文档内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：空间几何体的结构特征........................................................................................................2
题型二：直观图....................................................................................................................................2
题型三：展开图....................................................................................................................................3
题型四：最短路径问题........................................................................................................................4
题型五：空间几何体的表面积............................................................................................................5
题型六：空间几何体的体积................................................................................................................6
02 重难创新练......................................................................................................................................7
03 真题实战练....................................................................................................................................11题型一：空间几何体的结构特征
1．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
2．有下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．底面是矩形的平行六面体是长方体
B．棱长相等的直平行六面体是正方体
C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体
3．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆台的所有母线延长不一定交于一点
D．一个多面体至少有3个面
题型二：直观图
4．水平放置的 的斜二测直观图是如图中的 ，已知 ， ，则 边的实际长度
是 .
5．如图， 是水平放置的 的斜二测直观图，若 ， ，则 的面积为
.6．一水平放置的平面四边形 的直观图 如图所示，其中 ， 轴，
轴， 轴，则四边形 的面积为（ ）
A．18 B． C． D．12
7．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图如图所示，其中 是 的
中点，且 轴， 轴， ，那么 （ ）
A． B．2 C． D．4
题型三：展开图
8．（2024·山西·模拟预测）将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为 ，外弧长为 ，外弧半径
与内弧半径之差为 ，若该圆台的体积为 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．某圆锥的侧面积为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧
面展开图中， 为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．11．某同学将一张圆心角为 的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知
，则制成的简易笔筒的高为 ．
题型四：最短路径问题
12．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中 ， ，木工师傅打
算过点 将木料切成两部分，则截面 周长的最小值为 .
13．在正方体 中， 为棱 的中点， 分别为 上的动点，则
的最小值为 ．
14．如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径.一只昆虫从点 出发，沿
着圆柱的侧面爬行到点 ，昆虫爬行的最短路程是 .15．如图，圆柱形开口容器 下表面密封 ，其轴截面 是边长为 的正方形.现有一只蚂蚁从外壁
处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 中点 处，则它所需经过的最短路程为
.
题型五：空间几何体的表面积
16．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，
上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知 分别是上、下底面圆的圆心，
，底面圆的半径为 ，则该陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·陕西商洛·模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比
克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都
会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把
魔方的中间一层转动了 ，则该魔方的表面积增加了 .18．（2024·山东济南·二模）将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两
个圆锥的侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 .若 ，则 .
题型六：空间几何体的体积
19．（2024·高三·广东·开学考试）高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．
高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木
混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底
边长 ，下底边长 ，侧棱长 ，则此四棱台的体积为 ．
20．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其
余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边
形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积
为 ．
21．（2024·浙江金华·模拟预测）已知梯形 满足 且 ，其中 ，
将梯形 绕边 旋转一周，所得到几何体的体积为 ．
22．如图 中， ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，
半圆与AC、AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的
体积为 ．23．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在几何体 中， ，梯形 和梯形
为等腰梯形， ，若几何体 的体积为 ，则
．
1．（2024·河北·模拟预测）某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四边形
内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ的等腰三角形，圆锥的底面半径为 ，圆锥内有一个
内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西·模拟预测）某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，
该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为 ，则该器皿的高为（ ）
A．5cm B．12cm C．15cm D．20cm
5．（2024·河南驻马店·二模）已知某正六棱柱的体积为 ，其外接球体积为 ，若该六棱柱的高为
整数，则其表面积为（ ）A． B． C． D．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是 和 ，则该圆
台的体积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面， ，E，F为上底面圆
周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁
下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与
正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
3
9．（多选题）已知圆锥 的底面半径r= ，母线长 ， ， 是两条母线， 是 的中点，则
2
（ ）
A．圆锥 的体积为B．圆锥 的侧面展开图的圆心角为
C．当 为轴截面时，圆锥表面上点 到点 的最短距离为
D． 面积的最大值为2
A B C D
10．（多选题）如图，四棱台 的侧棱长均相等，四边形 和四边形 都是矩形，
1 1 1 1
， ， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为1344
B．该四棱台的侧面积为
C．该四棱台外接球的表面积为
D．若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为
11．（多选题）（2024·高三·河南·开学考试）如图，球 被一个距离球心 的平面截成了两个部分，
这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得
的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为 ，球缺的体积公式为 ，其中 为球的
半径， 为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为 ，两个球缺的体积分别为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则两个球缺的底面面积均为
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
12．（2024·贵州贵阳·二模）在一个棱长为 的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使
得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为 .
13．（2024·陕西铜川·三模）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整
个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最
大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木
楔子的直观图，其中四边形 是边长为2的正方形，且 均为正三角形 ，
则该木楔子的外接球的表面积为 .
14．（2024·吉林·模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全
等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面
体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切
球体积的比值为 .
15．（2024·陕西渭南·二模）已知三棱锥 外接球直径为SC，球的表面积为 ，且
，则三棱锥 的体积为 .1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
2．（2023年天津高考数学真题）在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ，
，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年新高考天津数学高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫
角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直
三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若 , ,则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．27 D．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方
形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均
在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应
水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升
到 时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
10．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）
的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
11．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆
台的母线长分别为 , ，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
13．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底
面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在正四棱台 中， ，则
该棱台的体积为 ．
15．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
16．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ， 的中点分别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
17．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包
装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
