文档内容
课时规范练 40 基本立体图形及空间几何体的
表面积与体积
基础巩固练
1.(2024·广东广州模拟)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积
为( )
A.3 B.12√10+20
C.12√13+20 D.48
2.(2025·八省联考,6)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
√3π
A. B.π
3
C.2π D.3π
3.(2024·江苏扬州模拟)已知某圆台的体积为21π,其上、下底面圆的面积之比为1∶4且
周长之和为6π,则该圆台的高为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(2024·山东烟台模拟)已知直四棱柱的高为2,其底面四边形ABCD水平放置时的斜二
测直观图为矩形A'B'C'D',如图所示.若A'O'=O'B'=B'C'=1,则该直四棱柱的表面积为(
)
A.20+4√2 B.8+2(√2+√3)
C.20+8√2 D.8+4(√2+√3)
5.(2024·广东广州三模)已知斜三棱柱ABC-A B C 中,O为四边形ACC A 对角线的交点,
1 1 1 1 1
设四棱锥O-BCC B 的体积为V ,三棱柱ABC-A B C 的体积为V ,则V ∶V =( )
1 1 1 1 1 1 2 1 2
A.2∶3 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶6
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1
cm的水,向该杯中放入一个半径为r cm(r≥ )的实心冰球和一个半径为(r+1)cm的实心
2
钢球,待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(实心钢球与杯中水面、杯底均相切),
若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计,则实心钢球的表面积为( )
A.10π cm2 B.12π cm2
C.14π cm2 D.16π cm2
1
7.(2023·天津,8)在三棱锥P-ABC中,线段PC上的点M满足PM= PC,线段PB上的点N
3
2
满足PN= PB,则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为( )
3
1 2
A. B.
9 9
1 4
C. D.
3 9
8.(多选题)(2024·湖南长沙三模)已知一圆锥的底面半径为√3,该圆锥的母线长为2,A,B为
底面圆的一条直径上的两个端点,则下列说法正确的是( )
A.其侧面展开图是圆心角为√3π的扇形
B.该圆锥的体积为π
C.从点A经过圆锥的侧面到达点B的最短距离为2√3
D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为2
9.(多选题)(2024·新疆乌鲁木齐一模)如图,某个几何体是由棱长为40 cm的正方体截去八
个一样的四面体得到的,则( )
A.该几何体有12个顶点
B.该几何体有24条棱
C.该几何体的表面积为(4 800+800√3)cm2
D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
10.(2024·福建福州模拟)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π,36π,侧面积为64π,则该
圆台的高为 .
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.(13分)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD的直观图,如图所示.已知
A'B'=4,B'C'=2,A'D'= 5 ,且A'D'∥B'C'.
2
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,求所形成的几何体的表面积和体积.
综合提升练
12.(2024·湖南长沙模拟)《九章算术》中在推导正四棱台体积公式时,将正四棱台切割成
九部分进行求解.右图为某个正四棱台的立体切面图,若其中的4个三棱柱的体积之和为
12,4个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为( )
A.20 B.24
C.28 D.32
13.(2024·山东济南三模)在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC.若该三棱锥的最长
的棱长为9,最短的棱长为3,则该三棱锥的最大体积为( )
9√7 27√3
A. B.
2 2
C.18 D.36
14.(多选题)(2024·江苏无锡模拟)《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该
几何体是上、下底面均为扇环的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图
π
所示的曲池,AA
1
垂直于底面,AA
1
=5,底面扇环所对的圆心角为
,AD
的长度是
BC
长度的
2 ⏜
⏜
3倍,CD=2,则下列说法正确的是( )
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A. 长度为
AD
2
⏜
10π
B.曲池的体积为
3
C.曲池的表面积为20+14π
D.三棱锥A-CC D的体积为5
1
15.(2024·湖北武汉模拟)已知矩形ABCD中,AB=2√3,BC=2,以AC所在直线为旋转轴,将
矩形ABCD旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为 .
创新应用练
16.(2024·湖北三市联考)祖暅原理也称祖氏原理,内容是两个高相等的几何体,如果在等
x2 y2 √3
高处的截面积相等,则体积相等.由曲线 − =1,y=± x,y=±4围成的图形绕y轴旋转
4 3 2
一周所得旋转体的体积为V,则V= .
答案：
1.B 解析 如图,作B H⊥平面ABCD,B Q⊥BC,垂足分别为H,Q,连接HQ.
1 1
由题可知,HQ=1,B H=3,所以B Q=√32+12=√10,
1 1
1
所以表面积S=22+42+4× ×(2+4)
×√10
=20+12
√10.
2
2.A 解析 由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h=√l2-R2=√22-12=√3,∴圆锥的体
1 √3π
积V= πR2h= .
3 3
3.D 解析 设上、下底面圆的半径分别为r,R,圆台的高为h,
{ πr2 1
= , {r=1,
则由题意可得 πR2 4 解得
R=2,
2π(r+R)=6π,
1
则 πh(12+1×2+22)=21π,解得h=9.
3
4.C 解析 由A'O'=O'B'=B'C'=1,则AO=OB=1,C'O'=√O'B'2+B'C'2=√2,
所以OC=2√2,且OC⊥AB,
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四边形ABCD
=2×2√2=4√2,BC=√OC2+OB2=3,所以直棱柱的底面周长为2×(2+3)=10,所以棱柱
的侧面积S
侧面积
=10×2=20,所以棱柱的表面积S
表面积
=S
侧面积
+2S
四边形ABCD
=20+8√2.
5.B 解析 因为O为四边形ACC A 对角线的交点,所以O为CA 的中点,
1 1 1
1 1 1 1 1
所以V 1 = V = (V −V )= (V 2 - V 2 )= V 2 ,所以V 1 ∶V 2 =1∶3.
2 A 1 -BCC 1 B 1 2 ABC-A 1 B 1 C 1 A 1 -ABC 2 3 3
4 4
6.D 解析 由题意可得,实心冰球融化前后体积不变,则有π ×(√6)2
×
2+ πr3+ π(r+1)3=π
3 3
1
×(√6)2
×
2(r+1),化简可得2r3+3r2-6r+1=0,即(r-1)(2r2+5r-1)=0,当r≥ 时,2r2+5r-1>0,所以r=1,
2
所以钢球的表面积为S=4π(r+1)2=4π×4=16π(cm2).
7.B 解析 如图,将三棱锥P-AMN看作三棱锥A-PMN,即以A为顶点, PMN为底面的三棱锥,将
三棱锥P-ABC看作三棱锥A-PBC,即以A为顶点, PBC为底面的三棱锥.
△
△
1 1 2 1
因为S = PB·PC·sin∠BPC,S = PN·PM·sin∠NPM,而PN= PB,PM= PC,∠BPC=∠NPM,
PBC PMN
2 2 3 3
△ △
1 2 2
所以S △PMN = × S PBC = S PBC ,点A到底面PBC的距离和点A 到底面PMN的距离相等,设为h,
3 3 9
△ △
1
S · ℎ
故 V 三棱锥P-AMN = V 三棱锥A-PMN = 3 △PMN = 2 . 故选B.
V V 1 9
三棱锥P-ABC 三棱锥A-PBC S · ℎ
3 △PBC
8.ABD 解析 因为圆锥底面圆周长为2√3π,而圆锥侧面展开图扇形半径为2,所以侧面展开图
的圆心角为√3π,故A正确;
1
圆锥的高为 √22-(√3)2=1,因此圆锥的体积为 π×(√3)2 ×1=π,故B正确;
3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx依题意,将半圆锥的侧面展开,如图,则从点A经过圆锥的侧面到达点B的最短距离为AB=2OAsin
∠AOB √3π
=4sin ≠2√3,故C错误;
2 4
√3 π
易知过圆锥顶点作截面,截面为等腰三角形.设圆锥轴截面顶角为2θ,则tan θ= =√3,则θ= ,
1 3
2π 2π 1
则圆锥轴截面顶角为 ,设截面等腰三角形顶角为φ,则φ∈(0, ],此截面三角形的面积S= ×
3 3 2
π
22sin φ≤2,当且仅当φ= 时取等号,故D正确.故选ABD.
2
9.ABD 解析 因为该几何体的顶点是正方体各棱的中点,正方体有12条棱,所以该几何体有12
个顶点,故A正确;由题意知,该几何体在正方体的每个面上有4条棱,正方体有6个面,故该几何
体有6×4=24条棱,故B正确;该几何体的棱长为√202+202=20√2(cm),该几何体有6个面为正方
√3
形,8个面为等边三角形,所以该几何体的表面积为6 ×(20√2)2+8× ×(20√2)2=4 800+1
4
600√3(cm2),故C错误;原正方体内切球的半径为20 cm,内切球表面积为S
1
=4π×202=1 600π(cm2).
原正方体外接球的半径为20√3 cm,外接球表面积为S =4π×(20√3)2=4 800π(cm2).由题意得该
2
几何体外接球的球心为原正方体的中心,故外接球半径为20√2 cm,所以该几何体外接球的表面
积为S=4π×(20√2)2=3 200π(cm2).
因为2S=6 400π=1 600π+4 800π=S +S ,所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接
1 2
球表面积的等差中项,故D正确.故选ABD.
10.4√3 解析 由题可得,圆台的上、下底面的半径分别为2,6,设圆台的母线长为l,高为h,则该
圆台的侧面积为π×(2+6)×l=64π,解得l=8,所以h=√l2-(6-2)2=4√3.
11.解 (1)如图,梯形ABCD为原平面图形,
由题可知BC=2B'C'=4,AB=A'B'=4,AD=2A'D'=5,
(4+5)×4
所以S = =18.
梯形ABCD
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,由题可知CD=
√AB2+(AD-BC)2=√42+12=√17,所以S
圆锥侧
=π×4×√17=4√17π,S
圆柱侧
=2π×4×5=40π,S
圆柱底
=16π,所以几何体的表面积为S=S
圆锥侧
+S
圆柱侧
+S
圆柱底
=4√17π+40π+16π=56π+4√17π.
1 16π
V
圆柱
=π×42×5=80π,V
圆锥
= π×42×1= ,所以几何体的体积为V=V
圆柱
-V
圆锥
=80π-
3 3
16π 224π
= .
3 3
12.C 解析 如图,设四棱锥的底面边长为a,高为h,三棱柱的高为b,
1 1
依题意,四棱锥的体积为 a2h=1,即a2h=3,三棱柱的体积为 ahb=3,即abh=6,因此b=2a,
3 2
于是长方体的体积为b2h=4a2h=12,
所以该正四棱台的体积为12+4+12=28.
13.C 解析 因为SA⊥平面ABC,AB,BC 平面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥BC.
又AB⊥BC,所以可以将三棱锥S-ABC补为长方体,如图所示.
⊂
1
则该三棱锥最短的棱一定为SA,AB,BC中的一个,最长的棱一定为SC,该三棱锥的体积为V=
6
SA·AB·BC,且SC=9=√SA2+AB2+BC2.不妨令SA=3,则√9+AB2+BC2=9,得AB2+BC2=72,则
AB2+BC2 72 1 1
AB·BC≤ = =36,当且仅当AB=BC=6时,等号成立.则V= ×3×AB×BC≤ ×36=18.
2 2 6 2
故选C.
14.ACD 解析 设 所在圆的半径为R, 所在圆的半径为r,因为 的长度是 长度的3倍,
AD BC AD BC
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
π π 3π
R=3× r,即R=3r,所以CD=R-r=2r=2,所以r=1,R=3,所以 的长度为 ,故A正确;曲池的
AD
2 2 2
⏜
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体积为V=( πR2- πr2)×AA 1 =( π×32- π×12)×5=10π,故B错误;曲池的表面积为( πR2- π
4 4 4 4 4 4
1 1 1 1
r2)×2+( πR+ πr)×5+2×5×2=20+14π,故C正确;三棱锥A-CC 1 D的体积为 × ×2×3×5=5,故D
2 2 3 2
正确.故选ACD.
56π
15. 解析 由题可知AC= √AB2+BC2=√(2√3)2+22=4.
9
如图,以AC所在直线为旋转轴, ABC旋转一周形成两个共底面的圆锥,其底面半径为
2×2√3 △
=√3.△ADC旋转一周形成一个倒立的相同的几何体,将其体积记为V
1
,这两个几何体重
4
叠部分是以圆O为底面,A,C为顶点的两个小圆锥,其体积记为V ,其底面半径为
2
AC
2 ·BC 2×2 2√3 则所求几何体体积V=2V 1 -V 2 =2× 1 π×(√3)2 ×4- 1 ×π×( 2√3 )2×4=
= = . 3 3 3
AB 2√3 3
56π
.
9
x2 y2 √3
16.32π 解析 在同一个平面直角坐标系内作出 − =1,y=± x,y=±4的图象,如图所示.
4 3 2
由图可知,该几何体在等高处的截面为圆环.
x2 y2 √3 4 4
将y=h,分别代入
4
1−
3
1=1和y
2
=±
2
x
2
中,解得x
1
2=4+
3
h2,x
2
2=
3
h2,即圆环的外圆半径R2=4+
4ℎ 2
,内圆半径r2=
4
h2,此圆环的面积为πR2-πr2=4π为恒定值,所以根据祖暅原理可知该几何体
3 3
的体积与底面半径为2,高为8的圆柱的体积相等,所以V=4π×8=32π
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