例函数y＝ （k≠0）的
图象过点B，D为AB中点，连接CD，过点O作OE⊥CD于点E，连接AE，若AE＝3，CD＝
，则k＝ ．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5 ，BC＝4 ，作等腰△ABM，使AM＝AB，点E、
点F分别为BC、BM的中点，若S△ABM ＝15，则EF＝ ．
三、（19题每小题6分，20题6分，共12分）
19．（6分）解方程：
（1）解方程：x2﹣6x＝7；
（2）（x﹣2）2＝（3x﹣1）2．
20．（6分）请画出如图几何体的主视图、左视图、俯视图．
第3页（共31页）四、（每小题8分，共16分）
21．（8分）一个不透明的箱子里装有4个小球，小球上面分别写有A、B、C、D，每个小球除标
记外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球．
（1）求摸到小球A的概率是 ；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下标记后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，请用
画树状图或列表格的方法，求出两次摸出的小球都不是A的概率．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，
BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．
五、（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，身高1.5米的李强站在A处，路灯底部O到A的距离为20米，此时李强的影
长AD＝5米，李强沿AO所在直线行走12米到达B处．
（1）请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B处时影长的线段；
（2）请求出路灯的高度和李强在B处的影长．
24．（8分）某商场销售一种服装，每件服装的进价为40元，当每件售价为60元时，每星期可
卖出300件，为了尽快减少库存，该商场决定降价销售，经市场调查发现，当每件降价1元
时，每星期可多卖出20件．设每件服装的售价为x元，每星期销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式；
第4页（共31页）（2）当每件服装售价为多少元时，每星期可获得6000元销售利润？
六、（本题满分10分）
25．（10分）如图，反比例函数y ＝ （k≠0，x＜0）的图象与直线y ＝k x+b（k ≠0）交于A
1 2 2 2
（﹣2，6）和B（﹣6，n），该函数关于x轴对称后的图象经过点C（﹣4，m）．
（1）求y 和y 的解析式及m值；
1 2
（2）根据图象直接写出 ≥k x+b时x的取值范围；
2
（3）点M是x轴上一动点，求当AM﹣MC取得最大值时M的坐标．
七、（本题满分10分）
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D是直线AB上一动点，以CD为边，
在它右侧作等边△CDE．
（1）如图1，当E在边AC上时，直接判断线段DE，EA的数量关系 ；
（2）如图2，在点D运动的同时，过点A作AF∥CE，过点C作CF∥AE，两线交于点F，判
断四边形AECF形状，并说明理由；
（3）若BC＝ ，当四边形AECF为正方形时，直接写出AD的值．
第5页（共31页）2021-2022学年辽宁省丹东市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的。每小题2分，共18分）
1．（2分）方程x2＝x的解是（ ）
A．x ＝3，x ＝﹣3 B．x ＝1，x ＝0 C．x ＝1，x ＝﹣1 D．x ＝3，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个
一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x ＝1，x ＝0．
1 2
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
2．（2分）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法
即可得出结论．
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定由性质；熟练掌握平行四边形的判定
与性质以及矩形的判定是解题的关键．
3．（2分）若反比例函数的图象经过（﹣2，2），（1，a），则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】由于点（﹣2，2）和点（1，a）都在同一个反比例函数图象上，令1×a＝﹣2×2就可求
第6页（共31页）出a的值．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，2），（1，a），
∴1×a＝﹣2×2，
即a＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道xy＝k是解题的关键．
4．（2分）一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全
相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大
量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．请估计箱子里白色小球的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【解答】解：估计箱子里白色小球的个数是4×（1﹣0.75）＝1（个），
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（2分）如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（ ）
A． B．BC2＝AB•AC C． D． ≈0.618
【分析】根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），
且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），
叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，即可得结论．
【解答】解：设AB为整体1，AC的长为x，则BC＝1﹣x，
根据黄金分割定义，得 ＝ ，
所以选项A正确，不符合题意；
第7页（共31页）∵AC2＝AB•BC，
所以B选项错误，符合题意；
x2＝1×（1﹣x）
整理，得x2+x﹣1＝0，
解得x ＝ ，x ＝ （不符合题意，舍去）．
1 2
∴ ＝
所以C选项正确，不符合题意；
∵ ＝ ＝ ≈0.618
所以D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．
6．（2分）某超市一月份的营业额为5万元，第一季度的营业额共60万元，如果平均每月增长
率为x，则所列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60
【分析】设2、3两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第季一度的总营业额达到60
万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2、3两月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝60．
即：5[1+（1+x）+（1+x）2]＝60，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
7．（2分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为BC边上一点，DE∥AC，若 ＝ ，
则△EDO和△ACO的面积比为（ ）
第8页（共31页）A． B． C． D．
【分析】先由DE∥AC证明△DBE∽△ABC，得 ＝ ，再由 ＝ 求得 ＝ ，则
＝ ，而△EDO∽△ACO，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求出△EDO
和△ACO的面积比即可得出问题的答案．
【解答】解：如图，∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵△EDO∽△ACO，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴△EDO和△ACO的面积比为 ，
故选：C．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线交其它两边
（或两边的延长线）得到的三角形与原三角形相似”证明三角形相似是解题的关键．
8．（2分）如图，在矩形ABCD中，BC＜AB，折叠矩形ABCD使点B与点D重合，点C与点E
重合，折痕与AB、CD相交于点M、N，若AM＝2，CD＝8，则MN＝（ ）
第9页（共31页）A．4 B．4 C．2 D．
【分析】过点N作NH⊥AB于点H，得矩形BCNH，设EN＝CN＝x，则DN＝DC﹣CN＝8﹣
x，根据翻折性质和勾股定理可以求出x＝2，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点N作NH⊥AB于点H，
得矩形BCNH，
∴CN＝BH，BC＝HN，
∵四边形ABCD是矩形，AM＝2，
∴AD＝BC．AB＝CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴BM＝AB﹣AM＝6，
由翻折可知：DM＝BM＝6，
∴AD＝ ＝ ＝4 ，
∴BC＝HN＝DE＝4 ，
由翻折可知：EN＝CN，∠E＝∠B＝90°，
设EN＝CN＝x，则DN＝DC﹣CN＝8﹣x，
在Rt△DEN中，根据勾股定理得：
DN2＝EN2+DE2，
∴（8﹣x）2＝x2+（4 ）2，
解得x＝2，
∴BH＝CN＝2，
∴MH＝AB﹣AM﹣BH＝4，
第10页（共31页）在Rt△MNH中，根据勾股定理得：
MN＝ ＝ ＝4 ．
故选：B．
【点评】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换的性质、灵
活运用勾股定理是解题的关键．
9．（2分）如图，正方形ABCD的对角线BD的延长线上有一点E，且 ＝ ，点G在CB延长
线上，连接EG，过点E作FE⊥EG，交BA的延长线于点F，连接FG并延长，交DB的延长
线于点 H，若 AB＝3，BG＝3，则下列结论：① EG＝EF，②∠BEG＝∠BFG，
③△HBF∽△GBE，④BH＝ ，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由四边形ABCD是正方形得AB＝AD＝BC＝DC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
则∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠GBF＝180°﹣∠ABC＝90°，由
EF⊥ EG 得 ∠ MEF ＝ ∠ MBG ＝ 90° ， 可 以 证 明 △ MEF∽ △ MBG ， 再 转 化 为
△BME∽△GMF，得∠BEG＝∠BFG，∠EGF＝∠EBF＝45°，则∠EFG＝∠EGF＝45°，于
是得EG＝EF，可判断①正确，②正确；
由∠HBF＝180°﹣∠EBF＝135°，∠GBE＝∠GBF+∠ABD＝135°得∠HBF＝∠GBE，而
∠BFH＝∠BEG，由此证明△HBF∽△GBE，可判断③正确；
作GP⊥BH于点P，先证明△PBG是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的长和PG的
长，再求出BD的长和DE的长以及PE的长，再根据勾股定理求出GE的长，证明
△BEG∽△GEH，根据相似三角形的对应边成比例求出HE的长，即可求得BH的长为
，判断④正确，得出问题的答案为A．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
第11页（共31页）∴AB＝AD＝BC＝DC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠GBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEF＝∠MBG＝90°，
∵∠EMF＝∠BMG，
∴△MEF∽△MBG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠BME＝∠GMF，
∴△BME∽△GMF，
∴∠BEG＝∠BFG，∠EGF＝∠EBF＝45°，
∴∠EFG＝∠EGF＝45°，
∴EG＝EF，
故①正确，②正确；
∵∠HBF＝180°﹣∠EBF＝135°，∠GBE＝∠GBF+∠ABD＝135°，
∴∠HBF＝∠GBE，
∵∠BFH＝∠BEG，
∴△HBF∽△GBE，
故③正确；
如图，作GP⊥BH于点P，
∵∠GPB＝90°，∠PBG＝∠CBD＝45°，
∴∠PGB＝∠PBG＝45°，
∴PB＝PG，
∵PB2+PG2＝BG2，且BG＝3，
∴2PB2＝32，
∴PB＝PG＝ ，
∵AB2+AD2＝BD2，且AB＝AD＝3，
∴32+32＝BD2，
∴BD＝3 ，
第12页（共31页）∵ ＝ ，
∴DE＝ BD＝ ×3 ＝2 ，
∴BE＝3 +2 ＝5 ，
∴PE＝ +5 ＝ ，
∴GE＝ ＝ ＝ ，
∵∠HGE＝180°﹣∠EGF＝135°，
∴∠GBE＝∠HGE，
∵∠BEG＝∠GEH，
∴△BEG∽△GEH，
∴ ＝ ，
∴HE＝ ＝ ＝ ，
∴BH＝HE﹣BE＝ ﹣5 ＝ ，
故④正确，
∴①、②、③、④这4个答案都正确，
故选：A．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理等知识，此题难度较大，计算较为烦琐，解
题过程中应注意检验．
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．（2分）已知 ＝3，则 ＝ 4 ．
第13页（共31页）【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵ ＝3，
∴ ＝ +1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
11．（2分）在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为 2 0 ．
【分析】由菱形ABCD，根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝
OD，易得AB＝5；根据菱形的四条边都相等，可得菱形的周长＝20．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝ ＝5，
∴菱形的周长L＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．
12．（2分）关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k ≥﹣
且 k ≠ 0 ．
【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，
∴k≠0，Δ＝62﹣4k×（﹣2）≥0，
解得：k≥﹣ 且k≠0．
故答案为：k≥﹣ 且k≠0．
第14页（共31页）【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义
是解本题的关键．
13．（2分）将方程2x2﹣4x﹣9＝0配方成（x+m）2＝n的形式为 （ x ﹣ 1 ） 2 ＝ ．
【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣4x﹣9＝0，
2x2﹣4x＝9，
x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
故答案为：（x﹣1）2＝ ．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（6，4），以原点O为位似中心，把
△ABC缩小为原来的 ，得到△A′B'C′，则点A的对应点A′的坐标为 （ 3 ， 2 ）或（﹣
3 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 ，得到△A′B'C′，点A的
坐标为（6，4），
∴点A的对应点A′的坐标为（6× ，4× ）或（6×（﹣ ），4×（﹣ ）），即（3，2）或（﹣3，
﹣2），
故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为
位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（2分）在反比例函数y＝ 的图象上有A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（2，y ）三个点，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系为 y ＞ y ＞ y （或 y ＜ y ＜ y ）， ．
1 2 3 3 1 2 2 1 3
第15页（共31页）【分析】先由a2+1＞0得到函数在第一象限和第三象限的函数值随x的增大而减小，然后
即可得到y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜0＜2，
∴y ＞y ＞y （或y ＜y ＜y ），
3 1 2 2 1 3
故答案为：y ＞y ＞y （或y ＜y ＜y ）．
3 1 2 2 1 3
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断a2+1的正负．
16．（2分）如图，某同学想测量大树的高度，他在某一时刻测得2米长的竹竿竖直放置时在地
面上的影长为1.2米，在同一时刻测量大树的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得
在地面上的影长为3米，留在墙上的影长为1米，则大树的高度为 6 米 ．
【分析】根据题意画出几何图形，如图，则CD＝BE＝1m，BC＝DE＝3m，利用在某一时刻
测得2米长的竹竿竖直放置时影长为1.2米可计算出AE，然后计算AE+BE即可．
【解答】解：如图，CD＝BE＝1m，BC＝DE＝3m，
∵ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝5（m），
第16页（共31页）∴AB＝AE+BE＝5+1＝6（m）．
答：旗杆的高度为6m．
故答案为6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应
边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
17．（2分）如图，矩形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴上，反比例函数y＝ （k≠0）的
图象过点B，D为AB中点，连接CD，过点O作OE⊥CD于点E，连接AE，若AE＝3，CD＝
，则k＝ 1 2 ．
【分析】先设点D的坐标为（a，b），得到点A（a，0），B（a，2b），C（0，2b），进而得到BC＝
OA＝a，BD＝AD＝b，延长CD交x轴于点F，然后结合点D是AB的中点，矩形的性质证
明△DBC≌△DAF，进而得到点A是OF的中点，即有OF＝2a，再由OE⊥CD于点E得到
OF＝2AE，从而求得a的大小，最后借助直角三角形BCD的斜边CD＝ 列出方程求得
b的值，即可得到k的大小．
【解答】解：设点D的坐标为（a，b），
∵点D是AB的中点，四边形OABC是矩形，
∴A（a，0），B（a，2b），C（0，2b），BC∥OA，
∴BC＝OA＝a，BD＝AD＝b，
如图，延长CD交x轴于点F，
∵BC∥OA，
∴∠DBC＝∠DAF＝90°，∠DCB＝∠DFA，
∴△DBC≌△DAF（AAS），
∴BC＝AF，
∴点A是OF的中点，即有OF＝2a，
∵OE⊥CD于点E，
第17页（共31页）∴OF＝2AE＝6，即2a＝6，
∴a＝3，
在Rt△BCD中，BC2+BD2＝CD2，CD＝ ，
∴32+b2＝（ ）2，
∴b＝2或b＝﹣2（舍），
∴B（3，4），
∴k＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、直角三
角形的性质，解题的关键是延长CD交x轴于点F，构造全等三角形．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5 ，BC＝4 ，作等腰△ABM，使AM＝AB，点E、
点F分别为BC、BM的中点，若S△ABM ＝15，则EF＝ 1 或 5 或 或 ．
【分析】过点M作GH∥AB，交直线AD于点G，交直线BC于点H，然后由S△ABM ＝15求得
AG和BH的长，进而由BC＝4 得到CH的长，然后由AM＝AB＝5 求得GM和HM
的长，再由勾股定理求得CM的长，最后由点E、点F分别为BC、BM的中点利用中位线的
性质求得EF的长．
【解答】解：过点M作GH∥AB，交直线AD于点G，交直线BC于点H，则四边形ABHG是
矩形，
①如图1，当点M在矩形ABCD内部时，
第18页（共31页）∵S△ABM ＝ ＝ ＝15，
∴AG＝3 ＝BH，
∴GM＝ ＝4 ，CH＝4 ﹣3 ＝ ，
∴MH＝5 ﹣4 ＝ ，
∴CM＝ ＝2，
∵点E、点F分别为BC、BM的中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∴EF＝ CM＝ ×2＝1；
②如图2，当点M在直线AD右侧，直线AB下方时，
由①得，AG＝BH＝3 ，GM＝4 ，MH＝ ，EF＝ CM，
∴CH＝BC+BH＝4 +3 ＝7 ，
∴CM＝ ＝10，
∴EF＝ ×10＝5；
③如图3，当点M在直线AD左侧，直线AB上方时，
由①得，AG＝BH＝3 ，GM＝4 ，EF＝ CM，CH＝ ，
∴MH＝MG+GH＝4 +5 ＝9 ，
∴CM＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝ ×2 ＝ ；
④如图4，当点M在直线AD左侧，在直线AB下方时，
由②得，CH＝7 ，
由③得，MH＝9 ，
∴CM＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝ ×2 ＝ ；
第19页（共31页）综上所述，EF的长为1或5或 或 ，
故答案为：1或5或 或 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线，解题的
关键是通过△ABM的面积求得三角形的作出对应的图形．
三、（19题每小题6分，20题6分，共12分）
19．（6分）解方程：
（1）解方程：x2﹣6x＝7；
（2）（x﹣2）2＝（3x﹣1）2．
【分析】（1）先移项，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一
元一次方程，再进一步求解即可；
第20页（共31页）（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，
再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
则（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x﹣7＝0或x+1＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣2）2＝（3x﹣1）2，
∴（x﹣2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
则（x﹣2+3x﹣1）（x﹣2﹣3x+1）＝0，
∴（4x﹣3）（﹣2x﹣1）＝0，
∴4x﹣3＝0或﹣2x﹣1＝0，
解得x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因
式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．（6分）请画出如图几何体的主视图、左视图、俯视图．
【分析】分别找到从正面，左面，上面看得到的图形即可，看到的棱用实线表示；实际存在，
没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．
【解答】解：主视图是一个长方形的上方的中间有一个等腰三角形的缺口；左视图是一个
长方形，有一条棱实际存在，从左面看又看不到，用虚线表示；俯视图是4个左右相邻的长
第21页（共31页）方形，其中中间的2个长方形的面积较小．
【点评】考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体
的正面，左面，上面看得到的图形．需特别注意实际存在，从某个方向看没有被其他棱挡
住，又看不到的棱用虚线表示．
四、（每小题8分，共16分）
21．（8分）一个不透明的箱子里装有4个小球，小球上面分别写有A、B、C、D，每个小球除标
记外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球．
（1）求摸到小球A的概率是 ；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下标记后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，请用
画树状图或列表格的方法，求出两次摸出的小球都不是A的概率．
【分析】（1）共有4个小球，其中A只有1个，因此随机摸出1球，是A的概率为 ；
（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）一共有4个小球，其中写A的只有1个，所以随机摸出1球，摸到小球A的
概率是 ，
故答案为： ；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种能可能出现的结果，其中两次摸出的小球都不是A的有9种，
第22页（共31页）所以两次摸出的小球都不是A的概率为 ．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况
是解决问题的关键．
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，
BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．
【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴四边形DEBF是矩形；
（2）解：连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
第23页（共31页）∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB＝6，
设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝ ，
∴PD＝ ．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答．
五、（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，身高1.5米的李强站在A处，路灯底部O到A的距离为20米，此时李强的影
长AD＝5米，李强沿AO所在直线行走12米到达B处．
（1）请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B处时影长的线段；
（2）请求出路灯的高度和李强在B处的影长．
【分析】（1）利用中心投影的性质画出图形即可；
（2）设HO＝x米．证明△AED∽△OHD，推出 ＝ ，可得 ＝ ，解得x＝7.5，再
证明△FBC∽△HOC，可得 ＝ ，由此求出BC即可．
【解答】解：（1）如图，HO，BC即为所求；
（2）由题意，BF＝AE＝1.5米，OA＝20米，AB＝12米，
∴BO＝OA﹣AB＝20﹣12＝8（米），
设HO＝x米．
∵∠HOA＝∠EAD＝90°，∠D＝∠D，
∴△AED∽△OHD，
第24页（共31页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝7.5，
∵∠FBC＝∠HOD＝90°，∠FCB＝∠FCO，
∴△FBC∽△HOC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BC＝2（米），
答：路灯的高度为7.5米，BC的长为2米．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是理解中心投影的性质，属于中考常考题型．
24．（8分）某商场销售一种服装，每件服装的进价为40元，当每件售价为60元时，每星期可
卖出300件，为了尽快减少库存，该商场决定降价销售，经市场调查发现，当每件降价1元
时，每星期可多卖出20件．设每件服装的售价为x元，每星期销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当每件服装售价为多少元时，每星期可获得6000元销售利润？
【分析】（1）每星期可多卖出[300+20（60﹣x）]件；
（2）根据销售利润＝销售数量×单件销售利润列出方程并解答．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝300+20（60﹣x）＝﹣20x+1500，即y＝﹣20x+1500；
（2）由题意得：（﹣20x+1500）（x﹣40）＝6000．
整理，得x2﹣115x+3300＝0．
解得x ＝55，x ＝60（不合题意，舍去）．
1 2
第25页（共31页）答：当每件服装售价为55元时，每星期可获得6000元销售利润．
【点评】本题考查了一次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，解题的关键是找到题
中的等量关系．
六、（本题满分10分）
25．（10分）如图，反比例函数y ＝ （k≠0，x＜0）的图象与直线y ＝k x+b（k ≠0）交于A
1 2 2 2
（﹣2，6）和B（﹣6，n），该函数关于x轴对称后的图象经过点C（﹣4，m）．
（1）求y 和y 的解析式及m值；
1 2
（2）根据图象直接写出 ≥k x+b时x的取值范围；
2
（3）点M是x轴上一动点，求当AM﹣MC取得最大值时M的坐标．
【分析】（1）将点A代入y ＝ 即可求函数解析；将点B代入y ＝﹣ ，求出B点坐标，
1 1
再将A点、B点坐标代入y ＝k x+b，可求一次函数的解析式；求出点F（﹣4，m）代入y ＝
2 2 1
﹣ ，可求m的值；
（2）根据图象，找到反比例函数比一次函数图象高的部分即为所求；
（3）射线AF交x轴于点M，连接MC，此时AM﹣MC有最大值，求出AF与x轴的交点即
为所求点．
【解答】解：（1）∵图象过点A（﹣2，6），
∴k ＝12，
1
∴y ＝﹣ ；
1
第26页（共31页）把点B（6，n）代入y ＝﹣ ，
1
∴n＝2，
∴B（﹣6，2），
∵y ＝k x+b过点A，B，
2 2
∴把A（﹣2，6）和B（﹣6，2）代入得，
，
解得 ，
∴y ＝x+8，
2
∵C（4，m）关于x轴对称点F（﹣4，m）在y＝﹣ 图象上，
∴m＝﹣3；
（2）由图象得﹣2≤x＜0或x≤﹣6；
（3）由（1）得，A（﹣2，6），C（﹣4，﹣3），点C关于x轴的对称点为F（﹣4，3），
射线AF交x轴于点M，连接MC，
∴MF＝MC，
∴AM﹣MC＝AF，此时AM﹣MC有最大值，
设AF的解析式为＝kx+b，
把A（﹣2，6），F（﹣4，3）分别代入y＝kx+b中，
，
∴ ，
∴AF的解析式为y＝ x+9，
令y＝0，则x＝﹣6，
∴当AM﹣MC最大时M的坐标为（﹣6，0）．
第27页（共31页）【点评】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图
象及性质，
七、（本题满分10分）
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D是直线AB上一动点，以CD为边，
在它右侧作等边△CDE．
（1）如图1，当E在边AC上时，直接判断线段DE，EA的数量关系 相等 ；
（2）如图2，在点D运动的同时，过点A作AF∥CE，过点C作CF∥AE，两线交于点F，判
断四边形AECF形状，并说明理由；
（3）若BC＝ ，当四边形AECF为正方形时，直接写出AD的值．
【分析】（1）根据∠CED＝60°，∠A＝30°，可得∠A＝∠ADE，从而得出DE＝AE；
（2）取 AB 的中点 O，连接 OC，OE，则△BCO 是等边三角形，利用 SAS 证明
△BCD≌△OCE，得∠EOC＝∠B＝60°，则∠EOA＝60°，再证明△OCE≌△OAE（SAS），
得CE＝EA，从而证明结论；
（3）分点D在AB的延长线上或点D在AB上，作CH⊥AD于H，通过解三角形CDA即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
第28页（共31页）∴∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴ED＝EA，
故答案为：相等；
（2）四边形AECF是菱形，理由如下：
∵AF∥CE，CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
取AB的中点O，连接OC，OE，
∵∠ACB＝90°，
∴OC＝OB＝OA，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠DCB＝∠OCE＝60°﹣∠DCO，
∵OC＝BC，CD＝CE，
∴△BCD≌△OCE（SAS），
∴∠EOC＝∠B＝60°，
∴∠EOA＝60°，
∵OE＝OE，OA＝OC，
∴△OCE≌△OAE（SAS），
∴CE＝EA，
∴平行四边形AECF是菱形；
（3）当点D在AB的延长线上时，作CH⊥AD于H，
当四边形AECF是正方形时，∠ACE＝∠BCE＝45°，∠AEC＝90°，
第29页（共31页）∵∠DCE＝60°，
∴∠DCB＝15°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CDH＝45°，
∵BC＝ ，
∴AC＝ BC＝2 ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴AH＝ AH＝ ，
∵△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝ ，
∴AD＝ ，
当点D在AB上时，作CH⊥AB于H，
同理可得△CHD是等腰直角三角形，
则AD＝AH﹣DH＝ ﹣ ，
综上：AD＝ 或 ﹣ ．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
第30页（共31页）定与性质，菱形的判定，正方形的性质等知识，将问题转化为解△CDA是解题的关键，同
时渗透了分类的数学思想方法．
第31页（共31页）
