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专题 7.1 基本立体图形
目录
题型一： 空间几何体的结构特征..................................................................................................5
题型二： 直观图的斜二测画法.......................................................................................................6
题型三： 最短路径问题...................................................................................................................7
题型四： 求几何体的表面积...........................................................................................................8
题型五： 求几何体的体积.............................................................................................................10
题型六： 球的表面积和体积.........................................................................................................12
题型七： 截面问题.........................................................................................................................13
知识点总结
知识点一、棱柱、棱锥、棱台
棱柱 棱锥 棱台
图
形
有两个面互相平行，其余各 有一个面是多边形，
定 用一个平行于棱锥底
面都是四边形，并且相邻两 其余各面都是有一个
面的平面去截棱锥，
个四边形的公共边都互相平 公共顶点的三角形，
底面和截面之间那部
行，由这些面所围成的多面 由这些面所围成的多
义 分的多面体
体 面体
结
构 上、下底面互相平行
底面互相平行且全等；侧面 底面是一个多边形；
且相似；各侧棱延长
都是平行四边形；侧棱都相 侧面都是三角形；侧
线交于一点；各侧面
等且互相平行 面有一个公共顶点
特 为梯形
征知识点二、圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱 圆锥 圆台 球
图
形
以半圆的直径
以直角三角形的一
以矩形的一边所在 所在直线为旋
定 条直角边所在的直 用平行于圆锥底面
直线为旋转轴，其 转轴，旋转一
线为旋转轴，其余 的平面去截圆锥，
余三边旋转一周形 周所形成的曲
两边旋转一周形成 底面与截面之间的
成的面所围成的旋 面叫做球面，
义 的面所围成的旋转 部分
转体 球面所围成的
体
旋转体
①母线互相平行且
结 ①母线相交于一 ①母线延长线交于
相等，并垂直于底
点； 一点；
面；
构
②轴截面是全等的 ②轴截面是全等的
②轴截面是全等的 截面是圆面
等腰三角形； 等腰梯形；
矩形；
特
③侧面展开图是扇 ③侧面展开图是扇
③侧面展开图是矩
征 形 环
形
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几
何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识点三、立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是
在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应
的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x ′ 轴 或 y ′ 轴 的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直
观图中长度为原来的一半．
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与 x轴、y轴都垂直的z
轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
知识点四、简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展
开图
侧面积 S S S
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
公式 ＝ 2π rl ＝ π rl ＝ π( r ＋ r ′) l
其中r，r′为底面半径，l为母线长.
(2)柱、锥、台、球的表面积和体积
体积(S是底面积，
几何体 表面积
h是高)
柱体(棱柱 S ＝S
表面积 侧
V＝Sh
和圆柱) ＋ 2 S
底
锥体(棱锥 S ＝S V＝Sh
表面积 侧和圆锥) ＋S
底
台体(棱台 S 表面积 ＝S 侧 ＋ V＝(S 上 ＋
和圆台) S
上
＋S
下
S
下
＋)h
球(R是
S ＝ 4π R 2 V＝πR3
表面积
半径)
知识点五、常见四棱柱及其关系
例题精讲
题型一：空间几何体的结构特征
【要点讲解】解决此类问题的基本方法：①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空
间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面
关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进
行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
【例1】下列说法正确的是
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【变式训练1】下列命题正确的是
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【变式训练2】下列说法正确的是
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
题型二：直观图的斜二测画法
【要点讲解】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x轴的线段平行性不变，
长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
【例2】水平放置的 的直观图如图所示， 是△ 中 边的中点，且 平
行于 轴，则 ， ， 对应于原 中的线段 ， ， ，对于这三条
线段，正确的判断是
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
【变式训练1】如图，边长为2的正方形 是用斜二测画法得到的四边形 的直
观图，则四边形 的面积为A． B． C． D．
【变式训练2】一个水平放置的平面图形 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等
腰直角△ ，其中 ，则平面图形 的面积为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 的等腰梯形，已
知直观图 中， ，则该平面图形的面积为
A． B．2 C． D．
题型三：最短路径问题
【例3】在一个长方体 中，已知 ， ， ，则从点 沿表面到点 的最短路程为
A． B． C． D．15
【变式训练1】如图，某圆柱体的高为1， 是该圆柱体的轴截面．已知从点 出发沿
着圆柱体的侧面到点 的路径中，最短路径的长度为 2，则该圆柱体的底面周长为
．
【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ， ，
，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬
行的最短距离．
题型四：求几何体的表面积
【要点讲解】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥
中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建
立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体
和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于
其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积
性”还可求“点到面的距离”．
【例4】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
【变式训练1】一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积
为
A． B． C． D．
【变式训练2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 biēnào
．已知在鳖臑 中， 面 ， ，则该鳖臑的表面积为
．
【变式训练3】如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱
组成的，其中 为圆台下底面圆心， ， 分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得
到圆柱上下底面圆的半径为 ， ， ，圆台下底面圆半径为 ，
则该组合体的表面积为A． B． C． D．
【变式训练4】南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用 打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的
中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点， ， ， 打印所
用原料密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
题型五：求几何体的体积
【要点讲解】求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路
是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.
【例5】圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【变式训练1】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和 ，将该三角形分别绕其两条
直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为
A．1 B． C．3 D．
【变式训练2】已知三棱柱 的体积为12，则三棱锥 的体积为
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式训练3】已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为 ．在该圆锥内有一
个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则
该正方体的棱长为
A． B．1 C． D．
【变式训练4】如图，一个三棱锥 中， ， ， 分别为棱 ， ， 上的点
且 ，则三棱锥 的体积与三棱锥 的体积之
比A． B． C． D．
【变式训练5】随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存
规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图 1是古
建筑之首的太和殿，它的重檐庑 殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面
是矩形， ， ，四边形 、 是两个全等的等腰梯形， 、
是两个全等的等腰三角形．若 ， ， ，则该几何体的体积为
A．90 B． C． D．135
【变式训练6】在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点
满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．题型六：球的表面积和体积
【要点讲解】解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相
应公式计算即可．
【例6】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
【变式训练1】正四棱锥 的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【变式训练2】在三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直， ， ，
，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【变式训练3】已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面
底面 ， 为正三角形， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【变式训练4】圆台 的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则圆台母线与底
面所成角的正切值为
A． B．1 C． D．
【变式训练5】已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，在底面 中， ， ，若球 的体积为 ，则
A．1 B． C． D．2
题型七：截面问题
【例7】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知圆锥 的底面半径为 ，轴截面的面积为 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在三棱柱 中，过 的截面与 交于点 ，与 交
于点 ， 都不与 重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为 的两部分，则
A． B． C． D．【变式训练3】如图：正方体 的棱长为2， 为 的中点，过点 作正
方体截面使其与平面 平行，则该截面的面积为
A． B． C． D．
【变式训练4】已知正方体 的棱长为2，点 为线段 的中点，若点
平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为
A． B． C． D．
