文档内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：多面体的结构特征.............................................................................................................4
知识点2：简单旋转体.........................................................................................................................5
知识点3：组合体.................................................................................................................................5
知识点4：表面积与体积计算公式.....................................................................................................6
知识点5：空间几何体的直观图.........................................................................................................8
题型一：空间几何体的结构特征........................................................................................................9
题型二：直观图..................................................................................................................................11
题型三：展开图..................................................................................................................................15
题型四：最短路径问题......................................................................................................................19
题型五：空间几何体的表面积..........................................................................................................25
题型六：空间几何体的体积..............................................................................................................28
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................35
05课本典例·高考素材........................................................................................................................39
06易错分析·答题模板........................................................................................................................42
易错点：对斜二测画法的掌握不牢..................................................................................................42考点要求 考题统计 考情分析
2024年I卷第5题，5分
（1）掌握基本空间图形及其简单组合体
2024年甲卷（理）第14题，5分
的概念和基本特征，能够解决简单的实际
2024年天津卷第9题，5分 问题；
（1）基本立体图形 2023年乙卷（理）第8题，5分 （2）多面体和球体的相关计算问题是近
（2）表面积与体积 2023年甲卷（文）第10题，5分 几年考查的重点；
2023年天津卷第8题，5分 （3）运用图形的概念描述图形的基本关
2023年II卷第14题，5分 系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑
2023年I卷第12题，5分 推理．
复习目标：
（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的
结构．
（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单
的实际问题．
（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识点1：多面体的结构特征
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做
棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得
的棱台叫做正棱台．
【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱
【答案】D
【解析】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误；
对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误；
对于C：④是棱柱，故C错误；对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确.
故选：D
知识点2：简单旋转体
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体
叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球
面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
知识点3：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
知识点4：表面积与体积计算公式
表面积公式
为直截面周长
柱体
锥体
表
面
积
台体
球体积公式
柱体
锥体 h
S
体
积
台体
球
【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图在正六棱台 中，
因为 ，
所以侧面的梯形 的高即正六棱台斜高为： ，所以梯形 的面积为： ，
所以该正六棱台的上底面积为： ，
同理下底面积为： ，
所以正六棱台的表面积为： ，
正六棱台的高为 ，
所以正六棱台的体积为： ，
故选：C
知识点5：空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 ， ，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于 轴的线段，在
直观图中画成平行于 ， ，使 （或 ），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于 轴的线段，在直观图中画成平行于 轴的线段，且长度保持
不变；在已知图形平行于 轴的线段，在直观图中画成平行于 轴，且长度变为原来的一般．可简化为
“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去 轴、 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚
线．
注：直观图和平面图形的面积比为 ．
2、平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【诊断自测】如图,直角梯形 满足 ,它是水平放置的平面图形的
直观图,则该平面图形的周长是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ,A'B'=AB=2,由 可得 ,
由 ,
可得 ,所以 ,
而 ，
所以 ，
结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形 还原成平面图形，
如图所示：
由勾股定理可得 ，
所以满足题意的平面图形的周长是 .
故选:C.
题型一：空间几何体的结构特征
【典例1-1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示；
棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误；
棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误；
正确命题有1个.
故选：B.
【典例1-2】下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B．一个棱柱至少有6个面
C．相等的角在直观图中仍然相等 D．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
【答案】D
【解析】对A，直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误；
对B，三棱柱只有五个面，故B错误；
对C，相等的角在直观图中不一定相等，因为直观图是按照一定的规则绘制的，可能会产生变形，
例如等腰直角三角形的直观图不一定是等腰直角三角形（原图形中两底角相等，直观图中不一定相等），
故C错误；
对D，棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，故D正确.
故选：D
【方法技巧】
空间几何体结构特征的判断技巧
（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线
面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】B
【解析】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平
行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
【变式1-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
【答案】D
【解析】选项A：以直角三角形的一个直角边所在直线为轴旋转一周所得的
几何体是圆锥.判断错误；
选项B：由正四棱锥定义可得以正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥. 判断错误；
选项C：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.判断错误；
选项D：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.判断正确.
故选：D
题型二：直观图
【典例2-1】如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已知 ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形 的周长为
D．四边形 的面积为
【答案】D
【解析】如图可知 ，
四边形 的周长为 ，四边形 的面积为 .
故选:D.【典例2-2】如图所示，梯形 是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ，
，则平面图形 中对角线 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由梯形 的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形 ，
如图所示，其中 ， ，
所以 .
故选：C．
【方法技巧】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系： ．
【变式2-1】由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，
如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是 .【答案】
【解析】过点 作 轴，交 轴于点 ，如图，
在′ 中， ,
， ，
由正弦定理得 ，
于是得 ,
由斜二测画法规则知，
在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是 .
故答案为： .
【变式2-2】如图，矩形 是水平放置的平面图形 的直观图，其中 ，则原图
形 的面积为 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ，又 ，所以 .
故答案为： .
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图
（图中虚线分别与 轴和 轴平行）， ， ，则 的面积为（ ）A． B． C．24 D．48
【答案】D
【解析】由直观图可得如下平面图形：
其中 ， ， ， 轴，且 ，
所以 .
故选：D
题型三：展开图
【典例3-1】如图，在四棱锥 的平面展开图中，底面 为等腰梯形， ，
， ， ， ， ，则 ．
【答案】 /
【解析】因为在平面展开图中 ， ，所以在四棱锥 中，
， ，且 平面 , ，则 平面 ．
还原四棱锥 ，在等腰梯形 中，作 ,垂足为 ，如图：
因为 ， ， ,
所以 ,即 ．
因为 ，所以 ,
，
所以在 中，由余弦定理，
得 ．
故答案为： .
【典例3-2】如图，将三棱锥 展开为平面图形，已知 ， ， ，
，则 ．
【答案】 /
【解析】由题意， ， ， ，
则 ≌ ，由勾股定理得 ，
又 ， ， ，
所以在 ，由余弦定理得，故 ．
在 中，由余弦定理得 ．
故答案为： ．
【方法技巧】
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一
定先观察立体图形的每一个面的形状．
【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱
锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线， ， ，则
PB＝ ．
【答案】
【解析】由题意可知， CEF为等边三角形，所以 ，则 ，
△
由 可知 ，
在 PCF中，由正弦定理得： ．
△
在 PCE中，由余弦定理得： ，
解△得 或 （舍去），
所以 ，
则 ， ，
在 PBE中，由余弦定理得 ，
所△以 ．
故答案为：
【变式3-2】（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴 为圆柱的轴截面
对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为
，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数 图象的一部分，
可得 ；设圆柱底面半径为 ，则 ，所以 ，
设椭圆长轴长为 ，短轴长为 ，
因为离心率为 ，得 ，则 ，
即 ，所以 ，得 ，
又由勾股定理得 ，解得 ，
故 .
故选：B.
【变式3-3】将四棱锥 沿棱展开为平面图形，如图所示．若 ， ，
， ， ， ，则在展开图中， 两点之间的距离 ．
【答案】
【解析】如图1所示，在平面展开图中，连接 ．因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ．
因为 ， ，所以 ，又 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
在 中，由余弦定得： ，
所以 ，所以 ．
如图2，在还原的四棱锥 中，因为 ， ， ，
所以 底面 ，又 底面 ，所以 ，
又 ，即 ，且 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ．
所以在平面展开图中， ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
又 ， ，所以 为正三角形， ，
由勾股定理可得 ．
故答案为： ．题型四：最短路径问题
【典例4-1】在棱长为4的正方体 中， 分别为线段 上的动点，点 为侧面
的中心，则 的周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图①，设侧面 的中心为 ，根据正方体的结构特征可得 ，
则 周长的最小值即 的最小值.
将侧面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，
将平面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，其中 ，
如图②，则 ，
故 的周长的最小值为 .
故答案为：
【典例4-2】（2024·江西九江·一模）如图，在正三棱柱 中， ， 为 的中点，
为线段 上的点.则 的最小值为
【答案】
【解析】将侧面 沿 展开，使得侧面 与侧面 在同一平面内，
如图，连接 交 于 ，则 的最小值为此时的 ，
，
的最小值为 .
故答案为： .
【方法技巧】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【变式4-1】如图，在三棱锥 中， ， ，过点 作截面
，则 周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，
沿着侧棱 把正三棱锥 展开在同一个平面内，原来的点 被分到两处 ，
则线段 的长度即为 周长的最小值.
在 中， ， ，
故 ，所以 .
故答案为： .
【变式4-2】正三棱柱 的底边长侧棱长都是2， 为 的中点， 为 的中点，则在棱柱
表面上，从 到 的最短路程是 ．【答案】
【解析】如图，三棱柱表面由点 到 的展开图有如下情况，
如图，若 过 时，此时 ，
若 过 时，与 过 一样，此时 ；
第二种情况，当 过 时， ， ， ，
若 过 与 过 一样，此时 ，
由
所以从 到 的最短路程是 .
故答案为：
【变式4-3】已知在直三棱柱 中，底面为直角三角形， ， ，
，P是 上一动点，则 的最小值为 ．【答案】
【解析】由题意知， 在几何体内部，但在面 内，
把面 沿 展开与 在一个平面上如图，连接 ，
则 的长度即为 的最小值，
因为在直三棱柱 中， 平面 ，
而 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
又 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，所以 ，即 ，
因为 ，易知 ，所以
所以 ，
而 ， ，
所以在 中， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
【变式4-4】如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， ， 分别为线段
和棱 上的动点，则 的最小值为 ．【答案】
【解析】设 是 的中点， ，
所以 ，则 .
对任一点 ， 的最小值是 到直线 的距离，
过 作 ，交 于 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ，
由于 ，所以 平面A B C D ， 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则 ，易得 .
， ，
，
所以 ，
当 三点共线，且 是 的中点， 是 与 的交点，
此时 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
【变式4-5】（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，且.若 ，点 为棱 的中点，点 在 上，则线段 的长度和的最小值为
.
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 、 、 、 ，
因为点 为棱 的中点，所以 ，又 且 ，
所以 为平行四边形，所以 ，
所以 ，即 、 、 、 四点共面，连接 ， ，
则 ， ，
因为底面 为菱形，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
将 绕 翻折，使得平面 与平面 共面，连接 交 于点 ，
则 ，
又 ，
在 中 ，
即 ，
所以 ，
即线段 、 的长度和的最小值为 .故答案为：
题型五：空间几何体的表面积
【典例5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正三棱台 的上底面积为 ，下底面积为 ，
高为2，则该三棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】A
【解析】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为 和 ，
设 在底面 内的射影为 ，作 于 ，
平面 ， 平面 ，则有 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
由 ， ， ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
故三棱台的侧面积为 ，表面积为 .
故选：A.
【典例5-2】（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径
的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ．
【答案】
【解析】设上底面圆的半径为 ，则下底面圆的半径是 ，故轴截面周长为 ，解得 ，
所以上、下底面圆的面积分别为 ，圆台侧面积 ，
所以圆台的表面积为
故答案为：
【方法技巧】
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
【变式5-1】（2024·辽宁大连·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时
代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，
圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积(单位： )是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆锥的母线长为 ，
所以这个陀螺的表面积是 .
故选：C.
【变式5-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）正四棱台 中，上底面边长为2，下底面边长为
4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解析】如图：
取棱的中点，作截面 ，则 、 为正四棱台的斜高.在等腰梯形 中，易知 ， ， ，所以 .
所以四棱台的侧面积为： .
故选：C
【变式5-3】（2024·广东江门·一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相
同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表
面积是 cm2.
【答案】 14
【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，
再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是 ，那么石凳的表面积是
.
故答案为：14， .
题型六：空间几何体的体积
【典例6-1】（2024·福建龙岩·三模）已知球的体积为 ，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面
积相等，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球的半径为 ，则球体积 ，解得 ，
所以球的表面面积 ，
设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为 ，
则 ，即 ，解得 ，
因此该圆锥的高 ，可得圆锥的体积 ．
故选：B．
【典例6-2】（2024·山东·模拟预测）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺
术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面
下底为10cm，上底为6cm，面积为 ，则该茶壶的容积约为 L（结果精确到0.1，参考数据： ；
）．
【答案】 /
【解析】圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为 ，则 ，解得 ，
所以圆台型容器的容积 .
故答案为：
【方法技巧】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则
割补法
的几何体
等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
【变式6-1】如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的
四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为
3，则该几何体体积为 .
【答案】40
【解析】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取
四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为.
故答案为：40.
【变式6-2】（2024·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该
几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形 ， ，
均为等腰梯形， ， ， ， ， 到平面 的距离为5， 与
间的距离为10，则这个羡除的体积 ．
【答案】200
【解析】
连接
.
故答案为：200.
【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面棱长分别为1和2，侧棱长为1，则该正
四棱台的体积为 .
【答案】 /
【解析】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：为正四棱台， ，
连接 ， 得 ， ，
过 作 ，过 作 ，
所以 ， ，
在直角三角形 中， ，
所以正四棱台的高 ，正四棱台上、下底面积为 和 ，
所以体积
故答案为： .
【变式6-4】（2024·山东菏泽·二模）已知在棱长为2的正方体 中，挖去一个以上下底面
各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体
积为 ．
【答案】
【解析】如图：
，
可知四棱锥 为正四棱锥，四边形 为边长为2的正方形，棱锥的高为1，
可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，
四棱柱 的底面 是边长为 的正方形，
则 ，
同理可得 ，
，
则挖去部分的体积为 ，
可得原正方体剩下部分的体积为 ．
故答案为： .
【变式6-5】（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直
于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于
截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几
何体.如图1，一个球面的半径为 ，球冠的高是 ，球冠的表面积公式是 ，与之对应的球缺的体积
公式是 .如图2，已知 是以 为直径的圆上的两点，
，则扇形 绕直线 旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体
积为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，设圆的半径为 ，
又 ，解得 （负值舍去），
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
则 ， ，所以 ，同理可得 ， ，
将扇形 绕直线 旋转一周形成的几何体为一个半径 的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖
去两个圆锥，
其中球缺的高 ，圆锥的高 ，底面半径 ，
则其中一个球冠的表面积 ，球的表面积 ，
圆锥的侧面积 ，
所以几何体的表面积 ，
又其中一个球缺的体积 ，
圆锥的体积 ，球的体积 ，
所以几何体的体积 .
故答案为： ；
【变式6-6】已知正三棱柱 的棱长均为 分别是棱 的中点，则几何体
的体积为 .
【答案】 /
【解析】 ,, 为三棱台， ,
.
故答案为： .1．（2024年天津高考数学真题）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并
已知 ．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用一个完全相同的五面体 （顶点与五面体 一一对应）与该五面体相嵌，使
得 ； ; 重合，
因为 ，且两两之间距离为1． ，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为 ，
.
故选：C.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为 ，则圆锥的母线长为 ，而它们的侧面积相等，所以 即 ，
故 ，故圆锥的体积为 .
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】取 中点 ，连接 ，如图，
是边长为2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ，
平面 ，
又 ， ，
故 ，即 ，
所以 ，
故选：A
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，
故 ，则 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，则，
不妨记 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，则
②，
两式相加得 ，故 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆
锥的母线， ，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ，而 ，取AB中点 ，连接 ，有
，如图，， ，由 的面积为 ，得 ，
解得 ，于是 ，
所以圆锥的体积 .
故选：B
1．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.
（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；
（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
【解析】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①.
（2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②.
2．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形
ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
【解析】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形，
即这个八面体的表面积是 .
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA =8，若侧面AA B B水平放置时，液面恰好过AC，
1 1 1
BC，AC ，B C 的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
1 1 1 1【解析】设三棱锥的体积为 ，按侧面 水平放置时液面以上部分的体积为 ，故水的体积为 ，
设按底面 放置时液面的高为 ，则 ，故 ．
4．如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一
个圆柱，
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
【解析】（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为 ，
因为过PO的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
可得 ， ，且圆柱母线长 ，圆锥母线长 ，
所以圆柱的表面积为：
（2）剩下几何体的体积 ．
5．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（可用计算工具，尺寸如图，
单位：cm，π取3.14，结果取整数）【解析】由该奖杯的三视图可知，奖杯的上部是直径为4cm的球；中部是一个四棱柱，其中上、下底面都
是边长分别为8m、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm、8cm的矩形，另两个侧面是
边长分别为20cm、4cm的矩形；下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别为10cm、8cm的矩形，下底
面是边长分别为20m、16cm的矩形，四棱台的高为2cm
三视图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是棱柱，上部是球，
这个奖杯的体积：
，
；
这个奖杯的表面积：（其中奖杯底座的侧面上的斜高等于 和 ．
因此它的表面积和体积分别约为 .易错点：对斜二测画法的掌握不牢
易错分析：在用斜二测画法画直观图时，角度、距离发生改变，故解此类问题要先画出图形，再根据
图形求解.
【易错题1】如图，矩形 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中 ，
，则原图形周长是 ．
【答案】
【解析】如图所示，
在直观图中，设 与 交于点 ，则 ， ， ，
在原图形中， ， ， ， ，
所以原图形的周长是 ．
故答案为： ．
【易错题2】若水平放置的四边形 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形 为等
腰梯形， ，则原四边形 的面积为 ．
【答案】
【解析】在直观图中，四边形 为等腰梯形， ，而 ，则 ，由斜二测画法得原四边形 是直角梯形，
，如图．
所以四边形 的面积为 ．
故答案为：
