文档内容
专题 7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【六大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:28)............................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:28)................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:28)......................................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:55)(cid:21)(cid:28)......................................................................................................................17
1(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:42)
(cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:71) (cid:25)(cid:72)(cid:73)(cid:74)
2023(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:102)(cid:10)(cid:103)12(cid:21)(cid:83)
(1)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:57)(cid:78)(cid:57)(cid:79)(cid:57)(cid:80)(cid:48) 5(cid:73) (cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:111)(cid:66)(cid:112)(cid:113).(cid:30)(cid:31)
(cid:63)(cid:64)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:83) 2023(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:102)(cid:10)(cid:103)14(cid:21)(cid:83) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:65)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:110)(cid:60)(cid:34)
(cid:84)(cid:85)(cid:63)(cid:64)(cid:14)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) 12(cid:73) (cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:58)(cid:114)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:34)
(2)(cid:86)(cid:87)(cid:80)(cid:57)(cid:88)((cid:89))(cid:77)(cid:57)(cid:88) 2023 (cid:101)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:107)(cid:15)(cid:13)(cid:108)(cid:10) (cid:42)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:115)(cid:66)(cid:65)(cid:111)(cid:66)(cid:83)(cid:116)(cid:67)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:21)(cid:57)
((cid:89))(cid:78)(cid:57)(cid:88)((cid:89))(cid:79)(cid:35)(cid:40)(cid:41) (cid:103)8(cid:21)(cid:83)5(cid:73) (cid:119)(cid:30)(cid:21)(cid:35)(cid:62)(cid:92)(cid:25)(cid:120)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)
(cid:42)(cid:90)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:71)(cid:91)(cid:7)(cid:92)(cid:83)(cid:93) 2024(cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:102)(cid:10)(cid:103)5(cid:21)(cid:83) (cid:129)(cid:94)(cid:130)(cid:21)(cid:35)(cid:131)(cid:132)(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:73)(cid:25)(cid:120)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:84)(cid:94)(cid:95)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:96)(cid:97)(cid:55)(cid:21) 5(cid:73) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:42)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:135)(cid:136)(cid:125)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:127)(cid:83)
(3)(cid:84)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:98) 2024 (cid:101)(cid:104)(cid:105)(cid:109)(cid:102)(cid:107)(cid:17)(cid:13)(cid:108)(cid:10) (cid:67)(cid:140)(cid:141)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:94)(cid:21)(cid:142)
(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61) (cid:103) 14 (cid:21)(cid:83)5 (cid:73)(cid:57)(cid:107)(cid:15)(cid:13)(cid:108)(cid:10) (cid:143).
(cid:103)14(cid:21)(cid:83)5(cid:73)
(cid:22)(cid:86)(cid:76)(cid:66)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
1(cid:144)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)
(cid:88)(cid:77) (cid:88)(cid:78) (cid:88)(cid:79)
(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)
(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:110)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:49)(cid:153) (cid:27)(cid:131)(cid:132)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)
(cid:155)(cid:110)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:93)(cid:158)(cid:150)(cid:159)(cid:148)(cid:132)(cid:156)
(cid:146) (cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:7)(cid:160)(cid:168) (cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:90)
(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:7)(cid:160)(cid:157)(cid:155)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:161)
(cid:147) (cid:66)(cid:35)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:41)(cid:164) (cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:175)(cid:134)(cid:73)(cid:145)(cid:41)(cid:34)
(cid:162)(cid:163)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:166)(cid:167)
(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:88)(cid:78). (cid:166)(cid:167)(cid:88)(cid:79).
(cid:88)(cid:77).(cid:61)
(cid:62)
(cid:48)
(cid:40)
(cid:176)
(cid:88)(cid:77)ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (cid:88)(cid:78)S-ABCD((cid:177)(cid:156)(cid:88)(cid:78)
((cid:177)(cid:178)(cid:88)(cid:77)AD'). S - A C ) (cid:88)(cid:79)ABCD-A'B'C'D'
(1)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)
(cid:36) (1)(cid:172)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:158)(cid:104)(cid:136)(cid:125) (1)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:125) (cid:158)(cid:110)(cid:150)(cid:182)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(cid:37)
(2)(cid:179)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:125) (2)(cid:179)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:125) (2)(cid:154)(cid:179)(cid:88)(cid:35)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:171)
(cid:38)
(cid:39) (3)(cid:179)(cid:88)(cid:155)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:158)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152). (3)(cid:179)(cid:41)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:7)(cid:160)(cid:168)(cid:66). (cid:131)(cid:66)(cid:125)
(3)(cid:154)(cid:179)(cid:41)(cid:129)(cid:187)(cid:62).
(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:32)(cid:157)(cid:62)(cid:189)(cid:166)(cid:32) (cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:32)(cid:157)(cid:62)(cid:189) (cid:161)(cid:32)(cid:88)(cid:78)(cid:56)(cid:192)(cid:35)(cid:189)(cid:166)(cid:32)
(cid:73)
(cid:88)(cid:77)(cid:83)(cid:190)(cid:191)(cid:83)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:57)(cid:156)(cid:88) (cid:166)(cid:32)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:190)(cid:191)(cid:83)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:57) (cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:190)(cid:191)(cid:83)(cid:161)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:56)
(cid:188)
(cid:77)…… (cid:156)(cid:88)(cid:78)…… (cid:192)(cid:35)(cid:88)(cid:79)(cid:166)(cid:169)(cid:88)(cid:79).
2(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)
(cid:89)(cid:77) (cid:89)(cid:78) (cid:89)(cid:79) (cid:80)
(cid:146)
(cid:117)(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:131) (cid:199)(cid:89)(cid:117)(cid:200)(cid:35)(cid:99)(cid:54)(cid:164)(cid:137)
(cid:117)(cid:195)(cid:62)(cid:35)(cid:131)(cid:157)(cid:164)(cid:137)
(cid:198)(cid:99)(cid:170)(cid:157)(cid:164)(cid:137)(cid:99)(cid:185) (cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:89)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:35) (cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:193)(cid:194)
(cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)
(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:148)(cid:157) (cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:89)(cid:78)(cid:83)(cid:172)(cid:41) (cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:201)(cid:41)(cid:166)(cid:167)
(cid:153)(cid:169)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)
(cid:147) (cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:41) (cid:65)(cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:35)(cid:134) (cid:80)(cid:41)(cid:83)(cid:80)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)
(cid:133)(cid:35)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)
(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:34) (cid:166) (cid:73)(cid:166)(cid:167)(cid:89)(cid:79). (cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:34)(cid:83)(cid:63)
(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:89)(cid:77).
(cid:167)(cid:89)(cid:78). (cid:202)(cid:80).
(cid:61)
(cid:62)
(cid:48)
(cid:40)
(cid:176)
(cid:89)(cid:79)OO'
(cid:89)(cid:77)OO'
(cid:89)(cid:78)SO (cid:80)O(cid:36)
(cid:37)
(cid:38)
(1)(cid:89)(cid:77)(cid:148)(cid:132)(cid:172)(cid:41)(cid:110) (1)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:149)(cid:150)
(cid:89)(cid:41)(cid:203)(cid:204)(cid:110)(cid:89). (cid:151)(cid:152)(cid:158)(cid:204)(cid:150)(cid:136)(cid:35)(cid:89) (1)(cid:80)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:166)(cid:167)(cid:80)
(1)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:89)(cid:41).
(2)(cid:89)(cid:77)(cid:126)(cid:205)(cid:13)(cid:198)(cid:206) (cid:41). (cid:41)(cid:83)(cid:164)(cid:117)(cid:80)(cid:41)(cid:110)(cid:193)(cid:194)
(2)(cid:126)(cid:205)(cid:13)(cid:198)(cid:206)(cid:185)(cid:83)(cid:184)
(cid:185)(cid:83)(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:207)(cid:208)(cid:148) (2)(cid:126)(cid:205)(cid:13)(cid:198)(cid:206)(cid:185)(cid:83)(cid:136) (cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:201)(cid:41).(cid:214)(cid:215)(cid:83)(cid:80)
(cid:122)(cid:150)(cid:136)(cid:158)(cid:186)(cid:171)(cid:168)(cid:66).
(cid:198)(cid:206)(cid:185)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152) (cid:184)(cid:158)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:171)(cid:131) (cid:41)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:135)(cid:83)
(3)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:56)
((cid:65)(cid:196)(cid:151)(cid:152))(cid:158)(cid:150)(cid:136). (cid:66). (cid:219)(cid:146)(cid:66)((cid:80)(cid:220))(cid:35)(cid:221)(cid:222)
(cid:41)(cid:110)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:209)(cid:210)(cid:204)
(3)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:56) (3)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:56)(cid:41) (cid:136)(cid:171)(cid:146)(cid:184)((cid:199)
(cid:39) (cid:211)(cid:35)(cid:89)(cid:41)(cid:83)(cid:212)(cid:196)(cid:35)(cid:56)
(cid:41)(cid:110)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:209)(cid:210)(cid:150) (cid:110)(cid:65)(cid:148)(cid:172)(cid:41)(cid:209)(cid:210)(cid:155)(cid:204) (cid:54))(cid:35)(cid:164)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:223)(cid:82).
(cid:41)((cid:196)(cid:56)(cid:41))(cid:110)(cid:104)(cid:136)(cid:35)
(cid:211)(cid:35)(cid:89)(cid:41)(cid:83)(cid:212)(cid:196)(cid:35) (cid:136)(cid:35)(cid:89)(cid:41)(cid:83)(cid:212)(cid:196) (2)(cid:80)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:89)
(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62).
(cid:56)(cid:41)((cid:196)(cid:56)(cid:41))(cid:110)(cid:104) (cid:35)(cid:56)(cid:41)((cid:196)(cid:56)(cid:41))(cid:110)(cid:104) (cid:41).
(cid:136)(cid:35)(cid:195)(cid:62). (cid:136)(cid:35)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62).
(cid:88)(cid:77)(cid:65)(cid:89)(cid:77)(cid:70)(cid:202)(cid:129)(cid:77)(cid:34)(cid:83)(cid:88)(cid:78)(cid:65)(cid:89)(cid:78)(cid:70)(cid:202)(cid:129)(cid:78)(cid:34)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:79)(cid:70)(cid:202)(cid:129)(cid:79)(cid:34).
3(cid:144)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)
(1)(cid:229)(cid:230)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:110)(cid:225)(cid:226)(cid:35)(cid:3)(cid:231)(cid:83)(cid:232)(cid:233)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:83)(cid:234)(cid:235)(cid:198)(cid:236)(cid:37)(cid:237)(cid:32)(cid:33)(cid:238)(cid:29)(cid:83)(cid:137)(cid:198)(cid:236)(cid:204)(cid:239)(cid:35)
(cid:72)(cid:240)(cid:181)(cid:83)(cid:239)(cid:241)(cid:238)(cid:29)(cid:135)(cid:35)(cid:185)(cid:41)(cid:3)(cid:242)(cid:177)(cid:243)(cid:140)(cid:185)(cid:57)(cid:41)(cid:136)(cid:58)(cid:59)(cid:244)(cid:245)(cid:83)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:234)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:225)(cid:146).
(2)(cid:249)(cid:212)(cid:250)(cid:190)(cid:251)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:252)(cid:152)(cid:253)(cid:74)(cid:83)(cid:254)(cid:67)(cid:255)(cid:256)(cid:132)(cid:257)(cid:21)(cid:110)(cid:258)(cid:259)(cid:35)(cid:83)(cid:260)(cid:67)(cid:261)(cid:98)(cid:131)(cid:132)(cid:250)(cid:190)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:86)(cid:76)(cid:66)2 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:90)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:35)(cid:264)(cid:27)(cid:36)(cid:265)(cid:28)
1(cid:144)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:264)(cid:27)(cid:36)(cid:265)(cid:10)
(1)(cid:137)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:135)(cid:83)(cid:67)(cid:266)(cid:146)(cid:3)(cid:231)(cid:66)(cid:48)(cid:3)(cid:231)(cid:185)(cid:267).“(cid:151)(cid:152)(cid:171)x(cid:196)(cid:35)(cid:185)(cid:267)(cid:151)(cid:152)(cid:269)(cid:204)(cid:239)(cid:83)(cid:184)(cid:122)(cid:204)(cid:239)(cid:125)(cid:151)(cid:152)(cid:171)y
(cid:196)(cid:35)(cid:185)(cid:267)(cid:151)(cid:152)(cid:269)(cid:204)(cid:239)(cid:83)(cid:184)(cid:122)(cid:270)(cid:199).”
(2)(cid:272)(cid:273)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:192)(cid:219)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:83)(cid:49)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:3)(cid:242)(cid:10) .
2(cid:144)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:35)(cid:264)(cid:27)(cid:36)(cid:265)(cid:10)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:217)(cid:117)(cid:126)(cid:204)(cid:211)(cid:35)(cid:62)(cid:275)(cid:83)(cid:50)(cid:145)(cid:96)(cid:276)(cid:83)(cid:100)(cid:277)(cid:93)(cid:209)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:60)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:35)(cid:3)(cid:242)(cid:83)
(cid:131)(cid:146)(cid:281)(cid:100)(cid:277)(cid:60)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:282)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:35)(cid:62)(cid:275).
(cid:22)(cid:86)(cid:76)(cid:66)3 (cid:63)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:42)(cid:28)
1(cid:144)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:34)(cid:42)
(cid:145)(cid:41)(cid:34) (cid:61)(cid:62) (cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:34)(cid:42)
(cid:99)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:195)(cid:62)(cid:83)
V = S h ( S (cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:41)
(cid:88)(cid:77) S =Ch(C(cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:197)(cid:184)(cid:83)h(cid:129)(cid:24))(cid:83) (cid:77) (cid:172) (cid:172)
(cid:99)(cid:88)(cid:77)(cid:179) (cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:24))
S =S +2S (S (cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42))
(cid:99)(cid:88)(cid:77)(cid:40) (cid:99)(cid:88)(cid:77) (cid:172) (cid:172)(cid:283)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:131)(cid:163)(cid:104)(cid:136)(cid:35)
(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)S = Ch' (C(cid:129)(cid:172)
(cid:283)(cid:88)(cid:78)(cid:179)
(cid:88)(cid:78)
( S (cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:24))
(cid:41)(cid:197)(cid:184)(cid:83)h'(cid:129)(cid:43)(cid:24))(cid:83)S =S (cid:172)
(cid:283)(cid:88)(cid:78)(cid:40) (cid:283)(cid:88)(cid:78)(cid:179)
+S (S (cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42))
(cid:172) (cid:172)
(cid:283)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:131)(cid:163)(cid:104)(cid:136)(cid:35)
(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62)(cid:83)S = (C+C')h'(C'(cid:57)C
(cid:283)(cid:88)(cid:79)(cid:179)
(cid:88)(cid:79)
(cid:73)(cid:284)(cid:129)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:83)h'(cid:129)(cid:43)
(S'(cid:57)S(cid:73)(cid:284)(cid:129)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)
(cid:24))(cid:83)S =S +S+S′(S′(cid:57)S(cid:73)(cid:284)
(cid:283)(cid:88)(cid:79)(cid:40) (cid:283)(cid:88)(cid:79)(cid:179) (cid:41)(cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:24))
(cid:129)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42))
2(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:34)(cid:42)
(cid:193)(cid:194)(cid:34) (cid:61)(cid:62) (cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:34)(cid:42)
(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:195)(cid:62)(cid:83)
(cid:34)(cid:42)V= S h ( S (cid:129)(cid:172)(cid:41)
(cid:89)(cid:77) S =2πrl(cid:83)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:172) (cid:172)
(cid:89)(cid:77)(cid:179) (cid:41)(cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:24))
S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:285)(cid:62)(cid:83) (cid:34)(cid:42)V= S h ( S (cid:129)(cid:172)
(cid:172) (cid:172)
(cid:89)(cid:78) S =πrl(cid:83)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
(cid:89)(cid:78)(cid:179)
S=πr2+πrl=πr(r+l)
(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:24))
(cid:34)(cid:42)
(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:285)(cid:286)(cid:83)
S =π(r +r )l(cid:83)
(cid:89)(cid:79)(cid:179) 1 2
(cid:89)(cid:79) (cid:40)(cid:41)(cid:42)
(S'(cid:57)S(cid:73)(cid:284)(cid:129)(cid:180)(cid:57)(cid:181)(cid:172)(cid:41)
(cid:41)(cid:42)(cid:83)h(cid:129)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24))
(cid:199)(cid:54)(cid:129)R(cid:35)(cid:80)(cid:35)(cid:34)(cid:42)
(cid:199)(cid:54)(cid:129)R(cid:35)(cid:80)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
(cid:80)
S=4πR2
(cid:22)(cid:86)(cid:76)(cid:66)4 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:28)
1(cid:144)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:35)(cid:94)(cid:21)(cid:287)(cid:288)(1)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:279)(cid:10)(cid:16)(cid:201)(cid:129)(cid:99)(cid:83)(cid:16)(cid:290)(cid:129)(cid:99)(cid:83)(cid:60)(cid:34)(cid:262)(cid:263)(cid:133)(cid:151)(cid:41).
(2)(cid:291)(cid:47)(cid:292)(cid:36)(cid:10)(cid:94)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:3)(cid:231)(cid:110)(cid:293)(cid:60)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:151)(cid:41)(cid:16)(cid:83)(cid:254)(cid:293)(cid:60)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:131)(cid:198)
(cid:99)(cid:185)(cid:262)(cid:263)(cid:83)(cid:194)(cid:16)(cid:129)(cid:151)(cid:41)(cid:55)(cid:21)(cid:174)(cid:247)(cid:83)(cid:297)(cid:298)“(cid:148)(cid:66)(cid:174)(cid:31)(cid:83)(cid:185)(cid:267)(cid:51)(cid:52)”(cid:83)(cid:37)(cid:299)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:297)(cid:298)(cid:94)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:291)(cid:47)(cid:68)(cid:94).
(cid:22)(cid:86)(cid:76)(cid:66)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:264)(cid:300)(cid:68)(cid:47)(cid:28)
1(cid:144)(cid:264)(cid:300)(cid:35)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:291)(cid:47)
(1)(cid:7)(cid:92)(cid:47)(cid:10)(cid:99)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:7)(cid:92)(cid:68)(cid:94).
(2)(cid:136)(cid:34)(cid:42)(cid:47)(cid:10)(cid:156)(cid:41)(cid:34)(cid:35)(cid:207)(cid:33)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:155)(cid:217)(cid:117)(cid:128)(cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:83)(cid:260)(cid:304)(cid:20)(cid:27)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:24)(cid:155)(cid:124)(cid:68)(cid:98)(cid:35)(cid:62)(cid:92)(cid:254)(cid:217).
(3)(cid:305)(cid:34)(cid:47)(cid:10)(cid:306)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:305)(cid:133)(cid:124)(cid:68)(cid:94)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:191)(cid:88)(cid:78)(cid:305)(cid:133)(cid:88)(cid:77)(cid:83)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:305)(cid:133)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:136).
(4)(cid:73)(cid:307)(cid:47)(cid:10)(cid:306)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:307)(cid:133)(cid:124)(cid:68)(cid:94)(cid:35)(cid:32)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:73)(cid:284)(cid:68)(cid:34)(cid:42).
2(cid:144)(cid:68)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:291)(cid:47)
(cid:68)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:55)(cid:21)(cid:83)(cid:308)(cid:281)(cid:50)(cid:309)(cid:310)(cid:200)(cid:35)(cid:81)(cid:133)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:126)(cid:311)(cid:163)(cid:172)(cid:41)(cid:90)(cid:179)(cid:41)(cid:83)(cid:154)(cid:132)(cid:41)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:50)(cid:312)
(cid:313)(cid:314)(cid:68)(cid:83)(cid:246)(cid:247)(cid:315)(cid:235)(cid:7)(cid:92)(cid:68)(cid:98)(cid:154)(cid:132)(cid:41)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:83)(cid:51)(cid:247)(cid:150)(cid:140)(cid:177)(cid:150)(cid:270).(cid:68)(cid:34)(cid:42)(cid:127)(cid:216)(cid:67)(cid:281)(cid:309)(cid:310)(cid:154)(cid:81)(cid:133)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:68)(cid:98)(cid:154)(cid:63)(cid:64)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:83)(cid:248)(cid:150)(cid:140)(cid:177)(cid:150)(cid:270).
(cid:22)(cid:291)(cid:47)(cid:227)(cid:228)(cid:65)(cid:292)(cid:36)(cid:28)
1(cid:144)(cid:65)(cid:34)(cid:42)(cid:126)(cid:3)(cid:35)(cid:32)(cid:132)(cid:36)(cid:265)
(1)(cid:131)(cid:132)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:136)(cid:171)(cid:200)(cid:35)(cid:154)(cid:134)(cid:73)(cid:34)(cid:42)(cid:35)(cid:90)(cid:177)(cid:316).
(2)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:48)(cid:24)(cid:155)(cid:150)(cid:136)(cid:35)(cid:148)(cid:132)(cid:211)(cid:188)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:150)(cid:136)((cid:317)(cid:318)(cid:274)(cid:15)).
2(cid:144)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:65)(cid:274)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:35)(cid:3)(cid:242)(cid:10) (cid:83) .
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)1(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:319)(cid:320)·(cid:321)(cid:135)(cid:108)(cid:181)(cid:322)(cid:156)(cid:132)(cid:257)(cid:21)(cid:135)(cid:283)(cid:266)(cid:35)(cid:110)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)(cid:282)(cid:132)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:110)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:78)
B(cid:144)(cid:164)(cid:126)(cid:88)(cid:184)(cid:155)(cid:150)(cid:136)(cid:35)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:110)(cid:283)(cid:291)(cid:34)
C(cid:144)(cid:117)(cid:195)(cid:62)(cid:35)(cid:131)(cid:157)(cid:164)(cid:137)(cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:169)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:89)(cid:77)
D(cid:144)(cid:117)(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:131)(cid:157)(cid:164)(cid:137)(cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:148)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:89)(cid:78)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:83)(cid:261)(cid:98)(cid:250)(cid:190)(cid:217)(cid:192)AB(cid:258)(cid:259)(cid:83)(cid:161)(cid:89)(cid:77)(cid:57)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:73)(cid:74)CD(cid:83)(cid:323)(cid:82)(cid:217)(cid:192)(cid:130)(cid:324)(cid:144)
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:83)(cid:234)(cid:326)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:327)(cid:10)
(cid:251)(cid:171)A(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:10)(cid:137)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:135)(cid:83)(cid:126) = = = = (cid:83) = = (cid:83)
(cid:312)(cid:282)(cid:132)(cid:41)(cid:155)𝐴−(cid:110)𝐵(cid:136)𝐶𝐷(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)𝐴𝐵(cid:83)(cid:328)𝐵(cid:312)𝐶(cid:88)(cid:78)𝐶𝐷(cid:204)(cid:110)𝐴(cid:283)𝐷(cid:169)(cid:88)𝑎(cid:78)𝐴(cid:83)𝐶A(cid:258)𝐵𝐷(cid:259)(cid:125)𝑏
(cid:251)(cid:171)B(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:129)(cid:329)(cid:62)(cid:35)(cid:99)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:83)(cid:49)(cid:179)(cid:88)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:150)(cid:136)(cid:83)
(cid:312)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:164)(cid:126)(cid:88)(cid:184)(cid:155)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:328)(cid:204)(cid:110)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:83)B(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)C(cid:83)(cid:117)(cid:195)(cid:62)(cid:35)(cid:131)(cid:157)(cid:164)(cid:137)(cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:169)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)(cid:89)(cid:77)(cid:83)C(cid:283)(cid:266)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)D(cid:83)(cid:117)(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:131)(cid:198)(cid:99)(cid:170)(cid:157)(cid:164)(cid:137)(cid:99)(cid:185)(cid:129)(cid:193)(cid:194)(cid:196)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:148)(cid:157)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:34)(cid:166)(cid:167)
(cid:89)(cid:78)(cid:83)D(cid:258)(cid:259)(cid:144)
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C(cid:144)
(cid:22)(cid:239)(cid:92)1-1(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:320)·(cid:321)(cid:334)(cid:108)(cid:181)(cid:322)(cid:255)(cid:47)(cid:283)(cid:266)(cid:35)(cid:110)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)(cid:88)(cid:77)(cid:135)(cid:148)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:131)(cid:146)(cid:110)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:172)(cid:41)
B(cid:144)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:104)(cid:136)(cid:35)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)
C(cid:144)(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:93)(cid:158)(cid:282)(cid:150)(cid:159)(cid:148)(cid:132)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:7)(cid:160)(cid:157)(cid:155)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:88)(cid:77)
D(cid:144)(cid:27)(cid:131)(cid:132)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:65)(cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:110)(cid:88)(cid:79)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:335)(cid:27)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:225)(cid:226)ABC(cid:125)(cid:335)(cid:27)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:225)(cid:226)D.
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:251)(cid:171)A(cid:83)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:283)(cid:251)(cid:35)(cid:148)(cid:132)(cid:179)(cid:41)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:328)(cid:200)(cid:336)(cid:204)(cid:110)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:83)A(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)B(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:159)(cid:157)(cid:204)(cid:136)(cid:35)(cid:184)(cid:291)(cid:34)(cid:35)(cid:150)(cid:159)(cid:148)(cid:132)(cid:179)(cid:41)(cid:204)(cid:104)(cid:136)(cid:83)B(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)C(cid:83)(cid:161)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:86)(cid:83)C(cid:283)(cid:266)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)D(cid:83)(cid:337)(cid:56)(cid:41)(cid:65)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:204)(cid:151)(cid:152)(cid:127)(cid:83)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:65)(cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:204)(cid:110)(cid:88)(cid:79)(cid:83)D(cid:258)(cid:259).
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)1-2(cid:28)(cid:107)2024·(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:341)·(cid:169)(cid:238)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)1(cid:83)(cid:49)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:110)(cid:131)(cid:132)(cid:89)(cid:220)(cid:170)(cid:129) (cid:35)(cid:285)(cid:62)(cid:83)
2
π
(cid:343)(cid:312)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
5 7
A(cid:144) B(cid:144)3 C(cid:144) D(cid:144)4
2 2
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:344)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) (cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:192)(cid:219) =2 ×1(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:68)(cid:94)(cid:144)
2
π
𝑙 𝑙 π
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) (cid:83)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:83)(cid:217)(cid:192) =2 ×1(cid:83)(cid:94)(cid:192) =4(cid:83)(cid:254)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129)4(cid:144)
2
π
𝑙 𝑙 π 𝑙
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)1-3(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:331)(cid:332)(cid:310)(cid:345)·(cid:321)(cid:334)(cid:108)(cid:181)(cid:322)(cid:255)(cid:47)(cid:135)(cid:83)(cid:283)(cid:266)(cid:35)(cid:110)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:283)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:88)(cid:78)(cid:110)(cid:283)(cid:88)(cid:78)
B(cid:144)(cid:131)(cid:132)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:346)(cid:347)(cid:126)4(cid:132)(cid:41)C(cid:144)(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:150)(cid:149)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:110)(cid:88)(cid:77)
D(cid:144)(cid:27)(cid:131)(cid:132)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:65)(cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:110)(cid:88)(cid:79)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:63)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:117)(cid:48)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:173)(cid:225)(cid:226)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:283)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:283)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:348)(cid:304)(cid:67)(cid:349)(cid:350)(cid:168)(cid:66)(cid:219)(cid:172)(cid:41)(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:137)(cid:172)(cid:41)(cid:283)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:135)(cid:220)(cid:83)A(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:135)(cid:41)(cid:13)(cid:51)(cid:347)(cid:129)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:156)(cid:132)(cid:41)(cid:83)B(cid:283)(cid:266)(cid:83)(cid:125)
(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:150)(cid:149)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:145)(cid:41)(cid:34)(cid:204)(cid:131)(cid:146)(cid:110)(cid:88)(cid:77)(cid:83)(cid:348)(cid:304)(cid:67)(cid:349)(cid:350)(cid:154)(cid:132)(cid:179)(cid:41)(cid:35)(cid:186)(cid:185)(cid:149)(cid:150)(cid:151)
(cid:152)(cid:83)C(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:27)(cid:131)(cid:132)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:354)(cid:355)(cid:110)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:65)(cid:56)(cid:41)(cid:174)(cid:31)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:356)(cid:110)(cid:88)(cid:79)(cid:83)D(cid:258)(cid:259).
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)2(cid:28)(cid:107)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:283)(cid:156)(cid:88)(cid:79) (cid:135)(cid:83)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:129)2(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:129)4(cid:83)(cid:363)
1 1 1 1
(cid:179)(cid:41)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:164)(cid:133)(cid:35)(cid:44)(cid:41)(cid:170)(cid:129)60°(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:283)(cid:156)(cid:88)(cid:79)𝐴(cid:35)𝐵(cid:179)𝐶𝐷(cid:41)−(cid:42)𝐴(cid:129)𝐵(cid:107)𝐶 𝐷 (cid:108)
A(cid:144)8 B(cid:144)12 C(cid:144)24 D(cid:144)48
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:167)(cid:283)(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:281)(cid:68)(cid:43)(cid:24)(cid:83)(cid:248)(cid:68)(cid:179)(cid:41)(cid:42).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)(cid:10)
(cid:364)(cid:88)(cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:128)(cid:56)(cid:41) (cid:83)(cid:343) (cid:57) (cid:129)(cid:283)(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:43)(cid:24).
𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐹𝐺 𝐸𝐻
(cid:137)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62) (cid:135)(cid:83)(cid:124)(cid:86) =2(cid:83) =4(cid:83) =60°(cid:83)(cid:164)(cid:117) cos60°= =1 =2.
2
4−2
𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐸𝐹 𝐺𝐻 ∠𝐸𝐻𝐺 𝐸𝐻⋅ ⇒ 𝐸𝐻
1
(cid:164)(cid:117)(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:10)4× ×(2+4)×2=24.
2
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)2-1(cid:28)(cid:107)2024·(cid:320)(cid:365)(cid:205)(cid:366)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:110)(cid:370)(cid:105)(cid:367)(cid:368)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:35)(cid:376)(cid:377)(cid:83)(cid:378)(cid:171)(cid:372)(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:90)(cid:382)(cid:372)(cid:380)
(cid:383)(cid:144)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:35)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:161)(cid:89)(cid:77)(cid:90)(cid:89)(cid:78)(cid:81)(cid:82)(cid:203)(cid:133)(cid:83)(cid:49)(cid:135)(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:24)(cid:129)2m(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)4m (cid:110)(cid:89)(cid:77)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:89)
(cid:220)(cid:144)(cid:363)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:65)(cid:117) (cid:129)(cid:80)(cid:220)(cid:83)(cid:199)(cid:54)(cid:129)4m(cid:35)(cid:80)(cid:150)(cid:384)(cid:83)(cid:343)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108) ,𝑂
𝑂A(cid:144)8 5 2 B(cid:144)16 5 2 C(cid:144)20 2 D(cid:144)40 2
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)πm(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:36)(cid:82)(cid:89)(cid:77)π(cid:57)m(cid:89)(cid:78)(cid:117)(cid:48)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:37)π(cid:38)m(cid:39)(cid:94)(cid:192)(cid:89)(cid:78)(cid:206)(cid:185)(cid:184) π=m5(cid:83)(cid:252)(cid:203)(cid:217)(cid:68)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344) = = (cid:129)(cid:89)(cid:78)(cid:24)(cid:83) (cid:129)(cid:89)(cid:78)(cid:206)(cid:185)(cid:184)) 𝑙
1
𝑃𝑂 ℎ,𝑃𝐴 𝑙(ℎ 𝑙
(cid:117) (cid:129)(cid:80)(cid:220)(cid:83)(cid:199)(cid:54)(cid:129)4(cid:35)(cid:80)(cid:65)(cid:89)(cid:78)(cid:179)(cid:41)(cid:150)(cid:384)(cid:83)(cid:343) =4(cid:83)
𝑂𝑀⊥𝑃𝐴,∵ 𝑂 1 1 𝑂𝑀
(cid:137) (cid:135)(cid:83) = ( +2) 4= (cid:83)(cid:217)(cid:192) +2= (cid:83)
2 2
(cid:158) △2+ 𝑃𝑂 16 𝐴 = 2(cid:83) 𝑆△ (cid:343) 𝑃𝑂𝐴 2ℎ+16= ⋅ 2(cid:83)(cid:94) ⋅ (cid:192) 4𝑙 =5(cid:83) ℎ 𝑙
(cid:164)ℎ(cid:117)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)𝑙 (cid:41)(cid:42)(cid:129)(𝑙−2)= = 𝑙 ×4×5𝑙=20 (m2).
侧
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C. 𝑆 π𝑟𝑙 π π
(cid:22)(cid:239)(cid:92)2-2(cid:28)(cid:107)2024·(cid:156)(cid:385)(cid:133)(cid:155)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:137)(cid:164)(cid:126)(cid:88)(cid:184)(cid:386)(cid:150)(cid:136)(cid:35)(cid:99)(cid:156)(cid:88)(cid:77) (cid:135)(cid:83) =60 (cid:83)(cid:66)
1 1 1 1
∘
(cid:137)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:112)(cid:107)(cid:387)(cid:157)(cid:388)(cid:108)(cid:85)(cid:389)(cid:144)(cid:337) = 7 (cid:127)(cid:83)(cid:66) (cid:35)(cid:390)(cid:391) 𝐴 (cid:184) 𝐵 (cid:122) 𝐶𝐷 (cid:129) −2𝐴 (cid:83) 𝐵 (cid:343) 𝐶 (cid:312) 𝐷 (cid:156)(cid:88)(cid:77) ∠ (cid:35) 𝐵𝐴 (cid:40) 𝐷 (cid:41)(cid:42)(cid:129) 𝑃
1 1 1 2 1 3
π
𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝑃 𝐶𝐶 𝑃
(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)16+4 3 B(cid:144)8+2 3 C(cid:144)4+ 3 D(cid:144)4 3
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:281)(cid:315)(cid:235)(cid:390)(cid:391)(cid:35)(cid:184)(cid:122)(cid:68)(cid:98)(cid:88)(cid:184)(cid:83)(cid:335)(cid:27)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:217)(cid:68)(cid:130)(cid:324).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:88)(cid:184)(cid:129) (cid:83)(cid:183)(cid:184) (cid:83)(cid:212)(cid:66) (cid:128) (cid:392)(cid:99)(cid:171) (cid:35)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:171) (cid:83)
1 1 1 1 1 1
(cid:161) =60 (cid:83)(cid:217)(cid:192) 𝑎 = , 𝐴 𝐵 = 3 (cid:125) 𝐶 𝐶 𝑂 𝐴 𝐵 𝑂
1 2 1 2
∘ 𝑎 𝑎
∠𝐵𝐴𝐷 𝑂𝐵 𝐶 𝑂
(cid:161)(cid:99)(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:269)(cid:393)(cid:217)(cid:192)(cid:83) (cid:151)(cid:41) (cid:83)(cid:164)(cid:117) (cid:125)
1 1 1 1
(cid:394)(cid:129) = 7 = 7 (cid:83) 𝐶 (cid:164) 𝑂 (cid:117) ⊥ = 𝐴𝐴 𝐵 2 𝐵 2= 𝐶 . 𝑂⊥𝑂𝑃
1 2 1 2 1 1
(cid:137)(cid:151)(cid:41) 𝐶 𝑃 𝐶𝐶 (cid:112)(cid:83)(cid:66) 𝑎 (cid:35)(cid:390)(cid:391) 𝑂 (cid:110) 𝑃 (cid:117) (cid:129)𝐶(cid:89)𝑃(cid:220)−(cid:83)𝐶 𝑂(cid:129)(cid:199)(cid:54) 𝑎 (cid:35)(cid:89)(cid:395)(cid:137)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:112)(cid:35)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:254)(cid:61)(cid:135)(cid:89)(cid:396) .
1 1 1 1
𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝑃 𝑂 𝑎 𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝐸𝐹
(cid:394)(cid:129) = = =90°(cid:83)(cid:164)(cid:117) = (cid:83)
1 2 1 1 3
𝑎 π
𝑂𝐵 ,𝑂𝐹 𝑎,∠𝑂𝐵 𝐹 ∠𝐹𝑂𝐵2
(cid:394)(cid:129)(cid:66) (cid:35)(cid:390)(cid:391)(cid:184)(cid:122)(cid:129) (cid:83)(cid:164)(cid:117) =2(cid:83)(cid:254) =2.
3
π
𝑃 𝑂𝑃 𝑎
(cid:156)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:129)4×2×2+2×2×2× 3=16+4 3.
2
(cid:330)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)2-3(cid:28)(cid:107)2024·(cid:115)(cid:397)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:373)(cid:31)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:407)(cid:171)(cid:370)(cid:105)(cid:83)(cid:51)(cid:408)(cid:98)(cid:409)(cid:35)(cid:410)(cid:411)(cid:404)(cid:405)(cid:137)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:415)
(cid:35)(cid:23)(cid:410)(cid:416)(cid:127)(cid:302)(cid:417)(cid:418)(cid:135)(cid:419)(cid:420)(cid:144)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:110)(cid:131)(cid:132)(cid:404)(cid:405)(cid:35)(cid:60)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:61)(cid:107)(cid:180)(cid:421)(cid:110)(cid:89)(cid:77)(cid:83)(cid:181)(cid:421)(cid:110)(cid:89)(cid:78)(cid:108)(cid:83)(cid:342)(cid:86)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:35)
(cid:99)(cid:54) =8(cid:83)(cid:89)(cid:77)(cid:34)(cid:134)(cid:73)(cid:35)(cid:24) =5(cid:83)(cid:89)(cid:78)(cid:34)(cid:134)(cid:73)(cid:35)(cid:24) =3(cid:83)(cid:343)(cid:162)(cid:132)(cid:404)(cid:405)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
A(cid:144)60 B(cid:144)76 C(cid:144)92 D(cid:144)96
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)π(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:342)(cid:86)(cid:68)(cid:98)(cid:89)π(cid:78)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:217)(cid:68)π(cid:98)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:83)(cid:248)(cid:68)π(cid:98)(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:83)
(cid:252)(cid:203)(cid:217)(cid:68)(cid:98)(cid:404)(cid:405)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:192)(cid:89)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) = 32+42=5(cid:83)
(cid:164)(cid:117)(cid:89)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)5×4 =20 (cid:83) 𝑙
(cid:89)(cid:77)(cid:34)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)8 ×5=4π0 (cid:83)(cid:89)π(cid:77)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:129) ×42=16 (cid:83)
(cid:164)(cid:117)(cid:423)(cid:404)(cid:405)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)π(cid:129)20 +4π0 +16 =76 (cid:107)cm2(cid:108)π (cid:83) π
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B. π π π π
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)3(cid:28)(cid:107)2024·(cid:412)(cid:332)(cid:424)(cid:425)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:424)(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:14)(cid:428)(cid:429)(cid:83)(cid:126)(cid:131)(cid:198)(cid:430)(cid:431)600(cid:145)(cid:101)(cid:35)(cid:244)(cid:302)(cid:432)(cid:433)(cid:83)(cid:251)(cid:171)(cid:434)(cid:435)(cid:244)(cid:302)(cid:35)
(cid:419)(cid:262)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:204)(cid:217)(cid:145)(cid:192)(cid:35)(cid:96)(cid:14)(cid:439)(cid:440).(cid:432)(cid:433)(cid:98)(cid:409)(cid:438)(cid:441)(cid:442)(cid:35)(cid:244)(cid:302)(cid:443)(cid:416)(cid:83)(cid:49)(cid:135)(cid:35)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:448)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:107)(cid:191)(cid:61)(cid:108)(cid:35)(cid:24)(cid:452)(cid:129)
36cm(cid:83)(cid:293)(cid:312)(cid:443)(cid:416)(cid:218)(cid:128)(cid:148)(cid:132)(cid:150)(cid:211)(cid:35)(cid:89)(cid:79)(cid:453)(cid:301)(cid:203)(cid:133)(cid:107)(cid:191)(cid:61)(cid:108)(cid:83)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:99)(cid:54)(cid:452)(cid:129)20cm(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:99)(cid:54)(cid:452)(cid:129)40cm(cid:83)(cid:454)(cid:288)(cid:49)(cid:455)(cid:456)(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:443)(cid:416)(cid:35)(cid:113)(cid:42)(cid:452)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)4200 3 B(cid:144)8400 3 C(cid:144)16800 3 D(cid:144)33600 3
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)π(cid:315)cm(cid:235)(cid:89)(cid:79)(cid:34)(cid:42)(cid:7)(cid:92)π(cid:68)cm(cid:94). πcm πcm
2 36
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:83) =2 = × ×(102+10×20+202)=8400 .
圆台 3 2
𝑉 𝑉 π π
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)3-1(cid:28)(cid:107)2024·(cid:457)(cid:458)(cid:357)(cid:413)·(cid:169)(cid:238)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:137)(cid:169)(cid:88)(cid:77) (cid:135)(cid:83)E(cid:83)F(cid:73)(cid:284)(cid:129)AB(cid:83)AC(cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:151)(cid:41)
1 1 1
(cid:306)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:73)(cid:133)(cid:34)(cid:42)(cid:129) (cid:83) (cid:148)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:343) : =𝐴𝐵(cid:107)𝐶 − 𝐴 (cid:108)𝐵 𝐶
1 1 1 2 1 2
𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
A(cid:144)1 1 B(cid:144)4 3 C(cid:144)6 5 D(cid:144)7 5
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)∶ (cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:307)(cid:305)(cid:47)(cid:36)(cid:82)∶ (cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:83)(cid:254)∶(cid:217)(cid:68)(cid:192)(cid:130)(cid:324). ∶
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:169)(cid:88)(cid:77) (cid:35)(cid:24)(cid:129)h(cid:83)(cid:180)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:386)(cid:129)S(cid:83)(cid:34)(cid:42)(cid:129)V(cid:83)
1 1 1
(cid:343) = + = (cid:83) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶
1 2
𝑉 𝑉 𝑉 𝑆ℎ 1
(cid:394)(cid:129)E(cid:83)F(cid:73)(cid:284)(cid:129)AB(cid:83)AC(cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:330) = ,
4
𝑆△𝐴𝐸𝐹 𝑆
(cid:36)(cid:82)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:34) (cid:129)(cid:88)(cid:79)(cid:83)
1 1 1
(cid:343) = 1 1 + + 𝐴1𝐸𝐹−𝐴 = 𝐵 𝐶7 (cid:83)
1 3 4 4 12
𝑉 ℎ 𝑆 𝑆 𝑆⋅𝑆 𝑆ℎ
7 5
(cid:330) = = ,(cid:330) : =7:5(cid:83)
2 12 12 1 2
𝑉 𝑆ℎ− 𝑆ℎ 𝑆ℎ 𝑉 𝑉
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)3-2(cid:28)(cid:107)2024·(cid:459)(cid:413)(cid:460)(cid:385)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:296)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:197)(cid:184)(cid:110)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:197)(cid:184)(cid:35)4(cid:461)(cid:83)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129)10(cid:83)(cid:312)(cid:89)(cid:79)
(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)100 (cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
πA(cid:144)184 B(cid:144)208 C(cid:144)224 D(cid:144)248
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)π(cid:344)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:35)π(cid:199)(cid:54)(cid:129)r(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:199)π(cid:54)(cid:129)R(cid:83)(cid:343)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:192)π = (cid:83)(cid:248)(cid:161)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:322)
(cid:291)(cid:325)(cid:217)(cid:68)(cid:98) (cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:217)(cid:68)(cid:98)(cid:180)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:90)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24)(cid:83)(cid:252)(cid:203)(cid:217)(cid:68)(cid:98)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42). 𝑅 4𝑟
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)𝑟 (cid:344)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)r(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)R(cid:83)(cid:343)2 =4×2 (cid:83)(cid:330) = (cid:83)
(cid:394)(cid:129)(cid:312)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)100 (cid:83)(cid:206)(cid:185)(cid:184) =10(cid:83) π𝑅 π𝑟 𝑅 4𝑟
(cid:164)(cid:117) + ×10=100 π(cid:83)(cid:94)(cid:192) =𝑙2(cid:83)(cid:343) =8(cid:83)
(cid:164)(cid:117)π(cid:89)((cid:79)𝑟 (cid:180)4(cid:172)𝑟)(cid:41)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129)π2=4 𝑟(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:35)𝑅(cid:41)(cid:42)(cid:129) 2=64 (cid:83)
π𝑟 π π𝑅 π
(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24) = 2 2= =8
ℎ 𝑙 −(𝑅−𝑟) 100−36
1
(cid:164)(cid:117)(cid:312)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42) = ×(4 + 4 ×64 +64 )×8=224 (cid:144)
3
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C(cid:144) 𝑉 π π π π π
(cid:22)(cid:239)(cid:92)3-3(cid:28)(cid:107)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:129)(cid:283)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:89)(cid:78)(cid:83)(cid:462)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:164)(cid:56)(cid:83)(cid:56)(cid:192)(cid:35)(cid:180)(cid:57)
(cid:181)(cid:148)(cid:132)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:73)(cid:284)(cid:129) (cid:83) (cid:83)(cid:34)(cid:42)(cid:73)(cid:284)(cid:129) (cid:83) (cid:83)(cid:363) : =3:11(cid:83)(cid:343) : (cid:35)(cid:463)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
1 2 1 2 1 2 1 2
A(cid:144)1:7 𝑆 𝑆 B(cid:144)9𝑉:112𝑉 𝑆 𝑆 𝑉 𝑉
3 3
C(cid:144) 3:( 11 3) D(cid:144)( 3) :( 11 3)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:128)(cid:98)−(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:344)(cid:98)(cid:209)(cid:210)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:199)(cid:54)−(cid:83)(cid:40)(cid:176)(cid:98)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:83)(cid:335)(cid:27) : =3:11(cid:302)(cid:303)(cid:16)(cid:63)
1 2
(cid:192)(cid:219) =2 (cid:83)(cid:71)(cid:91) :( + )(cid:192)(cid:219) : (cid:35)(cid:463). 𝑆 𝑆
2 1 1 1 2 1 2
(cid:22)(cid:94)𝑟(cid:130)(cid:212)(cid:325)𝑟(cid:28) 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:128)(cid:98)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:344)(cid:56)(cid:192)(cid:35)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:199)(cid:54)(cid:129) = (cid:83)(cid:274)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:199)(cid:54)(cid:129) = (cid:144)
1 1 2 2
(cid:394)(cid:129)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:110)(cid:283)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:164)(cid:117)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) =2 (cid:83)(cid:274)(cid:89)(cid:78)(cid:35)𝑂(cid:206)𝐷(cid:185)(cid:184)𝑟 (cid:129) =2 (cid:83) 𝑂 𝐵 𝑟
1 2
(cid:343)(cid:56)(cid:192)(cid:35)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) =2( 𝑆 )(cid:144) 𝐷 (cid:394)(cid:129) 𝑟 : =3:11(cid:83)(cid:254) 𝑆𝐵 1 2 1 𝑟 2 1 = 3 (cid:83)(cid:94)(cid:192) =2 (cid:83)
2 1 1 2 2 1 2 2π𝑟 ( ⋅ 2𝑟 +1π ) 𝑟 2( 2 1 ) 11 2 1
(cid:171)(cid:110)(cid:83) :( + )= 3𝐵 : 𝐷3=1:8 𝑟(cid:83)−(cid:164)𝑟(cid:117) : = 𝑆 1 𝑆 :7. π𝑟 +π𝑟 +π 𝑟 +𝑟 ⋅ 𝑟 −𝑟 𝑟 𝑟
1 1 2 1 2 1 2
(cid:330)(cid:20)(cid:10)A𝑉(cid:144) 𝑉 𝑉 𝑟 𝑟 𝑉 𝑉
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)4(cid:28)(cid:107)2024·(cid:156)(cid:385)(cid:133)(cid:155)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83) (cid:110)(cid:464)(cid:151)(cid:465)(cid:466)(cid:35) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:98)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:107)(cid:61)
′ ′ ′
△𝑂𝐴𝐵 △𝑂𝐴𝐵(cid:135)(cid:467)(cid:185)(cid:73)(cid:284)(cid:65) (cid:196)(cid:90) (cid:196)(cid:151)(cid:152)(cid:108)(cid:83) =2 =6(cid:83) =8(cid:83)(cid:343) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑥 𝑦 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐶 △𝑂𝐴𝐵
A(cid:144)8 2 B(cid:144)12 2 C(cid:144)24 D(cid:144)48
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:192)(cid:219)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:83)(cid:248)(cid:68)(cid:98)(cid:150)(cid:50)(cid:35)(cid:185)(cid:267)(cid:184)(cid:83)(cid:51)(cid:247)(cid:161)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:71)(cid:91)(cid:217)(cid:192).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:217)(cid:192)(cid:191)(cid:181)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:10)
(cid:49)(cid:135) = =6(cid:83) = =3(cid:83) =2 =16(cid:83) // (cid:196)(cid:83)(cid:158) = =16(cid:83)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑂𝐵 𝑂𝐵1 𝑂𝐷 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐶 𝐴𝐷 𝑦 𝐴𝐷 𝑂𝐶
(cid:164)(cid:117) = ×6×16=48.
2
𝑆△𝑂𝐴𝐵
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)4-1(cid:28)(cid:107)2024·(cid:412)(cid:332)(cid:468)(cid:358)·(cid:131)(cid:238)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:283)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:157)(cid:184)(cid:129)2(cid:83)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:98)(cid:312)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:83)(cid:343)(cid:164)
(cid:192)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144) 2 B(cid:144) 6 C(cid:144)2 2 D(cid:144)2 6
4 4
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:86)(cid:76)(cid:266)(cid:146)(cid:283)(cid:266)(cid:130)(cid:324).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:283)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:24)(cid:129) 3(cid:83)
(cid:315)(cid:235)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:86)(cid:76)(cid:217)(cid:86)(cid:83)
(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) 1 ×1× 3×sin ×2= 6.
2 2 4 4
π
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B.(cid:22)(cid:239)(cid:92)4-2(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:469)(cid:470)(cid:471)(cid:472)·(cid:321)(cid:334)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:464)(cid:151)(cid:465)(cid:466)(cid:35)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:129)(cid:195)(cid:62)
′ ′ ′
(cid:83)(cid:342)(cid:86) = =1(cid:83) =1(cid:83)(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:129)(cid:107) (cid:108) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐷 𝐴𝑂 𝑂𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:144)6 2 B(cid:144)12 2 C(cid:144)8 D(cid:144)10
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:274)(cid:343)(cid:252)(cid:152)(cid:68)(cid:94)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:161)(cid:21)(cid:344)(cid:86)(cid:10)(cid:274)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:135) = = = =2(cid:158) // (cid:83)
′ ′ ′ ′
(cid:164)(cid:117)(cid:274)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:83) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:203) = 2(cid:83)𝐴(cid:343)𝐵(cid:274)𝐶𝐷(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:135) =2 2(cid:83)(cid:330) = = 2+ 2=3(cid:83)
′ ′
(cid:323)𝑂(cid:180)𝐶(cid:83)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:129)𝑂𝐶 + + 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶=10.𝑂𝐶 𝑂𝐵
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:22)(cid:239)(cid:92)4-3(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:473)(cid:474)(cid:475)(cid:476)·(cid:321)(cid:135)(cid:108)(cid:131)(cid:464)(cid:151)(cid:465)(cid:466)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61) (cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:49)
′ ′ ′ ′
(cid:135) = =1(cid:83) (cid:196)(cid:83) (cid:196)(cid:83) // (cid:196)(cid:83)(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62) 𝑂𝐴𝐵(cid:35)𝐶(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107)𝑂 𝐴 (cid:108)𝐵𝐶
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐶 ⊥𝑥 𝐴𝐵 ⊥𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝑂𝐴𝐵𝐶
A(cid:144)3 2 B(cid:144)3 2 C(cid:144)3 D(cid:144) 3
2 2
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:36)(cid:82)(cid:61)(cid:62)(cid:217)(cid:192) =2(cid:83)(cid:343)(cid:217)(cid:192)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:41)(cid:42)(cid:83)(cid:247)(cid:217)(cid:192)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:41)(cid:42).
′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344) (cid:196)(cid:65) (cid:186)𝐴(cid:66)𝐵(cid:129)D(cid:83)(cid:394) (cid:196)(cid:83)𝑂𝐴𝐵𝐶 (cid:196)(cid:83)(cid:343) // (cid:83)𝑂𝐴𝐵𝐶
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑦 𝐴𝐵 𝑂𝐶 ⊥𝑥 𝐴𝐵 ⊥𝑥 𝑂𝐶 𝐴𝐵(cid:477) // (cid:196)(cid:83)(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:330) = =1.
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:477)𝐵𝐶 𝑦=45o(cid:83)(cid:36)(cid:82)A𝑂′B𝐷′ 𝐵x′𝐶(cid:196)(cid:83)(cid:343) = =1𝐷(cid:83)𝐵(cid:330)𝑂𝐶=2.
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∠𝑥𝑂𝑦 1 ⊥ 𝐷𝐴 3 𝑂𝐴 𝐴𝐵
(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:41)(cid:42)(cid:129) ×(1+2)×1= (cid:83)
2 2
′ ′ ′ ′
𝑂𝐴𝐵𝐶
(cid:394)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:41)(cid:42)(cid:110)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:35) 2(cid:461)(cid:83)
4
′ ′ ′ ′
𝑂𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐴𝐵𝐶
(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62)OABC(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129)3 2.
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)5(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:412)(cid:413)(cid:85)(cid:478)·(cid:479)(cid:267)(cid:143)(cid:139)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:35)(cid:172)(cid:41)ABC(cid:110)(cid:157)(cid:184)(cid:129)1(cid:35)(cid:136)(cid:157)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)
(cid:151)(cid:41)ABC(cid:158) = 3(cid:83)(cid:131)(cid:260)(cid:480)(cid:481)(cid:422) (cid:35)(cid:135)(cid:220)(cid:294)(cid:40)(cid:41)(cid:482)𝑃(cid:346)−𝐴(cid:66)𝐵P𝐶(cid:83)(cid:343)(cid:49)(cid:482)(cid:212)(cid:35)(cid:53)(cid:325)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129)(cid:107) (cid:108) 𝑃𝐴⊥
A(cid:144) 3 𝑃𝐴 B(cid:144) 39 △𝐴𝐵𝐶 C(cid:144)4 3 D(cid:144) 37
6 3 3 3
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:335)(cid:27)(cid:392)(cid:99)(cid:198)(cid:236)(cid:483)(cid:256)(cid:192) (cid:151)(cid:41) (cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:192)(cid:151)(cid:41) (cid:151)(cid:41) (cid:83)(cid:246)(cid:247)(cid:315)(cid:235)(cid:151)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:225)(cid:226)
(cid:51)(cid:52)(cid:221)(cid:222)(cid:83)(cid:248)(cid:335)(cid:27)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15)(cid:71)(cid:91)(cid:68)𝑃(cid:94)𝐴(cid:254)⊥(cid:217). 𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:306)(cid:172)(cid:41) (cid:193)(cid:194)(cid:83)(cid:117) (cid:129)(cid:196)(cid:83)(cid:193)(cid:194)(cid:346)(cid:151)(cid:41) (cid:65)(cid:151)(cid:41) (cid:160)(cid:41)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:83)
(cid:344) (cid:35)(cid:135)(cid:220)(cid:129) (cid:83)𝐴𝐵(cid:423)𝐶(cid:127) (cid:129)(cid:51)𝐴(cid:52)𝐶(cid:221)(cid:222)(cid:83)(cid:344) (cid:219)(cid:99)(cid:185) 𝑃𝐴(cid:35)𝐶(cid:221)(cid:222)(cid:129)𝐴𝐵(cid:83)𝐶
(cid:343)
△
=
𝐴1𝐵
×
𝐶
12 1
𝑂2
= 3(cid:83)(cid:164)
𝑂𝑃
(cid:117) = 1
2
+
𝑂
3+ 3
𝐴2𝐶
= 39.
𝑑
3 2 6 2 6 3
𝑑 − 𝑂𝑃
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B.(cid:22)(cid:239)(cid:92)5-1(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:169)(cid:181)·(cid:357)(cid:470)(cid:486)(cid:464)·(cid:479)(cid:267)(cid:143)(cid:139)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:342)(cid:86)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:77) (cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:129)lcm(cid:83)(cid:24)
1 1 1
(cid:129)5cm(cid:83)(cid:131)(cid:393)(cid:66)(cid:487) (cid:66)(cid:98)(cid:419)(cid:83)(cid:294)(cid:295)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:488)(cid:152)(cid:148)(cid:197)(cid:219)(cid:489) (cid:66)(cid:35)(cid:51)(cid:52)𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:185)−𝐴(cid:35)(cid:184)𝐵 (cid:129)𝐶 (cid:107) (cid:108)
1
𝐴 𝐴
A(cid:144)12 B(cid:144)13 C(cid:144) D(cid:144)15
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:161)(cid:198)(cid:236)(cid:306)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:148)(cid:66)(cid:31)(cid:221)(cid:222)(cid:51)(cid:52)(cid:68)(cid:51)(cid:210)(cid:463).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:306)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:77) (cid:294)(cid:179)(cid:88)(cid:262)(cid:263),(cid:248)(cid:453)(cid:301)(cid:131)(cid:326),(cid:49)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)
1 1 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶
(cid:137)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:135),(cid:51)(cid:52)(cid:221)(cid:222)(cid:110)(cid:178)(cid:132)(cid:195)(cid:62)(cid:251)(cid:170)(cid:185)(cid:35)(cid:490)(cid:185)(cid:35)(cid:184)(cid:122),(cid:216)(cid:254)(cid:129)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:180)(cid:164)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463).
(cid:161)(cid:342)(cid:86)(cid:68)(cid:192)(cid:195)(cid:62)(cid:35)(cid:184)(cid:136)(cid:171)6×1=6,(cid:491)(cid:136)(cid:171)5,(cid:161)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15) = 62+52= 61.
(cid:330)(cid:20):C. 𝑑
(cid:22)(cid:239)(cid:92)5-2(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:44)(cid:180)·(cid:319)(cid:320)·(cid:479)(cid:267)(cid:143)(cid:139)(cid:108)(cid:283)(cid:291)(cid:34) (cid:35)(cid:88)(cid:184)(cid:129)1(cid:83)M(cid:110)(cid:41) (cid:112)(cid:131)(cid:389)(cid:66)(cid:83)
1 1 1 1 1 1
(cid:158) (cid:83)N(cid:110)(cid:88) (cid:180)(cid:131)(cid:389)(cid:66)(cid:83)(cid:343) (cid:197)(cid:184)(cid:35)𝐴𝐵(cid:51)𝐶𝐷(cid:210)−(cid:463)𝐴(cid:129)𝐵(cid:107)𝐶 𝐷 (cid:108) 𝐵𝐶𝐶 𝐵
1 1
𝐷𝑀 A(cid:144) ⊥ 2 𝐴 𝐶 𝐶𝐶 B(cid:144) 3+1 △𝐷𝑀𝑁 C(cid:144) 2+2 D(cid:144) 6+ 10
2 2
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:335)(cid:27)(cid:262)(cid:263)(cid:291)(cid:47)(cid:83)(cid:117) (cid:129)(cid:58)(cid:492)(cid:83)(cid:306) (cid:90) (cid:493)(cid:290)(cid:494)(cid:49)(cid:65) (cid:160)(cid:41)(cid:83)(cid:246)(cid:247)(cid:335)(cid:27)
1 1 1 1
(cid:153)(cid:495)(cid:146)(cid:15)(cid:68)(cid:94). △𝐵𝐶𝐶 △𝐵𝐶 𝐷 △𝐷𝐶𝐶 △𝐵𝐶𝐶
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:66)M(cid:137)(cid:185)(cid:267) (cid:180)(cid:85)(cid:389)(cid:83)(cid:254)(cid:389)(cid:185)(cid:267) (cid:137) (cid:112)(cid:85)(cid:389)(cid:83)
1 1
(cid:389)(cid:185)(cid:267) (cid:137) (cid:112)(cid:85)(cid:389)𝐵𝐶(cid:83)(cid:389)(cid:185)(cid:267) (cid:137) 𝐷𝑀(cid:112)(cid:85)△(cid:389)𝐵(cid:83)𝐶 𝐷
1 1
(cid:117) 𝐷𝑁(cid:129)(cid:58)△(cid:492)𝐷𝐶(cid:83)𝐶(cid:306) (cid:90) 𝑀𝑁(cid:493)△(cid:290)(cid:494)𝐵𝐶(cid:49)𝐶(cid:65) (cid:160)(cid:41)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:10)
1 1 1 1
△𝐵𝐶𝐶 △𝐵𝐶 𝐷 △𝐷𝐶𝐶 △𝐵𝐶𝐶(cid:49)(cid:135) (cid:493)(cid:290)(cid:346) (cid:83) (cid:493)(cid:290)(cid:346) (cid:83)
1 1 2 1 1 3
△𝐵(cid:35)𝐶(cid:197)𝐷(cid:184)(cid:136)(cid:171) △𝐵𝐶+𝐷 +△𝐷𝐶𝐶,(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:136)△(cid:171)𝐶𝐶 𝐷
2 3 2 3
(cid:137)△(cid:156)𝐷𝑀(cid:157)𝑁(cid:62) = 𝐷 𝑀= 2𝑀(cid:83)𝑁 𝑁𝐷 =150°(cid:83) 𝐷 𝐷
1 2 1 3 2 1 3
(cid:161)(cid:153)(cid:495)(cid:146) 𝐶 (cid:15)(cid:217) 𝐷 (cid:68)(cid:192) 𝐶 𝐷 2=2+ ∠𝐷 𝐶 × 𝐷 2× 2× 3 =4+2 3(cid:83)
2 3
2
𝐷 𝐷 2−2 −
(cid:164)(cid:117) =1+ 3(cid:83)
2 3
(cid:330) 𝐷 𝐷 (cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:136)(cid:171)1+ 3(cid:83)
(cid:330)(cid:20)△(cid:10)𝐷𝑀B.𝑁
(cid:22)(cid:239)(cid:92)5-3(cid:28)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:412)(cid:332)(cid:496)(cid:497)·(cid:321)(cid:334)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129)3(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)1(cid:83)(cid:131)(cid:260)(cid:480)(cid:481)(cid:422)(cid:66)P(cid:498)
(cid:294)(cid:295)(cid:312)(cid:89)(cid:78)(cid:179)(cid:41)(cid:482)(cid:152)(cid:131)(cid:197)(cid:247)(cid:499)(cid:219)(cid:66)P(cid:498)(cid:83)(cid:343)(cid:480)(cid:481)(cid:482)(cid:152)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:184)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144) 3 B(cid:144)3 C(cid:144)2 3 D(cid:144)3 3
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:46)(cid:98)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:83)(cid:343)(cid:480)(cid:481)(cid:482)(cid:152)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:221)(cid:222)(cid:129) (cid:83)(cid:137) (cid:135)(cid:83)(cid:94)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:254)(cid:217).
′ ′
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:342)(cid:86)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:129)(cid:199)(cid:54)(cid:110)3(cid:35)(cid:285)(cid:62)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:83)𝑃𝑃 △𝑆𝑃𝑃
(cid:131)(cid:260)(cid:480)(cid:481)(cid:422)(cid:66)P(cid:98)(cid:419)(cid:488)(cid:295)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:482)(cid:152)(cid:131)(cid:500)(cid:499)(cid:219)(cid:66)P(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:221)(cid:222)(cid:129) (cid:83)
′
(cid:344) = (cid:83)(cid:89)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:197)(cid:184)(cid:129)2 (cid:83)(cid:164)(cid:117)(cid:89)(cid:396) (cid:35)(cid:184)(cid:129)2 (cid:83) 𝑃𝑃
′ ′
∠𝑆𝑃𝑃 𝛼 π 𝑃𝑃 π2
(cid:164)(cid:117) = (cid:83)
3
π
𝛼
(cid:137) (cid:135)(cid:83)(cid:161) = (cid:83)(cid:192) = 2+( )2 cos = 32+32 ×3×3× 1 =3 3(cid:83)
2
′ ′ ′ ′ ′
(cid:330)(cid:20)△(cid:10)𝑆𝑃 D 𝑃 . 𝑆𝑃 𝑆𝑃 𝑃𝑃 𝑆𝑃 𝑆𝑃 −2𝑆𝑃⋅𝑆𝑃 ⋅ 𝛼 −2 −
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:55)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:190)6(cid:28)(cid:107)2024·(cid:320)(cid:365)(cid:358)(cid:501)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86) =2(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54) =4(cid:35)(cid:89)(cid:78)(cid:112)(cid:301)(cid:171)(cid:80) (cid:83)(cid:343)(cid:502)(cid:212) (cid:90) (cid:135)
1 1 1
(cid:66)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:56)(cid:80) (cid:164)(cid:192)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129)(cid:107)𝑆 𝑂 (cid:108) 𝑂 𝐴 𝑂 𝑆 𝑂 𝐴
25 𝑂 25 25
A(cid:144) B(cid:144) C(cid:144) D(cid:144)5
2 3 4
π π π π
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:80)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:269)(cid:393)(cid:83)(cid:36)(cid:82)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:41)(cid:42)(cid:136)(cid:42)(cid:269)(cid:57)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15)(cid:252)(cid:152)(cid:68)(cid:94)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)(cid:83)
(cid:344)(cid:80) (cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129) (cid:83)(cid:185)(cid:267) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:129) (cid:83)(cid:394)(cid:129) 2+ 2= 2(cid:83)
1 1 1
(cid:164)(cid:117)𝑂42+ 𝑅2= 2(cid:83)𝑂(cid:94)𝐴(cid:192) =5(cid:83)𝐸 𝐴𝑂 𝑂𝑂 𝐴𝑂
(cid:344)(cid:502)(cid:212) (cid:90)(𝑅−2(cid:135)) (cid:66) 𝑅(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:56)𝑅(cid:80) (cid:164)(cid:192)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:89)(cid:220)(cid:129) (cid:83)(cid:199)(cid:54)(cid:129) (cid:83)(cid:80)(cid:220) (cid:219)(cid:56)(cid:41)(cid:35)(cid:221)(cid:222) = (cid:83)
1 2 2
(cid:343) 2=𝑆2 𝑂 2𝐴(cid:83)(cid:67)(cid:56)𝐸(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:210)𝑂(cid:83)(cid:343) (cid:67)(cid:51)(cid:210)(cid:83)(cid:254) (cid:67)(cid:51)𝑂(cid:209)(cid:83) 𝑟 𝑂 𝑂𝑂 𝑑
(cid:394)𝑟(cid:129)(cid:337)𝑅(cid:129)−(cid:66)𝑑 (cid:219) (cid:35)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(cid:51)(cid:209)(cid:83)(cid:423)𝑟(cid:127) = 𝑑 (cid:83)(cid:477) = 22+22=2 2(cid:83)
1
𝑑 𝑂 𝑆5𝐸×2 5 𝑑⋅𝑆𝐸 𝑆𝑂⋅𝐸𝑂 𝑆𝐸
(cid:164)(cid:117) = 1= = (cid:83)
2 2 2
𝑆𝑂⋅𝐸𝑂
(cid:164)(cid:117) 𝑑 2=5 𝑆 2 𝐸 ( 5 ) 2 = 25 (cid:83)
2 2
𝑟 −
(cid:330)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129) 2= 25 (cid:144)
2
π𝑟 π
(cid:330)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)6-1(cid:28)(cid:107)2024·(cid:320)(cid:413)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:137)(cid:184)(cid:291)(cid:34) (cid:135)(cid:83) = = (cid:83)(cid:66) (cid:83) (cid:83) (cid:73)
1 1 1 1 1
(cid:284)(cid:137)(cid:88) (cid:83) (cid:90) (cid:180)(cid:83)(cid:158) = (cid:83) =3 𝐴𝐵(cid:83)𝐶𝐷−𝐴= 𝐵 𝐶(cid:83)𝐷(cid:343)(cid:151)(cid:41)𝐴𝐵 (cid:56)𝐵𝐵(cid:184)(cid:291)(cid:34)2𝐵(cid:164)𝐶(cid:192)(cid:35)𝑃(cid:56)(cid:41)𝑄(cid:62)(cid:275)𝑇(cid:129)
1 1 1 1
(cid:107) (cid:108)𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐵 𝐵 𝑃 3𝐵𝑃 𝐶𝑄 𝐶 𝑄 𝐵𝑇 3𝐴𝑇 𝑃𝑄𝑇
A(cid:144)(cid:169)(cid:170)(cid:62) B(cid:144)(cid:156)(cid:157)(cid:62) C(cid:144)(cid:503)(cid:157)(cid:62) D(cid:144)(cid:178)(cid:157)(cid:62)(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:490)(cid:301) (cid:93)(cid:183)(cid:184)(cid:186) (cid:35)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:171)(cid:66) (cid:83)(cid:490)(cid:301) (cid:93)(cid:183)(cid:184)(cid:186) (cid:171)(cid:66) (cid:83)
(cid:212)(cid:66) (cid:128) // (cid:186)𝑄𝑃 (cid:171)(cid:66) (cid:83)𝐶(cid:490)𝐵(cid:301) (cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:192)𝐸(cid:219)(cid:56)(cid:41)(cid:61)𝐸(cid:62)𝑇 (cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:192)𝐴(cid:94)𝐷. 𝑆
1
(cid:22)(cid:94)(cid:130)𝑆 (cid:212)𝑆(cid:325)𝑅 (cid:28)𝐸(cid:191)𝑄(cid:61)𝐷(cid:490)𝐷(cid:301) (cid:93)𝑅(cid:183)(cid:184)(cid:186)𝑅𝑄(cid:35)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:171)(cid:66) (cid:83)(cid:490)(cid:301) (cid:93)(cid:183)(cid:184)(cid:186) (cid:171)(cid:66) (cid:83)
(cid:212)(cid:66) (cid:128) // (cid:186) (cid:171)𝑄𝑃(cid:66) (cid:83)(cid:490)(cid:301)𝐶𝐵(cid:83) 𝐸 𝐸𝑇 𝐴𝐷 𝑆
1
(cid:343)(cid:503)𝑆(cid:157)(cid:62)𝑆𝑅 𝐸𝑄(cid:254)𝐷(cid:129)𝐷(cid:151)(cid:41) 𝑅 (cid:56)(cid:312)(cid:184)𝑅(cid:291)𝑄(cid:34)(cid:164)(cid:192)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:145)(cid:157)(cid:62).
(cid:49)(cid:135)(cid:394)(cid:129)𝑃𝑄𝑅𝑆=𝑇 (cid:83) 𝑃=𝑄3𝑇 (cid:83) = (cid:83)
1 1
𝐵 𝑃 3𝐵𝑃 𝐶𝑄 𝐶 𝑄 1𝐵𝑇 3𝐴𝑇 1
(cid:164)(cid:117) (cid:83)(cid:343) = = (cid:83)(cid:164)(cid:117) = (cid:83)
3 2
𝐸𝐵 𝐵𝑃
△𝐸𝐵𝑃∽△𝐸𝐶𝑄 𝐸𝐶 𝐶𝑄 𝐸𝐵 𝐵𝐶
1 1 1
(cid:477) (cid:83)(cid:164)(cid:117) = = (cid:83)(cid:164)(cid:117) = = (cid:83)
3 3 6
𝑆𝐴 𝐴𝑇
△𝑆𝐴𝑇∽△𝐸𝐵𝑇 𝐸𝐵 𝑇𝐵 𝑆𝐴 𝐸𝐵 𝐴𝐷
5
(cid:343) = (cid:83)
6
𝑆𝐷 𝐴𝐷
5 5 5
(cid:504)(cid:246) (cid:83)(cid:343) = (cid:83)(cid:164)(cid:117) = = = .
9 12 1 12 1
𝑆𝐷 𝐷𝑅
△𝑆𝐷𝑅∽△𝐸𝐶𝑄 𝐸𝐶 𝐶𝑄 𝐷𝑅 𝑄𝐶 𝐶𝐶 𝐷𝐷
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:239)(cid:92)6-2(cid:28)(cid:107)2024·(cid:505)(cid:358)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:337)(cid:506)(cid:507)(cid:508)(cid:509)(cid:510)(cid:506)(cid:152)(cid:127)(cid:83)(cid:511)(cid:512)(cid:513)(cid:62)(cid:133)(cid:131)(cid:132)(cid:117)(cid:506)(cid:507)(cid:514)(cid:421)(cid:129)(cid:168)(cid:66)(cid:83)(cid:506)(cid:507)(cid:35)(cid:506)
(cid:152)(cid:291)(cid:515)(cid:129)(cid:196)(cid:35)(cid:89)(cid:78)(cid:107)(cid:191)(cid:61)(cid:108)(cid:83)(cid:202)(cid:129)“(cid:516)(cid:517)(cid:78)”.(cid:516)(cid:517)(cid:78)(cid:35)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:168)(cid:170) (cid:65)(cid:506)(cid:507)(cid:35)(cid:510)(cid:122) (cid:57)(cid:509)(cid:510) (cid:349)(cid:350)(cid:3)(cid:242)(cid:92)sin =
2
𝜃
𝜃 𝑣 𝑐
.(cid:363)(cid:131)(cid:518)(cid:506)(cid:507)(cid:117)2(cid:461)(cid:509)(cid:510)(cid:294)(cid:99)(cid:185)(cid:506)(cid:152)(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:506)(cid:507)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:516)(cid:517)(cid:78)(cid:137)(cid:221)(cid:222)(cid:168)(cid:66)30m(cid:498)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
𝑐
𝑣
A(cid:144)100 2 B(cid:144)300 2 C(cid:144)600 2 D(cid:144)900 2
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)πm(cid:128)(cid:98)(cid:199)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:94)πm(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:192)(cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:199)πm(cid:54)(cid:83)(cid:252)(cid:203)(cid:254)(cid:217)(cid:192)(cid:94). πm(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:10)
(cid:312)(cid:506)(cid:507)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:516)(cid:517)(cid:78)(cid:137)(cid:221)(cid:222)(cid:168)(cid:66)30m(cid:498)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:89)(cid:220)(cid:129) (cid:83) (cid:129)(cid:516)(cid:517)(cid:78)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:83)
1 𝑂 𝐴𝐵
(cid:161)(cid:21)(cid:208)sin =sin = = = (cid:83)
2 2
𝜃 𝑐 𝑐
∠𝐵𝐴𝑂 𝑣 2𝑐
(cid:203) (cid:110)(cid:519)(cid:170)(cid:83)(cid:164)(cid:117) =30 (cid:83)
∘
(cid:477)∠𝐵𝐴=𝑂30m(cid:83)(cid:164)(cid:117) ∠=𝐵𝐴𝑂 tan30 =10 3m(cid:83)
∘
𝐴𝑂 𝐵𝑂 𝐴𝑂⋅ 2
(cid:312)(cid:506)(cid:507)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:516)(cid:517)(cid:78)(cid:137)(cid:221)(cid:222)(cid:168)(cid:66)30m(cid:498)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:41)(cid:42)(cid:129) ×(10 3) =300 2.
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B. π πm
(cid:22)(cid:239)(cid:92)6-3(cid:28)(cid:107)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:137)(cid:283)(cid:291)(cid:34) (cid:135)(cid:83)E(cid:83)F(cid:73)(cid:284)(cid:129)(cid:88) (cid:83) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:212)
1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐷𝐷
(cid:99)(cid:185)EF(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:56)(cid:312)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:164)(cid:192)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129) (cid:83)(cid:51)(cid:209)(cid:463)(cid:129) (cid:83)(cid:343) =(cid:107) (cid:108)
𝑆
𝑠 𝑆 𝑠
A(cid:144) 6 B(cid:144) 3 C(cid:144) 30 D(cid:144) 6
2 2 5 5
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:68)(cid:192)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:35)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:80)(cid:220)(cid:520)(cid:466)(cid:83)(cid:124)(cid:86)(cid:337)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:209)(cid:127)(cid:83)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)(cid:312)(cid:283)(cid:291)
(cid:34)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54) (cid:83)(cid:337)(cid:56)(cid:41)(cid:65)OP(cid:392)(cid:99)(cid:127)(cid:83)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:210)(cid:125)(cid:73)(cid:284)(cid:68)(cid:98)(cid:251)(cid:50)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:209)(cid:210)(cid:254)(cid:217)(cid:192)(cid:98)(cid:36)(cid:521).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)𝑅 (cid:83)(cid:283)(cid:291)(cid:34) (cid:35)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:80)(cid:220)(cid:137)(cid:49)(cid:135)(cid:220)(cid:66) (cid:498)(cid:83)(cid:344)(cid:312)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:35)(cid:88)(cid:184)(cid:129) (cid:83)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑂 𝑎
(cid:343)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54) = 1 2+ 2+ 2= 3 (cid:83)
2 2
𝑎
(cid:67)(cid:494)(cid:212)(cid:99)(cid:185)EF(cid:35) 𝑅 (cid:151)(cid:41)(cid:56)𝑎(cid:312)(cid:80)𝑎(cid:192)(cid:219)𝑎(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:210)(cid:83)(cid:343)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:89)(cid:220)(cid:129)(cid:185)(cid:267)EF(cid:35)(cid:135)(cid:66) (cid:83)
2 2 𝑃
(cid:490)(cid:301)OE(cid:83)OF(cid:83)OP(cid:83)(cid:343) = = + = 2 (cid:83)
2 2 2
𝑎 𝑎 𝑎
2 2𝑂𝐸 𝑂𝐹
= 2+ + = 6 (cid:83)
2 2 2
𝑎 𝑎 𝑎
𝐸𝐹 𝑎2
(cid:164)(cid:117) = 2 1 = 2 (cid:83)
2 4
𝑎
𝑂𝑃 𝑂𝐸 − 𝐸𝐹
(cid:423)(cid:127)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54) = 2 2= 10 (cid:144)
4
𝑎
(cid:504)(cid:246)(cid:337)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:51) 𝑟 (cid:209)(cid:127)(cid:83)𝑅(cid:56)−(cid:41)𝑂𝑃(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)(cid:312)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54) (cid:125)
2
2 3 6 𝑅
(cid:164)(cid:117) = = 2 = (cid:144)
2 10𝑎 2 5
𝑆 π𝑅 π 4
𝑎
(cid:330)(cid:20)(cid:10)𝑠 D π(cid:144)𝑟 π
(cid:131)(cid:57)(cid:64)(cid:20)(cid:21)
1(cid:144)(cid:107)2024·(cid:469)(cid:470)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:98)(cid:35)(cid:464)(cid:151)(cid:465)(cid:466)(cid:35) (cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:49)(cid:135) (cid:110) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)
′ ′ ′
(cid:158) // (cid:196)(cid:83) // (cid:196)(cid:83) = =2(cid:83)(cid:175)(cid:522) =△(cid:107)𝐴 𝐵 𝐶(cid:108) 𝐷 𝐵𝐶
𝐴 ′ 𝐷 ′ 𝑦 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝑥 ′ 𝐴 ′ 𝐷 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝑆△𝐴𝐵𝐶
A(cid:144) 2 B(cid:144)2 C(cid:144)2 2 D(cid:144)4
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:266)(cid:146)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:83)(cid:68)(cid:94)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:83)(cid:293)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:348)(cid:274)(cid:98)(cid:274)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:129)(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)
(cid:49)(cid:135) (cid:83) =2 =4(cid:83) = =2(cid:83)
′ ′ ′ ′
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 1 𝐵𝐶 𝐵𝐶1
(cid:274)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) = = ×2×4=4.
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D(cid:144)
2(cid:144)(cid:107)2024·(cid:156)(cid:385)(cid:489)(cid:476)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:137)(cid:283)(cid:291)(cid:34) (cid:135)(cid:83) (cid:129) (cid:135)(cid:66)(cid:83) (cid:129)(cid:185)(cid:267) (cid:180)(cid:131)(cid:389)(cid:66)(cid:83)(cid:212)
1 1 1 1 1 1
(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:56)(cid:283)(cid:291)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:204)(cid:217)(cid:84)(cid:110)(cid:107)𝐴 𝐵 𝐶(cid:108)𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐶 𝐷
𝐷,𝐸,𝑃A(cid:144)(cid:169)(cid:170)(cid:62) B(cid:144)(cid:195)(cid:62) C(cid:144)(cid:187)(cid:62) D(cid:144)(cid:329)(cid:62)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:66) (cid:137) (cid:57) (cid:117)(cid:48) (cid:169)(cid:132)(cid:38)(cid:523)(cid:520)(cid:466)(cid:127)(cid:83)(cid:56)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:62)(cid:275)(cid:83)(cid:20)(cid:98)(cid:283)(cid:266)(cid:20)(cid:327).
1 1 1 1
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)B(cid:20)(cid:327)(cid:83)𝑃 (cid:337)𝐶(cid:66) (cid:65)𝐷 (cid:115)(cid:82)𝐶(cid:127)𝐷(cid:83)
1
𝑃 𝐷
(cid:364) (cid:135)(cid:66) (cid:83)(cid:394)(cid:129) (cid:110) (cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:343) // (cid:83)(cid:158) = (cid:83)
1 1 1 1
(cid:490)𝐴(cid:301)𝐵 、 𝐻、 、𝐸 𝐴𝐵(cid:83)(cid:343)(cid:156)(cid:157)(cid:62)𝐸𝐻 𝐷𝐷(cid:129)(cid:151)(cid:152)𝐸(cid:156)𝐻(cid:157)𝐷(cid:62)𝐷(cid:83)
1 1 1
(cid:477)(cid:394)𝐷(cid:129)𝐸 𝐸𝐻 𝐻(cid:83)𝐷(cid:164)(cid:117)𝐷(cid:151)𝐷(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62) 𝐸𝐻𝐷(cid:129)𝐷(cid:195)(cid:62)(cid:83)(cid:330)(cid:524)(cid:525)B(cid:20)(cid:327)(cid:125)
1 1
C(cid:20)(cid:327)(cid:83)𝐷𝐷(cid:337)(cid:66)⊥𝐷(cid:65)𝐸 (cid:115)(cid:82)(cid:127)(cid:83) 𝐸𝐻𝐷 𝐷
1
𝑃 𝐶
(cid:364) (cid:135)(cid:66) (cid:83)(cid:394)(cid:129) (cid:110) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:164)(cid:117) // (cid:83)
1 1
(cid:490)𝐵(cid:301)𝐵 、 𝐺、 、𝐸 𝐴𝐵(cid:83)(cid:56)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:62) 𝐸𝐺 𝐷(cid:129)𝐶(cid:187)(cid:62)(cid:83)(cid:330)(cid:524)(cid:525)C(cid:20)(cid:327)(cid:125)
1 1 1
D(cid:20)(cid:327)𝐷𝐸(cid:83)(cid:337)𝐸𝐺(cid:66) 𝐺(cid:129)𝐶 𝐶(cid:135)𝐷(cid:66)(cid:127)(cid:83) 𝐸𝐺𝐶 𝐷
1 1
𝑃 𝐶 𝐷(cid:394)(cid:129) (cid:110) (cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:164)(cid:117) // (cid:158) = (cid:83)
1 1
(cid:490)(cid:301)𝐸 𝐴、𝐵 、 、𝑃𝐵(cid:83)(cid:343)𝐷(cid:156)𝐸(cid:157)𝑃(cid:62)𝐵 𝐷𝐸 (cid:110)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62)(cid:83)
1 1 1
(cid:477)(cid:394) 𝑃 (cid:129) 𝐵
1
𝐵 = 𝐸
1
𝐸𝐷 2+ 𝐷𝑃
1 1
2= 1
2
𝐸 1 𝐵2 + 𝑃𝐷
1
2
1
= 1
4
2 1+
1
2
1
(cid:83)
1
= 2+
1
2=
2
2 + 2
1
=
𝐶 𝐷 𝐶 𝐷 𝐴𝐵
𝐵 𝑃 𝐶 𝑃 𝐵 𝐶 𝐵 𝐶 𝐵 𝐶 𝐵 𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐵 𝐵𝐵
2 + 2(cid:83)
4 1
𝐴𝐵
(cid:394)(cid:129)(cid:110)(cid:283)𝐵𝐵(cid:291)(cid:34)(cid:83)(cid:164)(cid:117) = = = (cid:83)(cid:164)(cid:117) = (cid:83)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:164)(cid:117)(cid:151)(cid:152)(cid:156)(cid:157)(cid:62) 𝐶 (cid:110)𝐷 (cid:329)(cid:62)𝐵(cid:83)𝐶(cid:330)(cid:524)𝐴(cid:525)𝐵 D𝐵(cid:20)𝐵(cid:327)(cid:125) 𝐵 𝑃 𝐵 𝐸
1
(cid:204)(cid:526)(cid:66) (cid:137)(cid:527)(cid:522)(cid:520)𝐸(cid:466)𝐵 (cid:83)𝑃𝐷(cid:155)(cid:204)(cid:217)(cid:84)(cid:110)(cid:169)(cid:170)(cid:62).
(cid:330)(cid:20)(cid:10)A𝑃.
3(cid:144)(cid:107)2024·(cid:528)(cid:476)(cid:529)(cid:358)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:296)(cid:11)(cid:380)(cid:129)(cid:411)(cid:128)(cid:89)(cid:79)(cid:62)(cid:113)(cid:416)(cid:83)(cid:335)(cid:27)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:35)(cid:199)(cid:89)(cid:286)(cid:107)(cid:49)(cid:135)(cid:210)(cid:89)(cid:90)(cid:209)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:73)
(cid:284)(cid:110)2cm(cid:90)4cm(cid:108)(cid:530)(cid:531)(cid:532)(cid:440)(cid:83)(cid:249)(cid:212)(cid:102)(cid:201)(cid:494)(cid:192) (cid:157)(cid:65) (cid:157)(cid:251)(cid:301)(cid:411)(cid:133)(cid:89)(cid:79)(cid:62)(cid:113)(cid:416)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
𝐴𝐵 𝐷𝐶
A(cid:144) 3cm B(cid:144)1cm C(cid:144) 3cm D(cid:144)3 3cm
2 2
=1
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:262)(cid:263)(cid:61)(cid:68)(cid:192) =2(cid:83)(cid:248)(cid:36)(cid:82)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:94).
𝑟=2
𝑅
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129) cm(cid:83)𝑙(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129) cm(cid:83)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) cm(cid:83)(cid:24)(cid:129) cm(cid:83)
1
2 = ×2 ×2 𝑟 =1 𝑅 𝑙 ℎ
2
(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:192)(cid:10) 2 = 1 ×2 ×4(cid:83)(cid:94)(cid:192) =2(cid:83)
π𝑟 2 π 𝑟=2
=2
π𝑅 π 𝑅
𝑙
(cid:164)(cid:117)(cid:312)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24)(cid:129) =𝑙 2 ( )2= 3(cm).
ℎ 𝑙 − 𝑅−𝑟
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C.
4(cid:144)(cid:107)2024·(cid:412)(cid:332)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:296)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:169)(cid:533)(cid:61)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:217)(cid:84)(cid:110)(cid:107) (cid:108)(cid:144)A(cid:144)(cid:169)(cid:88)(cid:77) B(cid:144)(cid:89)(cid:77) C(cid:144)(cid:169)(cid:88)(cid:78) D(cid:144)(cid:89)(cid:78)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:161)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:169)(cid:533)(cid:61)(cid:36)(cid:82)(cid:198)(cid:236)(cid:217)(cid:192).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:161)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:169)(cid:533)(cid:61)(cid:217)(cid:86)(cid:312)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:110)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)1(cid:83)(cid:24)(cid:129) 3(cid:35)(cid:89)(cid:78).
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D(cid:144)
5(cid:144)(cid:107)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:534)(cid:516)(cid:535)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:296)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129)6 3(cid:83)(cid:49)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:34)(cid:42)(cid:129)20 5 (cid:83)(cid:363)(cid:312)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:24)(cid:129)(cid:536)
3
π
(cid:13)(cid:83)(cid:343)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)6 3+18 B(cid:144)3 3+18 C(cid:144)6 3+24 D(cid:144)3 3+24
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:48)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:322)(cid:291)(cid:325)(cid:68)(cid:94)(cid:192)(cid:98)(cid:157)(cid:184)(cid:48)(cid:24)(cid:51)(cid:247)(cid:68)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:312)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:129) (cid:83)(cid:24)(cid:129) (cid:83)(cid:49)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129) (cid:83)(cid:124)(cid:86) 4 3=20 5 (cid:83)(cid:343) = 5=
3 3
𝑎 ℎ 𝑅 π𝑅 π 𝑅
2+ 2 (cid:83)
4
ℎ
𝑎 ①
(cid:158) 3 2 6 =6 3 (cid:83)
4
(cid:537)(cid:60) 𝑎 ⋅ (cid:83) ⋅ℎ (cid:394)(cid:129) ② Z(cid:83)(cid:94)(cid:192) = =4(cid:83)
(cid:164)(cid:117)(cid:283)
①
(cid:178)
②
(cid:88)(cid:77)(cid:35)(cid:40)
ℎ
(cid:41)
∈
(cid:42) =
3𝑎
2
1
1
,
2
ℎ
+ =3 3+24.
4
𝑆 𝑎 ⋅ 6𝑎ℎ
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D.
500
6(cid:144)(cid:107)2024·(cid:156)(cid:385)(cid:439)(cid:360)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:80)O(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129) (cid:83)(cid:66)A(cid:219)(cid:80)(cid:220)O(cid:35)(cid:221)(cid:222)(cid:129)3(cid:83)(cid:343)(cid:212)(cid:66)A(cid:35)(cid:151)(cid:41) (cid:462)(cid:80)O
3
π
𝛼
(cid:164)(cid:56)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:110)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144)9 B(cid:144)12 C(cid:144)16 D(cid:144)20
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)π(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:80)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:7)π(cid:92)(cid:83)(cid:36)(cid:82)(cid:80)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:35)(cid:269)π(cid:393)(cid:252)(cid:152)(cid:68)(cid:94)(cid:254)(cid:217). π
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:344)(cid:80)O(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129)R(cid:83)(cid:343) 4 3= 500 (cid:83)(cid:94)(cid:192) =5.
3 3
π
π𝑅 𝑅
(cid:394)(cid:129)(cid:66)A(cid:219)(cid:80)(cid:220)O(cid:35)(cid:221)(cid:222)(cid:129)3(cid:83)
(cid:164)(cid:117)(cid:212)(cid:66)A(cid:35)(cid:151)(cid:41) (cid:462)(cid:80)O(cid:164)(cid:56)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129) = 52 32=4(cid:83)
𝛼 𝑟 −(cid:343)(cid:164)(cid:68)(cid:56)(cid:41)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129) 2=16 .
(cid:330)(cid:20)(cid:10)C. π𝑟 π
7(cid:144)(cid:107)2024·(cid:528)(cid:476)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:129)(cid:438)(cid:538)(cid:16)(cid:331)(cid:539)(cid:286)(cid:540)(cid:83)(cid:415)(cid:541)(cid:542)(cid:71)(cid:543)(cid:146)(cid:544)(cid:131)(cid:545)(cid:410)(cid:546)(cid:144)(cid:342)(cid:86)(cid:162)(cid:545)(cid:410)(cid:546)(cid:217)(cid:117)(cid:218)(cid:128)(cid:110)(cid:131)(cid:132)
(cid:89)(cid:79)(cid:90)(cid:131)(cid:132)(cid:89)(cid:77)(cid:453)(cid:301)(cid:203)(cid:133)(cid:83)(cid:49)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:191)(cid:181)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:49)(cid:135) = = =40cm(cid:83) =10 2cm(cid:83)(cid:343)(cid:312)(cid:410)(cid:546)
(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129)(cid:107) (cid:108) 𝐴𝐵 2𝐶𝐸 2𝐸𝐹 𝐴𝐶
A(cid:144) 10000 cm3 B(cid:144) 11000 cm3 C(cid:144)4000 3 D(cid:144) 13000 cm3
3 3 3
π π π
πcm
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:212)(cid:66) (cid:128) (cid:171) (cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:198)(cid:236)(cid:83)(cid:68)(cid:98)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24)(cid:83)(cid:248)(cid:335)(cid:27)(cid:89)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:68)(cid:98)
(cid:36)(cid:521). 𝐶 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:212)(cid:66) (cid:128) (cid:171) (cid:83)
𝐶 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀
(cid:394)(cid:129)| |=2| |=2| |=40cm(cid:83)| |=10 2cm(cid:83)(cid:164)(cid:117)| |=10(cid:83)| |= | |2 | |2=
𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐶𝑀 𝐶𝐴 − 𝐴𝑀 200−100
=10(cid:83)
(cid:164)(cid:117)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129) = 1 ( + + = 1 ( ×102+ ×202+ ×102× ×202)×10= 7000
3 上 下 上 下 3 3
π
𝑉 𝑆 𝑆 𝑆 ⋅𝑆 )ℎ π π π π
(cm3)(cid:83)
(cid:477)(cid:89)(cid:77)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129) = = ×102×20=2000 (cm3)(cid:83)
1
𝑉 𝑆ℎ π π
(cid:164)(cid:117)(cid:312)(cid:410)(cid:546)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129) +2000 = (cm3)(cid:83)
3 3
7000π 13000π
π
(cid:330)(cid:20)(cid:10)D.
8(cid:144)(cid:107)2024(cid:24)(cid:169)·(cid:104)(cid:105)·(cid:26)(cid:21)(cid:143)(cid:139)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:137)(cid:88)(cid:184)(cid:129)1(cid:35)(cid:283)(cid:291)(cid:34) (cid:135)(cid:83)(cid:342)(cid:86) (cid:83) (cid:73)(cid:284)(cid:129)(cid:185)(cid:267)
1 1 1 1
(cid:83) (cid:180)(cid:35)(cid:389)(cid:66)(cid:83) (cid:129) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:83)(cid:343) (cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:35)(cid:51)(cid:210)𝐴(cid:463)𝐵𝐶(cid:129)𝐷(cid:107)−𝐴 𝐵(cid:108)𝐶 𝐷 𝑃 𝑀 𝐵
1 1 1
𝐷 𝐵𝐵 𝑁 𝐵 𝐶 △𝑃𝑀𝑁A(cid:144)1+ 2 B(cid:144) 4 2 2 C(cid:144)1+ 3 D(cid:144) 4 3
2 2 2 2
+ +
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:344) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:129) (cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:483)(cid:256) (cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:192)(cid:219)| |=| |(cid:83)(cid:248)(cid:306)(cid:151)(cid:41) (cid:65)(cid:151)
1 1
(cid:41) (cid:262)(cid:263)(cid:93)(cid:547)𝐵𝐷(cid:151)(cid:83)(cid:137)(cid:151)(cid:41)𝑂(cid:61)(cid:62)(cid:135)(cid:490)(cid:301) △(cid:83)𝐵𝑂(cid:186)𝑃≌△(cid:171)𝐵𝑁(cid:66)𝑃 (cid:83)(cid:186) (cid:171)(cid:66)𝑃𝑁(cid:83)(cid:423)𝑃(cid:127)𝑂 (cid:35)(cid:197)𝐵(cid:184)𝐷(cid:364)𝐷(cid:192)𝐵(cid:51)(cid:210)(cid:463)
1 1 1 1
| 𝐵𝐶|(cid:83)𝐵(cid:335)(cid:27)(cid:153)(cid:495)(cid:146)(cid:15)(cid:71)(cid:91)(cid:217)(cid:192). 𝑂𝑁 𝐵𝐵 𝑀 𝐷 𝐵 𝑃 △𝑃𝑀𝑁
(cid:22)𝑂𝑁(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)
(cid:344) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:129) (cid:83)(cid:490)(cid:301) (cid:107) (cid:204)(cid:65)(cid:66) (cid:115)(cid:82)(cid:108)(cid:83)| |=| |(cid:83)| |=| |(cid:83) = (cid:83)
1 1 1
(cid:164)𝐵(cid:117)𝐷 𝑂 (cid:83)𝑃(cid:164)𝑂(cid:117)|𝑃 |=|𝐵 |(cid:83)(cid:293)(cid:151)(cid:41)𝑃𝐵 𝑃𝐵(cid:65)(cid:151)𝑂(cid:41)𝐵 𝑁(cid:262)𝐵(cid:263)(cid:93)∠𝐷(cid:547)𝐵(cid:151)𝐷(cid:83)(cid:191)∠(cid:61)𝐶 (cid:83)𝐵𝐷
1 1 1 1
(cid:137)(cid:151)(cid:41)△(cid:61)𝐵𝑂(cid:62)𝑃(cid:135)≌(cid:490)△(cid:301)𝐵𝑁𝑃(cid:83)(cid:186) 𝑃(cid:171)𝑁(cid:66) 𝑃(cid:83)𝑂(cid:186) (cid:171)(cid:66)𝐵𝐷(cid:83)𝐷(cid:423)𝐵(cid:127) 𝐵𝐶(cid:35)𝐵(cid:197)(cid:184)(cid:364)(cid:192)(cid:51)(cid:210)(cid:463)| |(cid:83)
1 1
𝑂𝑁 𝐵𝐵 𝑀 𝐷 𝐵2 𝑃 2 △𝑃𝑀𝑁 𝑂𝑁
(cid:137) (cid:135)(cid:335)(cid:27)(cid:153)(cid:495)(cid:146)(cid:15)(cid:217)(cid:192)| |= 2 + 2 × 2× 2cos(90°+45°)= 4 2 2(cid:83)
2 2 2 2 2
+
△𝐵𝑂𝑁 𝑂𝑁 −2
(cid:164)(cid:117) (cid:35)(cid:197)(cid:184)(cid:35)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:129) 4 2 2(cid:144)
2
+
△𝑃𝑀𝑁
(cid:330)(cid:20)(cid:10)B(cid:144)
(cid:44)(cid:57)(cid:145)(cid:20)(cid:21)
9(cid:144)(cid:107)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:548)(cid:476)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:181)(cid:322)(cid:255)(cid:47)(cid:135)(cid:83)(cid:258)(cid:259)(cid:35)(cid:129)(cid:107) (cid:108)A(cid:144)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:110)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:110)(cid:88)(cid:78)(cid:125)
B(cid:144)(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:156)(cid:132)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62)(cid:35)(cid:178)(cid:41)(cid:34)(cid:110)(cid:88)(cid:79)(cid:125)
C(cid:144)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:136)(cid:157)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:179)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:110)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:125)
D(cid:144)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:179)(cid:88)(cid:184)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:35)(cid:157)(cid:184)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:343)(cid:423)(cid:88)(cid:78)(cid:204)(cid:217)(cid:84)(cid:110)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:78)(cid:144)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:251)(cid:171)A(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:73)(cid:74)(cid:225)(cid:226)(cid:83)(cid:251)(cid:171)B(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:73)(cid:74)(cid:225)(cid:226)(cid:83)(cid:251)(cid:171)C(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:283)(cid:169)(cid:88)
(cid:78)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:73)(cid:74)(cid:225)(cid:226)(cid:83)(cid:251)(cid:171)D(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:283)(cid:178)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:146)(cid:147)(cid:73)(cid:74)(cid:225)(cid:226).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:251)(cid:171)A(cid:83)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:110)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:7)(cid:160)(cid:168)(cid:66)(cid:35)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:41)(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:35)(cid:145)
(cid:41)(cid:34)(cid:166)(cid:88)(cid:78)(cid:83)
(cid:203)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:41)(cid:110)(cid:145)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:204)(cid:131)(cid:146)(cid:110)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:164)(cid:117)A(cid:258)(cid:259)(cid:83)
(cid:251)(cid:171)B(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:110)(cid:161)(cid:88)(cid:78)(cid:462)(cid:151)(cid:152)(cid:171)(cid:88)(cid:78)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:164)(cid:56)(cid:203)(cid:192)(cid:83)(cid:203)(cid:126)(cid:148)(cid:132)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:49)(cid:153)(cid:156)(cid:132)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62)
(cid:35)(cid:178)(cid:41)(cid:34)(cid:35)(cid:179)(cid:88)(cid:204)(cid:131)(cid:146)(cid:186)(cid:171)(cid:131)(cid:66)(cid:83)(cid:164)(cid:117)B(cid:258)(cid:259)(cid:83)
(cid:251)(cid:171)C(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:110)(cid:136)(cid:157)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:83)(cid:179)(cid:41)(cid:155)(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:168)(cid:66)(cid:204)(cid:131)(cid:146)(cid:137)(cid:172)(cid:41)(cid:35)(cid:351)(cid:352)(cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:136)(cid:157)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)
(cid:135)(cid:220)(cid:83)(cid:164)(cid:117)C(cid:258)(cid:259)(cid:83)
(cid:251)(cid:171)D(cid:83)(cid:363)(cid:178)(cid:88)(cid:78)(cid:35)(cid:164)(cid:126)(cid:88)(cid:184)(cid:155)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:343)(cid:172)(cid:41)(cid:129)(cid:283)(cid:178)(cid:157)(cid:62)(cid:83)(cid:161)(cid:212)(cid:172)(cid:41)(cid:135)(cid:220)(cid:90)(cid:168)(cid:66)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:86)(cid:83)(cid:363)(cid:117)(cid:283)(cid:178)(cid:157)(cid:62)
(cid:129)(cid:172)(cid:41)(cid:83)(cid:343)(cid:179)(cid:88)(cid:354)(cid:246)(cid:209)(cid:171)(cid:172)(cid:41)(cid:157)(cid:184)(cid:83)(cid:164)(cid:117)D(cid:283)(cid:266)(cid:83)
(cid:330)(cid:20)(cid:10)ABC.
10(cid:144)(cid:107)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:80)O(cid:110)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:35)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:83) = =2 3(cid:83)(cid:66)E(cid:137)(cid:185)(cid:267) (cid:180)(cid:83)
(cid:158) = (cid:144)(cid:212)(cid:66)E(cid:128)(cid:80)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:343)(cid:164)(cid:192)(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:35)𝐴−(cid:41)𝐵(cid:42)𝐶𝐷(cid:217)(cid:84)(cid:110)(cid:107) (cid:108)𝐵𝐶 3,𝐴𝐵 𝐵𝐷
𝐵𝐷A(cid:144)π3𝐵𝐸 B(cid:144)2 C(cid:144)3 D(cid:144)4
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:308)(cid:281)(cid:315)(cid:235)(cid:32)(cid:33)(cid:3)π(cid:242)(cid:266)(cid:146)(cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:83)π (cid:248)(cid:315)(cid:235)(cid:66) (cid:35)(cid:520)(cid:466)(cid:83)(cid:68)π (cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:266)(cid:146)(cid:80)(cid:220)(cid:219)(cid:151)(cid:41)(cid:221)(cid:222)(cid:35)
(cid:549)(cid:165)(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:68)(cid:94). 𝐸 𝑂𝐸
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:128) (cid:151)(cid:41) (cid:83) (cid:110)(cid:136)(cid:157) (cid:35)(cid:135)(cid:220)(cid:83)O(cid:110)(cid:283)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:215)(cid:301)(cid:80)(cid:35)(cid:80)(cid:220)(cid:83)(cid:66)
1 1
(cid:137) (cid:180)(cid:83)(cid:490)(cid:36) 𝐴𝑂(cid:83)⊥ 𝐵𝐶𝐷 𝑂 △𝐶𝐵𝐷 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝑂
1 1
(cid:490)𝐴(cid:36)𝑂 (cid:186) (cid:171)𝑂(cid:66)𝐸,𝑂(cid:83)𝐷,𝑂 𝐸=3 (cid:83)
1 1
𝐷𝑂 𝐵𝐶 𝐹 𝐷𝐹 𝑂 𝐹(cid:344)(cid:312)(cid:80)(cid:199)(cid:54)(cid:129) (cid:83)(cid:343) = = (cid:144)
𝑅 𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑅
(cid:161) = =2 3(cid:217)(cid:192) =3× 3× 2 = 3 = 2 2=3(cid:83)
1 2 3 1 1
𝐵𝐶 3,𝐴𝐵 𝑂 𝐷 ,𝐴𝑂 𝐴𝐷 −𝑂 𝐷
2
(cid:137)Rt (cid:135)(cid:83) 2+( 3) = 2,(cid:94)(cid:192) =2(cid:83)
1
△𝑂𝑂 𝐷 (3−𝑅) 𝑅 𝑅
2 1
(cid:394)(cid:129) =3 (cid:83) = (cid:83)(cid:164)(cid:117) // (cid:83)(cid:164)(cid:117) = = =1(cid:83)
1 1 1 3 3
𝐷𝐹 𝑂 𝐹 𝐷𝐵 3𝐵𝐸 𝑂 𝐸 𝐵𝐹 𝑂 𝐸 𝐵𝐹 𝐵𝐶
(cid:137)Rt (cid:135)(cid:83) = =1, =1,(cid:164)(cid:117) = 2(cid:83)
1 1 1 1
(cid:344)(cid:80)(cid:220)△𝑂O𝑂(cid:219)𝐸(cid:212)(cid:66)E𝑂𝑂(cid:35)(cid:56)(cid:41)𝐴𝑂(cid:89)(cid:35)−𝑅(cid:221)(cid:222)(cid:129)𝑂d𝐸,(cid:217)(cid:86) [0𝑂,𝐸2](cid:83)
(cid:56)(cid:41)(cid:89)(cid:199)(cid:54) 2= 2 2= 2 [2,4](cid:83) 𝑑∈
(cid:164)(cid:117)(cid:56)(cid:41)(cid:89)𝑟(cid:35)(cid:41)(cid:42)𝑅(cid:35)−𝑑(cid:364)(cid:463)(cid:549)4−(cid:165)𝑑(cid:129)∈[2 ,4 ](cid:83)
(cid:330)(cid:20)(cid:10)BCD(cid:144) π π
11(cid:144)(cid:107)2024·(cid:412)(cid:332)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:126)(cid:131)(cid:132)(cid:88)(cid:79)(cid:62)(cid:35)(cid:113)(cid:416) (cid:107)(cid:180)(cid:172)(cid:41) (cid:205)(cid:550)(cid:108)(cid:83)(cid:49)(cid:156)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
(cid:198)(cid:179)(cid:88)(cid:386)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:172)(cid:41)(cid:129)(cid:195)(cid:62)(cid:83) = = = =1m(cid:83)(cid:113)(cid:416)(cid:35)(cid:430)(cid:122)(cid:129)1m(cid:83)(cid:113)(cid:416)(cid:455)(cid:35)(cid:456)(cid:122)(cid:454)(cid:288)(cid:204)(cid:71)(cid:83)
2 2 1 1 4 1 1
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶
(cid:343)(cid:181)(cid:322)(cid:255)(cid:47)(cid:283)(cid:266)(cid:35)(cid:110)(cid:107) (cid:108)
A(cid:144) = 2m
1
B(cid:144)(cid:312)𝐴𝐴(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129) 3 2+3 5 m2
C(cid:144)(cid:363)(cid:306)(cid:131)(cid:132)(cid:199)(cid:54)(cid:129)0.9m(cid:35)(cid:80)(cid:465)(cid:303)(cid:312)(cid:113)(cid:416)(cid:135)(cid:83)(cid:343)(cid:80)(cid:217)(cid:117)(cid:301)(cid:551)(cid:219)(cid:113)(cid:416)(cid:35)(cid:172)(cid:41)
D(cid:144)(cid:363)(cid:131)(cid:260)(cid:480)(cid:481)(cid:422)(cid:66) (cid:98)(cid:419)(cid:294)(cid:295)(cid:113)(cid:416)(cid:215)(cid:455)(cid:482)(cid:219)(cid:66) (cid:83)(cid:343)(cid:49)(cid:482)(cid:152)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:325)(cid:129) 45 + 5m
1
4
𝐴 𝐶
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:161)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15)(cid:254)(cid:217)(cid:225)(cid:226)A(cid:83)(cid:161)(cid:187)(cid:62)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:302)(cid:303)(cid:71)(cid:91)(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:225)(cid:226)B(cid:83)(cid:167)(cid:98)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:302)(cid:303)(cid:71)(cid:91)(cid:83)
(cid:254)(cid:217)(cid:225)(cid:226)C(cid:83)(cid:306)(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:262)(cid:263)(cid:83)(cid:246)(cid:247)(cid:302)(cid:303)(cid:71)(cid:91)(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:225)(cid:226)D
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)2 2 3
(cid:251)(cid:171)A(cid:83)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:192) = 12+ + = (cid:83)(cid:330)A(cid:258)(cid:259)(cid:125)
1 2 2 2
4−2 2−1
𝐴𝐴 2
(cid:251)(cid:171)B(cid:83)(cid:187)(cid:62) (cid:35)(cid:24)(cid:129) 12+ = 5(cid:83)
1 1
2 2
2−1
𝐴𝐷𝐷 𝐴
(cid:164)(cid:117)(cid:187)(cid:62) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) 2 4 × 5=3 5(cid:83)
1 1 2 2 2
+
𝐴𝐷𝐷 𝐴
2
(cid:187)(cid:62) (cid:35)(cid:24)(cid:129) 12+ = 2(cid:83)
1 1
2
4−2
𝐴𝐵𝐵 𝐴
(cid:164)(cid:117)(cid:187)(cid:62) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) 1 2 × 2=3 2(cid:83)
1 1 2 2
+
𝐴𝐵𝐵 𝐴
(cid:330)(cid:312)(cid:156)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)2× 3 2+3 5 =3 2+3 5(cid:83)(cid:330)B(cid:283)(cid:266)(cid:125)
2 2
(cid:251)(cid:171)C(cid:83)(cid:363)(cid:465)(cid:303)(cid:113)(cid:416)(cid:112)(cid:35)(cid:80)(cid:217)(cid:117)(cid:301)(cid:551)(cid:219)(cid:113)(cid:416)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:83)(cid:343)(cid:337)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:51)(cid:209)(cid:127)(cid:83)
(cid:80)(cid:552)(cid:553)(cid:65)(cid:41) (cid:57)(cid:41) (cid:57)(cid:41) (cid:386)(cid:150)(cid:384)(cid:83)
1 1 1 1
(cid:212)(cid:169)(cid:132)(cid:384)(cid:66)𝐴(cid:35)𝐷(cid:56)𝐷(cid:41)𝐴(cid:191)(cid:61)(cid:107)𝐵1𝐶(cid:108)𝐶(cid:164)𝐵(cid:176)(cid:83)(cid:161)𝐴(cid:21)𝐵𝐶(cid:208)𝐷(cid:217)(cid:86)(cid:88)(cid:79)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:129)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62)(cid:83)
1
(cid:123)(cid:184)(cid:35)(cid:172)(cid:157)(cid:180)(cid:35)(cid:172)(cid:170)(cid:35)(cid:283)(cid:384)(cid:463)(cid:129) =2(cid:83)(cid:343)tan = (cid:83)
2
2−1
∠𝑀𝑃𝑁 −2
(cid:161)(cid:171) (cid:149)(cid:305)(cid:83)(cid:330)tan =2(cid:83)
1
(cid:343) 2t∠an𝑀𝑃𝑁,∠𝑀 = 𝑂 2 𝑁 (cid:83)(cid:164)(cid:117)tan ∠𝑀 = 𝑂𝑁5 (cid:107)(cid:554)(cid:463)(cid:555)(cid:108)(cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:80)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:129) 2 = 5 1<0.9(cid:83)
tan2 2 5 4
∠𝑀𝑂𝑃 −1 2 +
−1
(cid:164)(cid:117)1−(cid:306)(cid:199)∠𝑀(cid:54)𝑂(cid:129)𝑃 0.9cm(cid:35)(cid:80)(cid:465)(cid:303) ∠𝑀 (cid:312) 𝑂 (cid:113) 𝑃 (cid:416)(cid:135)(cid:204)(cid:84)(cid:301)(cid:551)(cid:219)(cid:113)(cid:416)(cid:35)(cid:172)(cid:41)(cid:83)(cid:330)C(cid:258)(cid:259)(cid:125)
(cid:251)(cid:171)D(cid:83)(cid:306)(cid:151)(cid:41) (cid:65)(cid:151)(cid:41) (cid:262)(cid:263)(cid:346)(cid:211)(cid:131)(cid:151)(cid:41)(cid:83)
1 1
(cid:191)(cid:61)(cid:107)2(cid:108)(cid:83)(cid:343) 𝐴𝐵𝐶 = 𝐷 (2+ 𝐷 2 𝐶 ) 𝐶2 + 𝐷 3 2 = 33 +4 2(cid:83)
1
2 4
(cid:306)(cid:151)(cid:41) (cid:65)𝐴(cid:151)𝐶(cid:41) (cid:262)(cid:263)(cid:346)(cid:211)(cid:131)(cid:151)(cid:41)(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:107)3(cid:108)(cid:83)
1 1
(cid:343) = 𝐴𝐵𝐶𝐷 1+ 5 2𝐵 + 𝐶𝐶 32 𝐵 = 45 + 5, 45 + 5 33 +4 2 =3+ 5 2<0(cid:83)
1 2 4 4 4
𝐴𝐶 − −4
(cid:164)(cid:117)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:325)(cid:129) 45 + 5(cid:83)(cid:330)D(cid:283)(cid:266)(cid:144)
4
(cid:330)(cid:20)(cid:10)BD.
(cid:169)(cid:57)(cid:119)(cid:30)(cid:21)12(cid:144)(cid:107)2024·(cid:319)(cid:320)·(cid:169)(cid:238)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)1(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)5(cid:83)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)30 (cid:83)(cid:343)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:24)(cid:129) 3 .
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:315)(cid:235)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:68)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:83)(cid:248)(cid:315)(cid:235)(cid:89)(cid:79)(cid:196)(cid:56)(cid:41)(cid:68)(cid:98)(cid:24)(cid:254)(cid:217). π
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:394)(cid:129)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:180)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)1(cid:83)(cid:181)(cid:172)(cid:41)(cid:199)(cid:54)(cid:129)5(cid:83)(cid:179)(cid:41)(cid:42)(cid:129)30 (cid:83)
(cid:344)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) (cid:83)(cid:24)(cid:129) . π
(cid:343) (1+5)×𝑙 =30ℎ(cid:83)(cid:94)(cid:192) =5.
(cid:191)π(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:89)(cid:79)𝑙(cid:35)(cid:196)(cid:56)π(cid:41)(cid:83) 𝑙
(cid:137) (cid:135)(cid:83) = =5(cid:83)
(cid:161)(cid:484)△(cid:485)𝐵𝐸(cid:146)𝐷(cid:15)(cid:192)(cid:10)|𝐸(cid:89)𝐷|(cid:79)(cid:35)4,(cid:24)|𝐵𝐷=| 3.
(cid:330)(cid:130)(cid:324)(cid:129)(cid:10)3. ℎ
13(cid:144)(cid:107)2023·(cid:338)(cid:339)(cid:556)(cid:476)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:187)(cid:62)OABC(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:61) (cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83) =3 (cid:83)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:83) =8(cid:83) // (cid:196)(cid:83) = 2(cid:83) (cid:129) (cid:35)(cid:169)(cid:136)(cid:73)(cid:66)(cid:83)(cid:343)(cid:156) 𝑂 (cid:157) 𝐴 (cid:62) 𝐵 O 𝐶 ABC(cid:488)y(cid:196)(cid:193) 𝑂 (cid:194) 𝐴 (cid:131)(cid:197) 𝐶 (cid:62) 𝐵 (cid:133)
2
𝐶 ′ 𝐸 ′ ⊥𝑂 ′ 𝐴 ′ 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 𝐶 ′ 𝐷 ′ 𝑦 ′ 𝐶 ′ 𝐸 ′ 𝐷 ′ 𝑂 ′ 𝐴 ′
(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:129) 48 (cid:144)
π
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:281)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:348)(cid:274)(cid:187)(cid:62) (cid:83)(cid:248)(cid:335)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:269)(cid:393)(cid:68)(cid:192)(cid:49)(cid:157)(cid:65)(cid:24)(cid:83)(cid:422)(cid:203)(cid:225)(cid:226)(cid:192)(cid:312)(cid:187)(cid:62)(cid:129)(cid:136)
(cid:213)(cid:187)(cid:62)(cid:83)(cid:252)(cid:203)(cid:335)(cid:27)(cid:89)(cid:79)(cid:65)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:34)𝑂(cid:42)𝐴(cid:7)𝐵𝐶(cid:92)(cid:68)(cid:94)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:137)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:135)(cid:83) = 2 =1(cid:83)(cid:164)(cid:117)(cid:137)(cid:348)(cid:274)(cid:61)(cid:135)(cid:83) =2(cid:83)(cid:191)(cid:61)(cid:83)
′ ′ ′ ′
𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷
(cid:137)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:135)(cid:83) =3 (cid:83) (cid:129) (cid:35)(cid:169)(cid:136)(cid:73)(cid:66)(cid:83)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:164)(cid:117)(cid:137)(cid:348)(cid:274)(cid:61)𝑂(cid:135)𝐴(cid:83) 𝐶=𝐵 𝐷(cid:83)D𝑂(cid:129)𝐴OA(cid:35)(cid:169)(cid:136)(cid:73)(cid:66)(cid:83)
(cid:477)(cid:137)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:135)(cid:83) 𝑂𝐴// (cid:196)3𝐶(cid:83)𝐵
′ ′ ′
(cid:164)(cid:117)(cid:137)(cid:348)(cid:274)(cid:61)(cid:135)𝐶(cid:83)𝐷 /𝑦/ (cid:196)(cid:83)(cid:343) (cid:83)
𝐶𝐷 𝑦 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴1 1
(cid:164)(cid:117) = ×( + )= ×2× = =8(cid:83)(cid:343) =2(cid:83)
2 2
𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝑂𝐴 𝐶𝐵 4𝐶𝐵 4𝐶𝐵 𝐶𝐵
1
(cid:330) =6(cid:83) = =2(cid:83)(cid:164)(cid:117)(cid:156)(cid:157)(cid:62)OABC(cid:110)(cid:136)(cid:213)(cid:187)(cid:62)(cid:83)
3
𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐴
(cid:164)(cid:117)(cid:156)(cid:157)(cid:62)OABC(cid:488)y(cid:196)(cid:193)(cid:194)(cid:131)(cid:197)(cid:164)(cid:62)(cid:133)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:136)(cid:171)(cid:131)(cid:132)(cid:89)(cid:79)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:270)(cid:173)(cid:131)(cid:132)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:83)
(cid:254) = 1 ×(42+4×6+62)× 1 ×22×2= 152 8 =48 (cid:144)
3 3 3 3
π π
𝑉 π 2− π − π
(cid:330)(cid:130)(cid:324)(cid:129)(cid:10)48 .
14(cid:144)(cid:107)2024·(cid:23)π(cid:557)·(cid:44)(cid:238)(cid:108)(cid:370)(cid:105)(cid:368)(cid:302)(cid:13)(cid:11)(cid:558)(cid:128)(cid:559)(cid:560)(cid:561)(cid:91)(cid:562)(cid:563)(cid:135)(cid:564)(cid:565)(cid:438)(cid:131)(cid:566)(cid:202)(cid:129)“(cid:567)(cid:525)”(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:312)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:131)
(cid:566)(cid:36)(cid:37)(cid:110)(cid:169)(cid:132)(cid:41)(cid:386)(cid:129)(cid:187)(cid:62)(cid:83)(cid:49)(cid:568)(cid:148)(cid:41)(cid:129)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:35)(cid:503)(cid:41)(cid:34)(cid:144)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:156)(cid:157)(cid:62) (cid:83) (cid:83) (cid:386)(cid:129)(cid:136)(cid:213)
(cid:187)(cid:62)(cid:83) // // (cid:83) =6(cid:83) =8(cid:83) =10(cid:83) (cid:219)(cid:151)(cid:41) (cid:35)(cid:221)(cid:222)(cid:129)𝐴5𝐵(cid:83)𝐶𝐷 (cid:65)𝐴𝐵𝐹𝐸(cid:31)(cid:35)𝐶(cid:221)𝐷𝐸(cid:222)𝐹(cid:129)10(cid:83)(cid:343)
(cid:162)(cid:132)(cid:567)𝐴(cid:525)𝐵(cid:35)(cid:34)𝐶𝐷(cid:42) 𝐸=𝐹 𝐴20𝐵0 (cid:144) 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝑉
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:281)(cid:490)(cid:185)(cid:248)(cid:315)(cid:235)(cid:88)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:7)(cid:92)(cid:71)(cid:91)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:34)(cid:42)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)
(cid:490)(cid:301)
𝐶𝐸,𝐵𝐸,
5 5 5
= + = + = + = +
3 3 7
𝑉 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐶−𝐵𝐸𝐹 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐷−𝐴𝐵𝐸 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐷 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷
12 12 1 1
= = × × (6+8)×10×5=200.
7 7 3 2
𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:330)(cid:130)(cid:324)(cid:129)(cid:10)200.
(cid:156)(cid:57)(cid:94)(cid:130)(cid:21)
15(cid:144)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:469)(cid:470)(cid:471)(cid:472)·(cid:479)(cid:267)(cid:143)(cid:139)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:184)(cid:57)(cid:491)(cid:57)(cid:24)(cid:73)(cid:284)(cid:129)3(cid:83)2(cid:83)1(cid:35)(cid:184)(cid:291)(cid:34)(cid:569)(cid:570)(cid:180)(cid:126)(cid:131)(cid:260)(cid:210)(cid:571)(cid:422)
(cid:168)(cid:66)A(cid:98)(cid:419)(cid:294)(cid:295)(cid:184)(cid:291)(cid:34)(cid:35)(cid:215)(cid:40)(cid:41)(cid:482)(cid:219)(cid:168)(cid:66)C (cid:83)(cid:343)(cid:200)(cid:482)(cid:152)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:325)(cid:110)(cid:145)(cid:347)(cid:572)
1(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:73)(cid:284)(cid:306)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)(cid:263)(cid:219) (cid:83)(cid:306)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)(cid:263)(cid:219) (cid:83)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
′ ′ ′′ ′′
(cid:306)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)𝐴(cid:263)𝐵(cid:219)𝐶 𝐷 𝐴(cid:83)(cid:234)𝐵 (cid:326)(cid:71)(cid:91)𝐴 𝐵,(cid:248)𝐶(cid:364)𝐷(cid:49)(cid:51)(cid:210)(cid:463)(cid:254)𝐵(cid:192)𝐶.𝐶 𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐵 𝐶 𝐶
1 1 1 1 1 1
′ ′′′
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)𝐵𝐶(cid:325)𝐶(cid:28)𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴𝐶
(cid:234)(cid:21)(cid:208)(cid:83)(cid:184)(cid:291)(cid:34) (cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:126)(cid:169)(cid:566)(cid:262)(cid:263)(cid:62)(cid:92)(cid:10)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
(cid:191)(cid:61)1(cid:83)(cid:293)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)(cid:263)(cid:219) (cid:83)(cid:65) (cid:160)(cid:41)(cid:127)(cid:83) = 32+(2+1)2=3 2(cid:83)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
′ ′ ′
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐶
(cid:191)(cid:61)2(cid:83)(cid:293)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)(cid:263)(cid:219) (cid:83)(cid:65) (cid:160)(cid:41)(cid:127)(cid:83) = (3+1)2+22=2 5(cid:83)
1 1 1 1 1
′′ ′′ ′′
𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐵 𝐶 𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶
(cid:191)(cid:61)3(cid:83)(cid:293)(cid:195)(cid:62) (cid:488)(cid:295) (cid:262)(cid:263)(cid:219) (cid:83)(cid:65) (cid:160)(cid:41)(cid:127)(cid:83) = (3+2)2+12= 26(cid:83)
1 1 1 1 1 1 1 1
′ ′′′ ′′′
𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐶
(cid:394)3 2<2 5< 26(cid:83)(cid:330)(cid:210)(cid:571)(cid:482)(cid:152)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:325)(cid:110)3 2.
16(cid:144)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:473)(cid:474)(cid:82)(cid:573)·(cid:321)(cid:135)(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:83) (cid:110)(cid:464)(cid:151)(cid:465)(cid:466)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:99)(cid:100)(cid:61).
′ ′ ′
△𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:46)(cid:98)(cid:200)(cid:35)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(2)(cid:363) =2, (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:110) 3(cid:83)(cid:68)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:135) (cid:157)(cid:180)(cid:35)(cid:24)(cid:90)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:41)(cid:42).
2
′ ′ ′ ′ ′
𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)(cid:28)(cid:107)1(cid:108)(cid:335)(cid:27)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:65)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:3)(cid:242)(cid:128)(cid:61)(cid:254)(cid:217)(cid:192)(cid:125)
(cid:107)2(cid:108)(cid:335)(cid:27)(cid:99)(cid:100)(cid:61)(cid:35)(cid:269)(cid:393)(cid:71)(cid:91)(cid:217)(cid:192)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:251)(cid:50)(cid:157)(cid:184)(cid:83)(cid:254)(cid:217)(cid:71)(cid:91)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:24)(cid:65)(cid:41)(cid:42).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:107)1(cid:108)(cid:46)(cid:98)(cid:151)(cid:41)(cid:99)(cid:170)(cid:574)(cid:575)(cid:242) (cid:83)(cid:137) (cid:196)(cid:180)(cid:364) = (cid:83)(cid:254) = (cid:83)
′ ′ ′ ′
(cid:137)(cid:61) (cid:135)(cid:83)(cid:212) (cid:128) // (cid:196)(cid:83)(cid:186) (cid:196)(cid:171)𝑥𝑂(cid:83)𝑦(cid:137) (cid:196)𝑥(cid:180)(cid:364) 𝑂=𝐴 𝑂(cid:83)𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐴
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:212)(cid:66)①(cid:128) //𝐵(cid:196)(cid:83)𝐵(cid:93)𝐷(cid:494)𝑦 =2 𝑥 (cid:83) 𝐷 𝑥 𝑂𝐷 𝑂𝐷
′ ′
𝐷 𝐷𝐵 𝑦 𝐷𝐵 𝐷𝐵(cid:490)(cid:301) (cid:83) (cid:83)(cid:343) (cid:254)(cid:129) (cid:274)(cid:576)(cid:35)(cid:61)(cid:62)(cid:83)(cid:191)(cid:61) (cid:164)(cid:176)(cid:10)
′ ′ ′
𝐴𝐵 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 ②
(cid:107)2(cid:108)(cid:161)(cid:107)1(cid:108)(cid:86)(cid:83)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:135)(cid:83) (cid:171)(cid:66) (cid:83)(cid:343) (cid:129)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:135) (cid:157)(cid:180)(cid:35)(cid:24)(cid:83)
(cid:158) =2 (cid:83) 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶
′ ′
(cid:137)𝐵(cid:99)𝐷(cid:100)(cid:61)(cid:135)𝐵𝐷(cid:128) (cid:171)(cid:66) (cid:83)
′ ′ ′ ′ ′
𝐵𝐸 ⊥𝐴𝐶 𝐸
(cid:343) (cid:35)(cid:41)(cid:42) = 1 × = = 3(cid:83)
2 2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸
(cid:137)(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62) (cid:135)(cid:83) = 2 = 6(cid:83)(cid:164)(cid:117) =2 = 6(cid:83)
2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐵𝐸𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐷
1
(cid:164)(cid:117)S = × = 6.
2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:330)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:135) (cid:157)(cid:180)(cid:35)(cid:24)(cid:129) 6(cid:83)(cid:274)(cid:61)(cid:62)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) 6.
17(cid:144)(cid:107)2024𝐴·(cid:104)𝐶(cid:105)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)(cid:342)(cid:86)(cid:137)(cid:283)(cid:156)(cid:41)(cid:34) (cid:135)(cid:83)(cid:88) (cid:35)(cid:135)(cid:66)(cid:73)(cid:284)(cid:129) (cid:144)
(1)(cid:363) =4(cid:83)(cid:68) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:125) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐷𝐵,𝐷𝐶 𝐸,𝐹,𝐺,𝐻
(2)(cid:151)(cid:41)𝐸𝐹 (cid:306)(cid:283)△(cid:156)𝐴(cid:41)𝐺𝐻(cid:34) (cid:543)(cid:73)(cid:133)(cid:148)(cid:134)(cid:73)(cid:83)(cid:68)(cid:162)(cid:148)(cid:134)(cid:73)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:174)(cid:577)(cid:144)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)𝐸𝐹(cid:53)𝐺(cid:28)𝐻(cid:107)1(cid:108)(cid:335)(cid:27)(cid:169)𝐴𝐵(cid:170)𝐶(cid:62)𝐷(cid:135)(cid:520)(cid:185)(cid:48)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15)(cid:71)(cid:91)(cid:254)(cid:217)(cid:125)
(cid:107)2(cid:108)(cid:335)(cid:27)(cid:307)(cid:305)(cid:47)(cid:57)(cid:136)(cid:34)(cid:42)(cid:47)(cid:57)(cid:150)(cid:182)(cid:35)(cid:269)(cid:393)(cid:71)(cid:91)(cid:254)(cid:217).
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:107)1(cid:108)(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:83)(cid:161)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:135)(cid:520)(cid:185)(cid:192) = =8(cid:83)
(cid:343) = 1 = = 3 = 𝐵 4 𝐶 3= 2𝐸𝐹 = (cid:83)
2 2
𝐺𝐻 𝐵𝐶 4,𝐴𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐻 𝐴𝐺
(cid:161)(cid:484)(cid:485)(cid:146)(cid:15)(cid:83) (cid:137)(cid:157) (cid:180)(cid:35)(cid:24)(cid:129) (4 3) 2 4 2 =2 11(cid:83)
2
1 △𝐴𝐻𝐺 𝐺𝐻 −
(cid:164)(cid:117) = ×4×2 11=4 11.
2
𝑆△𝐴𝐺𝐻
(cid:107)2(cid:108)
(cid:191)(cid:61)(cid:164)(cid:176)(cid:364) (cid:135)(cid:66) (cid:83)(cid:490)(cid:301) (cid:83)
(cid:504)(cid:246)(cid:151)(cid:41) 𝐴𝐷,𝐵(cid:56)𝐶(cid:283)(cid:156)(cid:41)𝑀(cid:34) 𝐸𝑀(cid:62),𝐹(cid:133)𝑀,(cid:35)𝑀𝐺(cid:49),𝑀(cid:135)𝐻(cid:131),𝐸(cid:134)𝐻(cid:73)(cid:217)(cid:161)(cid:156)(cid:132)(cid:156)(cid:41)(cid:34)(cid:10) (cid:83) (cid:81)(cid:133)(cid:83)
𝐸𝐹𝐻𝐺 𝐴−𝐵𝐶𝐷 1 𝐴𝐸𝐹𝑀 𝑀𝐸𝐹𝐻,𝑀𝐸𝐺𝐻,𝑀𝐷𝐺𝐻
(cid:124)(cid:86)(cid:283)(cid:156)(cid:41)(cid:34) (cid:65)(cid:283)(cid:156)(cid:41)(cid:34) (cid:150)(cid:182)(cid:83)(cid:330) = (cid:83)
8
𝐴−𝐸𝐹𝑀 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐴−𝐸𝐹𝑀 𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷
(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:48)(cid:135)(cid:520)(cid:185)(cid:269)(cid:393)(cid:217)(cid:86) = = = = = (cid:83)
(cid:158) = (cid:83) 𝑆△𝐹𝑀𝐻 𝑆△𝐹𝑀𝐴⇒𝑉𝐴−𝐸𝐹𝑀 𝑉𝐸−𝐴𝐹𝑀 𝑉𝐸−𝐹𝑀𝐻 𝑉𝑀−𝐸𝐹𝐻 𝑉𝑀−𝐸𝐺𝐻
𝑉𝐴−𝐸𝐹𝑀 𝑉𝑀−𝐷𝐺𝐻
1
(cid:164)(cid:117)(cid:156)(cid:41)(cid:34)(cid:10) (cid:83) (cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:386)(cid:150)(cid:136)(cid:83)(cid:330)4 = (cid:83)
2
𝐴𝐸𝐹𝑀 𝑀𝐸𝐹𝐻,𝑀𝐸𝐺𝐻,𝑀𝐷𝐺𝐻 𝑉𝐴−𝐸𝐹𝑀 𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷
(cid:164)(cid:117)(cid:148)(cid:134)(cid:73)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:174)(cid:577)(cid:129)1(cid:144)
18(cid:144)(cid:107)23-24(cid:24)(cid:131)(cid:181)·(cid:412)(cid:332)(cid:578)(cid:579)·(cid:321)(cid:135)(cid:108)(cid:27)(cid:131)(cid:132)(cid:212)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:196)(cid:35)(cid:151)(cid:41)(cid:173)(cid:56)(cid:89)(cid:78)(cid:83)(cid:164)(cid:192)(cid:35)(cid:56)(cid:41)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:202)(cid:129)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:196)
(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:216)(cid:202)(cid:129)(cid:89)(cid:78)(cid:35)(cid:377)(cid:580)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:144)(cid:191)(cid:61)(cid:83)(cid:89)(cid:78) (cid:172)(cid:41)(cid:89)(cid:35)(cid:199)(cid:54)(cid:110)4(cid:83)(cid:196)(cid:56)(cid:41) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:110)12(cid:144)
𝑃𝑂 𝑃𝐴𝐵(1)(cid:68)(cid:89)(cid:78) (cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:125)
(2)(cid:212)(cid:89)(cid:78)𝑃𝑂(cid:35)(cid:148)(cid:198)(cid:206)(cid:185) (cid:83) (cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:56)(cid:41)(cid:83)(cid:68)(cid:56)(cid:41) (cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:209)(cid:463)(cid:144)
(cid:22)(cid:94)(cid:21)(cid:289)(cid:53)𝑃𝑂(cid:28)(cid:107)1(cid:108)(cid:315)(cid:235)𝑃(cid:41)𝐵(cid:42)(cid:3)𝑃𝐶(cid:242)(cid:217)(cid:192) =3(cid:83)(cid:252)(cid:203)(cid:217)𝑃(cid:192)𝐵𝐶(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:125)
(cid:107)2(cid:108)(cid:364) (cid:35)(cid:135)(cid:66) (cid:83)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:217)(cid:192) 2+𝑃𝑂 2=25(cid:83)(cid:335)(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:204)(cid:136)(cid:92)(cid:68)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:209)(cid:463).
𝐵𝐶 𝐷 𝑃𝐷 𝐷𝐵 1 1
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:107)1(cid:108)(cid:394)(cid:129)(cid:196)(cid:56)(cid:41) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:129) = × = ×8=12(cid:83)(cid:94)(cid:192) =3(cid:83)
2 2
𝑃𝐴𝐵 𝑆△𝑃𝐴𝐵 𝑃𝑂 𝐴𝐵 𝑃𝑂 𝑃𝑂
(cid:164)(cid:117)(cid:89)(cid:78) (cid:35)(cid:206)(cid:185)(cid:184)(cid:129) = 2+ 2=5.
(cid:107)2(cid:108)(cid:364) 𝑃𝑂(cid:35)(cid:135)(cid:66) (cid:83)(cid:490)𝑃(cid:301)𝐴 𝑃𝑂 (cid:83)𝑂(cid:343)𝐴 (cid:83)
𝐵𝐶 𝐷 𝑂𝐶,𝑂𝐷,𝑃𝐷 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶,𝑃𝐷⊥𝐵𝐶
(cid:217)(cid:192) 2+ 2= 2=25(cid:83)(cid:343) 2 2 = 25 (cid:83)
2 2
𝑃𝐷 +𝐷𝐵
𝑃𝐷 𝐷𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐷⋅𝐷𝐵≤
(cid:337)(cid:158)(cid:581)(cid:337) = =5 2(cid:83)(cid:136)(cid:9)(cid:133)(cid:60)(cid:83)(cid:423)(cid:127) =5 2<8(cid:83)
2
𝑃𝐷 𝐷𝐵 𝐵𝐶
1 25 25
(cid:164)(cid:117)(cid:56)(cid:41) (cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:209)(cid:463)2× × = .
2 2 2
𝑃𝐵𝐶
19(cid:144)(cid:107)2023·(cid:357)(cid:358)(cid:473)(cid:360)·(cid:238)(cid:361)(cid:362)(cid:45)(cid:108)《(cid:560)(cid:561)(cid:91)(cid:562)·(cid:582)(cid:583)》:“(cid:43)(cid:94)(cid:60)(cid:291)(cid:83)(cid:192)(cid:148)(cid:584)( à )(cid:585)( ).(cid:43)(cid:94)(cid:584)(cid:585)(cid:83)(cid:49)(cid:131)(cid:129)(cid:360)
(cid:516)(cid:83)(cid:131)(cid:129)(cid:586)( )(cid:587)( à ).(cid:360)(cid:516)(cid:374)(cid:44)(cid:83)(cid:586)(cid:587)(cid:374)(cid:131)(cid:83)(cid:204)(cid:124)(cid:174)(cid:588)(cid:216).(cid:82)(cid:148)(cid:586)(cid:587)(cid:169)(cid:203)(cid:131)𝑞(cid:83)𝑖 𝑛(cid:589)(cid:174)(cid:117)𝑑ǔ(cid:590)(cid:83)(cid:49)(cid:62)(cid:591)(cid:592).”(cid:593)(cid:474)(cid:4)(cid:10)
“(cid:423)(cid:562)(cid:587)(cid:594)(cid:83)b(cid:595)iē(cid:596)(cid:216)𝑛(cid:83)(cid:177)𝑜 (cid:597)(cid:199)(cid:360)(cid:516)(cid:83)(cid:49)(cid:62)(cid:126)(cid:182)(cid:586)(cid:598)(cid:83)(cid:330)(cid:117)(cid:599)(cid:600).(cid:135)(cid:601)(cid:360)(cid:516)(cid:83)(cid:192)(cid:148)(cid:586)(cid:587)(cid:83)(cid:586)(cid:587)(cid:174)(cid:406)(cid:13)(cid:83)(cid:13)(cid:211)(cid:203)(cid:96)
(cid:235)(cid:199)(cid:83)(cid:330)(cid:600)(cid:178)(cid:203)(cid:131)(cid:254)(cid:192).”(cid:360)(cid:516)(cid:90)(cid:586)(cid:587)(cid:110)(cid:370)(cid:105)(cid:368)(cid:302)(cid:251)(cid:131)(cid:163)(cid:38)(cid:523)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:202)(cid:602)(cid:83)(cid:364)(cid:131)(cid:184)(cid:291)(cid:34)(cid:83)(cid:272)(cid:181)(cid:61)(cid:43)(cid:307)(cid:131)(cid:73)(cid:129)(cid:44)(cid:83)
(cid:192)(cid:148)(cid:132)(cid:131)(cid:238)(cid:131)(cid:314)(cid:35)(cid:169)(cid:88)(cid:77)(cid:83)(cid:202)(cid:129)(cid:584)(cid:585).(cid:248)(cid:294)(cid:584)(cid:585)(cid:35)(cid:131)(cid:168)(cid:66)(cid:65)(cid:150)(cid:251)(cid:35)(cid:88)(cid:603)(cid:263)(cid:83)(cid:192)(cid:156)(cid:88)(cid:78)(cid:90)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:154)(cid:131)(cid:132).(cid:117)(cid:195)(cid:62)
(cid:129)(cid:172)(cid:83)(cid:214)(cid:126)(cid:131)(cid:88)(cid:65)(cid:172)(cid:41)(cid:392)(cid:99)(cid:35)(cid:156)(cid:88)(cid:78)(cid:83)(cid:202)(cid:129)(cid:360)(cid:516),(cid:153)(cid:181)(cid:35)(cid:169)(cid:88)(cid:78)(cid:110)(cid:161)(cid:156)(cid:132)(cid:99)(cid:170)(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:81)(cid:133)(cid:35)(cid:156)(cid:41)(cid:34)(cid:83)(cid:202)(cid:129)(cid:586)
(cid:587)(cid:144)
(1)(cid:137)(cid:181)(cid:604)(cid:61)(cid:135)(cid:46)(cid:98)(cid:360)(cid:516)(cid:90)(cid:586)(cid:587)((cid:204)(cid:605)(cid:212)(cid:325)(cid:83)(cid:93)(cid:27)(cid:606)(cid:206)(cid:40)(cid:176)(cid:98)(cid:576))(cid:83)(cid:68)(cid:360)(cid:516)(cid:90)(cid:586)(cid:587)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:577)(cid:125)(2)(cid:363) = =4(cid:83) =2(cid:83)(cid:137)(cid:607)(cid:61)(cid:135)(cid:83)(cid:68)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:35)(cid:24)(cid:144)
′ ′ ′ ′
(cid:22)(cid:94)(cid:21)𝐴𝐵(cid:289)(cid:53)𝐶(cid:28)𝐶(cid:107)1(cid:108)(cid:315)𝐵𝐶(cid:235)(cid:21)(cid:208)(cid:128)(cid:61)(cid:254)(cid:217)(cid:83)(cid:315)(cid:235)(cid:88)(cid:78)(cid:35)𝐵(cid:34)−𝐴(cid:42)𝐵(cid:7)𝐶(cid:92)(cid:254)(cid:217)(cid:68)(cid:192)(cid:130)(cid:324)(cid:125)
(cid:107)2(cid:108)(cid:315)(cid:235)(cid:136)(cid:34)(cid:42)(cid:47)(cid:83)(cid:71)(cid:91) (cid:83)(cid:36)(cid:82) = (cid:254)(cid:217)(cid:68)(cid:192)(cid:130)(cid:324).
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑉𝐴−𝐵𝐵𝐶 𝑉𝐴−𝐵𝐵𝐶 𝑉𝐵−𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:94)(cid:130)(cid:212)(cid:325)(cid:28)(cid:107)1(cid:108)
(cid:234)(cid:21)(cid:208)(cid:360)(cid:516)(cid:110)(cid:156)(cid:88)(cid:78) (cid:83)
′ ′
(cid:344) = (cid:83) = (cid:83)𝐵−𝐶=𝐷𝐷(cid:83)𝐶
′
𝐴𝐵 𝑎 𝐵𝐶1 𝑏 𝐶𝐶 𝑐 1
(cid:343) = × = (cid:83)
3 3
′ ′ ′ ′
𝑉𝐵−𝐶𝐷𝐷𝐶 𝑆𝐷𝐶𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝑎𝑏𝑐
(cid:586)(cid:587)(cid:110)(cid:169)(cid:88)(cid:78) (cid:83)
′
1𝐷−1𝐴𝐵𝐷 1
(cid:343) = × = (cid:83)
3 2 6
′ ′
𝑉𝐷−𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷⋅𝐷𝐷 𝑎𝑏𝑐
(cid:164)(cid:117)(cid:360)(cid:516)(cid:90)(cid:586)(cid:587)(cid:35)(cid:34)(cid:42)(cid:577)(cid:129)2(cid:144)
1 1 1 1 16
(cid:107)2(cid:108)(cid:161)(cid:21)(cid:208)(cid:192) = × × × × = × ×4×2×4= (cid:83)
3 2 3 2 3
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑉𝐴−𝐵𝐵𝐶 𝐵𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵
=4 2, = = 42+22=2 5
′ ′ ′ ′
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:330) = 1 ×4 2× (2 5) 2 (2 2) 2 =4 6(cid:83)
2
′ ′
(cid:343)𝑆△𝐴𝐵𝐶 = (cid:83)(cid:344)(cid:169)(cid:88)−(cid:78) (cid:35)(cid:24)(cid:129)h(cid:83)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑉16𝐴−𝐵1𝐵𝐶 𝑉𝐵−𝐴𝐵𝐶 𝐵−𝐴𝐵𝐶
(cid:254) = ×4 6 (cid:83)
3 3
ℎ
(cid:164)(cid:117) = 16 =2 6(cid:144)
4 6 3
ℎ
