文档内容
专题 18 立体几何初步（Ⅰ）（六大题型+模拟精练）
目录：
01 概念、截面、展开图
02 直观图
03 表面积和体积
04 实际应用、传统文化等
05 立体几何初步的计算综合辨析
06 多面体的切接问题
一、单选题
01 概念、截面、展开图
1．（2024高三·全国·专题练习）有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转
轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定
相等；④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
【考查意图】空间几何体的结构特征．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知在正方体 中， ， ， 分别是 ， ，
的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.【详解】分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 ，
在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
， ， ，
六边形 是过 ， ， 这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D
3．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知正四面体 的棱长为 ， 为 上一点，且
，则截面 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以在正三角形 中，由余弦定理可知：
因为 和 都是正三角形，
所以 ,
所以 ，所以 ，
所以 是等腰三角形，取 中点 ，则 ，
所以 ，.
故选:D.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥的侧面积是 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的内切
球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画出图形,设圆锥底面圆的半径为 ,高为 ,母线长为 ,并由题意联立方程组求出；再由特殊的
直角三角形的性质解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】如图所示圆锥和侧面展开图.
设圆锥底面圆的半径为 ,高为 ,母线长为 ,由题意知： ,
两式相除解得 , ；
所以圆锥的顶角为 ,轴截面为等边三角形,圆锥的高 ,
设圆锥的内切圆半径为 , 中, ,即 ,解得 .
故选:B.
5．（2024·辽宁·模拟预测）圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球 表面与该圆锥侧面
交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作圆锥 的轴截面 ，设轴截面 与球 交点为 为 中点，则球 表面与该
圆锥侧面交线即为以 为半径的圆，利用相似和勾股定理求出 长即可.【详解】根据题意，以圆锥的高为直径的球 半径为 ，且与圆锥底面相切于底面圆心 ，
作圆锥 的轴截面 ，设轴截面 与球 交点为 为 中点，
则球 表面与该圆锥侧面交线即为以 为半径的圆，
因为 在圆上，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以由 解得 ，
所以 ，
所以由等面积可得 ，解得 ，
所以交线长为 ，
故选：D
6．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切
球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，由题意知： ，
两式相除解得 ， ；
所以圆锥的顶角为 ，轴截面为等边三角形，圆锥的高 ，设圆锥的内切圆半径为 ， ，解得 .
故选：D.
7．（2024·广东汕头·一模）已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆心，母线 与 互相垂直， 的面积
为 ， 与圆锥底面所成的角为 ，则（ ）
A．圆锥的高为
B．圆锥的体积为
C．圆锥侧面展开图的圆心角为
D．二面角 的大小为
【答案】D
【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥 的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体
积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 与底面垂直， 为底面圆的一条半径，则 ，
所以， 与圆锥底面所成的角为 ，
又因为 ，所以， 的面积为 ，解得 ，
所以，该圆锥的高为 ，A错；
对于B选项，该圆锥的底面半径为 ，
故该圆锥的体积为 ，B错；
对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为 ，
底面圆周长为 ，则 ，C错；
对于D选项，取 的中点 ，连接 、 ，因为 ， 为 的中点，则 ，由垂径定理可得 ，
所以，二面角 的平面角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，
则 ，所以， ，
所以， ，
因为 ，故 ，所以，二面角 的大小为 ，D对.
故选：D.
8．（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆 与圆 为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为
4，若 ， ，则两截面圆的圆心距 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定理
求解即可.
【详解】设圆 与圆 公共弦为 ，其中点为 ，
则 ， ，
所以 ， ，
所以在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以在 中， ，所以 .
故选：D.9．（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 外接球的体积为 ， 、 、 分别为棱
的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，得到正方体 外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理计
算出平面 截球的截面圆的半径，即可得到截面面积.
【详解】
设正方体 外接球的半径为 ，棱长为 ，
因为正方体 外接球的体积为 ，
所以 ，则 ，
由 ，得 ，
设球心 到平面 的距离为 ，平面 截球的截面圆的半径为 ，
设 到平面 的距离为 ,
因为 、 、 分别为棱 的中点，
所以 是边长为 的正三角形,
由 ,得 ,
则 ,
解得 ,又 ,所以 到平面 的距离为 ，
则 ，
，
所以平面 截球的截面面积为， .
故选：A.
10．（2024·河南新乡·三模）已知球 的半径为5，点 到球心 的距离为3，则过点 的平面 被球
所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.
【详解】由点 到球心 的距离为3，得球心 到过点 的平面 距离的最大值为3，
因此过点 的平面 被球 所截的截面小圆半径最小值为 ，
所以过点 的平面 被球 所截的截面面积的最小值是 .
故选：C
02 直观图
11．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图如图所示，其中 是 的
中点，且 轴， 轴， ，那么 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.
【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中 ， ， ，
原平面图形的面积为 .故选：D．
12．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）用斜二测画法画三角形 的直观图 ，如图所示，已知
， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意，借助于等腰直角三角形 ，求得 ，再根据 在 轴上即可求得其长.
【详解】在斜坐标系 中，因 ， ，且 ，则 ，
因 在 轴上，故 在 轴上，且 .
故选：B.
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图（图中
虚线分别与 轴和 轴平行）， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．24 D．48
【答案】D
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中 ， ， ， 轴，且 ，
所以 .
故选：D14．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已
知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形 的周长为
D．四边形 的面积为
【答案】D
【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.
【详解】如图可知 ，
四边形 的周长为 ，四边形 的面积为 .
故选:D.
03 表面积和体积
15．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆
锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为 ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 即 ，
故 ，故圆锥的体积为 .
故选：B.
16．（2024·河北·模拟预测）过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部分圆锥
与下部分圆台体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系．
【详解】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为 ,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为
h，圆台的体积为 ，
所以 ， ，
可得 .
故选：D.
17．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）若三棱锥 的所有顶点都在半径为2的球 的球面上，
为球 的直径，且 ，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由勾股定理逆定理得到 ，故 ，要想该三棱锥的体积最大，则
平面 ，从而求出最大体积.
⊥ ⊥
【详解】 的中点为 ，连接 ，则 ，
因为 ，故 ，
故 ， ，
要想该⊥三棱锥的体积最大，则 平面 ，
⊥
故最大体积故选：B
18．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知圆台的体积为 ，母线长为3，高为 ，则圆台的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下
底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.
【详解】
设上底面半径为 ，下底面半径为 ，
如图，根据题意 ，
在 中， ，即 ，
又因为圆台的体积为 ，所以 ，
即
由①②方程可得： ，
所以圆台的侧面积为 .
故选：D.
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是 ，且
上、下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用
勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积．
【详解】如图：上，下底面圆心分别为 ，外接球球心为 ，
连接 如图所示：
因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为 ，即 ，
又母线与轴所在直线的夹角是 ,故 ，结合 ,
则有 ，故
记圆台外接球半径为 ，
在直角 和直角 中由勾股定理知： ，
则有 ，解可得 ，
故圆台外接球的半径 ，
则该圆台外接球的表面积 ．
故选：C．
20．（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱 中，E，F分别为AB，AC的中点，平面
将三棱柱分成体积为 ， 两部分，则 （ ）
A．1 1 B．4 3 C．6 5 D．7 5
【答案】D
∶ ∶ ∶ ∶
【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案.
【详解】设三棱柱 的高为h，上下底面面积均为S，体积为V，
则 ，
因为E，F分别为AB，AC的中点，故 ,
结合题意可知几何体 为棱台，则 ，
故 ,故 ，
故选：D
21．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体
（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱
长为 ， 为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小时，三棱锥 的体积
为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意确定三棱锥 的外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥 的
高，利用体积公式，即可求得答案.
【详解】如图，在正四面体 中，假设 底面 ，则点 为 外心.
在 上取一点 ，满足 ，则 ，
则 为三棱锥 的外接球球心，
当 取得最小值时， 最小，三棱锥 的外接球体积最小，
此时点 与点 重合.作 ，垂足为 ， ，
为三棱锥 的高.
由正四面体 的棱长为 ，知 ， ，
，.
设 ，则 ，故 ， .
由 ，得 ，
解得 . ，
.故选：A.
04 实际应用、传统文化等
22．（2024高三·全国·专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历
史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷
幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧
、 所在圆的半径分别是3和6，且 ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
∠
A．高为2 B．母线长为3
C．表面积为14π D．体积为 π
【答案】D
【详解】
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝ ×3，即r＝1；2πR＝ ×6，即R＝2.又圆台的母线
长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝ ＝2 ，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋
π×12 ＋π×22 ＝14π，故C正确；圆台的体积V＝ π×2 ×(22 ＋12 ＋2×1)＝ π，故D错误．故选D.
23．（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发
展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为
，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为 ，下底直径约为
，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆台体积公式求解.
【详解】根据题意， .
故选：B
24．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载
人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国
人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以
看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合轴截面分析可知 ， ，再利用圆柱以及圆台的体积公
式运算求解.
【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，
取轴截面，如图所示， 分别为 的中点，
可知： ，且 ，
∥ ∥
可得 ，即 ，
所以该容器中液体的体积为 .
故选：A.
二、多选题
05 立体几何初步的计算综合辨析
25．（2024·黑龙江·模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
【答案】ABD
【分析】圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，再利用即可得到ABD，圆柱内接圆锥半径圆柱底面半径，高
等于圆柱的高即可得到C.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的高为 ，所以内切球的半径为 ，A正确；
圆柱的表面积为 ，内切球的表面积为 ，所以圆柱内切球的表面积与圆柱
表面积比为 ，B正确；
圆柱内接圆锥的表面积为 ，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比
为 错误；
圆柱内切球的体积 ，圆柱的体积 ，所以 ，D正确.
故选： .
26．（2024·河北衡水·三模）已知在正方体 中， ，点 为 的中点，点 为正
方形 内一点（包含边界），且 平面 ，球 为正方体 的内切球，下列
说法正确的是（ ）
A．球 的体积为 B．点 的轨迹长度为
C．异面直线 与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥 外接球与球
内切
【答案】ACD
【分析】根据正方体内切球的性质判断A；利用面面平行确定点 的轨迹，即可求得其长度，判断B；根
据异面直线所成角的概念，确定该角取到最值时的位置，即可判断C；根据圆内切的判断条件可判断D.
【详解】由题意知球 的半径为1，故其体积为 ，故A选项正确；
取 的中点为 ，
连结 ，易知 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，连接MN， ，即四边形 为平行四边形，
则 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又因为 ， 平面 ，
故平面 平面 ，平面 平面 ，结合 平面 ，
故点 的轨迹为线段 ，故B选项错误；
因为 ，故异面直线 与BP所成角等于 或其补角，
当P位于N点时，得 取得最小， ;
当P位于 点时， 取得最大， ，故 选项正确；
由正方体几何性质易知 ，
故BM为三棱锥 外接球的直径，取 为BM的中点，
即 为三棱锥 外接球的球心，由题意知 为 的中点，
故 ，
因为球 的半径为 ，球 的半径为 ，
故三棱锥 外接球与球 内切，D正确
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：解答此类题目的关键是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定
理以及性质，准确判断，即可求解.
27．（2024·广西南宁·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
，点C在底面圆周上，且二面角 的大小为45°，则（ ）
A． 的面积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．该圆锥的体积为π
【答案】BD【分析】根据二面角的定义与圆锥的几何性质逐项判断即可.
【详解】如图，取 中点 ，则 ，
由二面角定义可知， .
对于A，在 中， ，所以 ，
所以 ， ，故C错误；
所以 ，故A错误；
，故B正确；
，故D正确.
故选：BD.
28．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器 （上底面 无盖），其四
条侧棱均相等，底面为矩形， ，容器的深度为 ，容器壁的厚度忽略不
计，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为 的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点 出发沿着容器外壁爬到点 ，则其爬行的最短路程为
【答案】BD
【分析】由勾股定理即可判断A，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B，做出轴截面图形代入计算，
即可判断C，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D
【详解】对于A，由题意可得 ，故A错误；
对于B，梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
故该四棱台的侧面积为 ，故B正确；
对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，
球恰好与面 、面 、面 均相切，
过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，
较长的底边上的底角的正切值为 ，则 ，
由于 互补，故 ，
则 ，所以 （负值舍），从而球的半径为 ，
所以将半径为 的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误；
对于D，将平面 与平面 展开至同一平面，
如图（2），则 ，
将平面 与平面 展开至同一平面，如图（3），
则 ，所以最短路程为 ，故D正确．
故选：BD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体
侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.
三、填空题
06 多面体的切接问题
29．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体 棱长为2，若点 是线段 的中点，则三
棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取 中点 可证点 为三棱锥 的外接球的球心，从而得解.
【详解】根据题意，取 中点 中点 ，连接 ，
则 ，结合正方体结构特征易得 ，所以 ，
又 ，所以点 为三棱锥 的外接球的球心，且半径 ，
所以其表面积为 .
故答案为：
30．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥 的底面是矩形，平面 平面 ，
， ， .若四棱锥 内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则
，该内切球的表面积为 .
【答案】 7
【分析】根据内切球在等边三角形 内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利
用等体积法，即可求解 .
【详解】由于平面 平面 ， ， ， . 为直角三角形，底面 为矩
形，
所以四棱锥 的内切球在 的“正投影”是 的内切圆，
设 的内切圆半径为 ，
则 ，解得 ，
所以内切球的半径为1，其表面积为 ．
设 ，则平面 平面 ，且交线为 , 平面 ,
所以 平面 ，同理 平面 ， 平面 ,故 ,故
,
由余弦定理可得 ，
进而可得 ，
由等体积法可得
化简可得 ，故 （ 舍去），
故答案为：7，
31．（2024·湖南长沙·三模）在直三棱柱 中， 是棱 上
一点，平面 将直三棱柱 分成体积相等的两部分.若 四点均在球 的球面上，
则球 的体积为 .
【答案】
【分析】由平面 将直三棱柱 分成体积相等的两部分，确定 点为 的中点，再确定
的外心以及三棱锥 的高 ，最后求三棱锥 的外接圆半径即可.
【详解】如图，连接 .
因为 ，
且
所以 ，
所以 ，所以 ，
因此 ，即 为 的中点.
取 的中点 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 ，
所以 ，
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ,
所以 平面 ，
则 平面 .
因为 是 的外心，
且 的外接圆半径 ，
三棱锥 的高 .
设球 的半径为 ，则 ，
则 5，
所以球 的体积 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.
（1）通过平面将直三棱柱分成体积相等的两部分可确定点 的位置；
（2）求三棱锥 的外接球半径 ，先确定底面三角形 的外接圆半径 及高 ，再通过即可求解.
32．（2024·浙江金华·模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体
存在棱切球，且 ，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
【答案】 /
【分析】先根据切线长公式求得发现该四面体的对棱长度之和相等得 ，进而得该四面体是
一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥，再结合体积公式与棱切球的知识求解即可.
【详解】设棱切球的球心为 ，棱切球的半径为 ，
该棱切球 与棱 的切点分别为 ，
则 ，
因为 ，
所以，根据切线长公式得 ，
同理可得 ，
设 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， 且 为 中点，
所以，该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥.
设 在底面 的投影为 ，则 是底面三角形 的中心，
则 ， ，
所以该四面体的高 ，
因为底面三角形的面积为 ，
所以，四面体的体积为 .
另一方面，由正三棱锥性质可知，棱切球球心 在线段 上，
因为 ，所以 ，即 ，解得： ， ，
因为 ， ，
所以 ,整理得： ，解得： .
因为 ， ，解得
所以 ， 舍去，即棱切球的半径为 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用切线长公式求得 得到该四面体是一个底面
边长为6，侧棱长为8的正三棱锥；此外，求解棱切球半径时，一方面通过三角形相似求得对于线段长
度，建立方程求解，另一方面，还需要注意棱切球的半径范围.
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）某圆锥高为 ，母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出该圆锥底面圆的半径为r，再利用勾股定理求出母线长，代入表面积公式求解即可.
【详解】由圆锥高为 ，母线与底面所成的角为 ，得圆锥底面圆半径 ，
母线 ，所以圆锥的表面积 .
故选：A
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）下图是一个圆台的侧面展开图，已知 ， 且 ，
则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作
答.
【详解】设圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为 ，母线长为 ，高为 ，
依题意 ， ，
解得 ， ，
而圆台的母线长 ，
因此圆台的高 ，
所以圆台的体积 .
故选：D.
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是 ，且上、
下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用
勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积．
【详解】如图：上，下底面圆心分别为 ，外接球球心为 ，
连接 如图所示：
因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为 ，即 ，
又母线与轴所在直线的夹角是 ,故 ，结合 ,
则有 ，故
记圆台外接球半径为 ，
在直角 和直角 中由勾股定理知： ，则有 ，解可得 ，
故圆台外接球的半径 ，
则该圆台外接球的表面积 ．
故选：C．
4．（2024·福建·模拟预测）一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆
锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用圆锥的特征即表面积公式、圆的面积公式计算即可.
【详解】
由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，
且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面；
圆台的下底面即原圆锥的底面.
不妨设圆台上底面半径为 ，圆台下底面半径为 ，
小圆锥母线长为 ，原圆锥母线长为 ，
由轴截面为正三角形知， ，
则小圆锥底面积为 ，底面周长为 ，侧面积为 ，
易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积
则圆台侧面积为 ，下底面积为
由于两部分表面积相等，则 ，
因为 ，则 ，
所以截面面积为 .
故选:A.
5．（2024·广东·模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大
底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台 ，已知该圆台的上､下底面积分别为 和 ，高超过 ，该
圆台上､下底面圆周上的各个点均在球 的表面上，且球 的表面积为 ，则该圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出图形，首先根据球的表面积公式计算得球的半径为 ，通过勾股定理得 的值，
进而得圆台的高，结合圆台的体积公式即可得解.
【详解】
设球 的半径为 ，上､下底面分别为圆 （这里上底面是指大的那个底面），
依题意， ，解得 ，
因为 ，
则 ，同理可得， ，因为圆台的高超过 ，则该圆台的高为 ，该圆台
的体积为 .
故选：B.
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体 的体积为 是棱 的中点，平面
将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求平面 与 交点 的位置，再设长方体的长、宽、高分别为 ，最
后利用三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】取 的中点 ，连接 ， 易知 ，所以平面 与 交点为 .
设长方体的长、宽、高分别为 ，则 .
平面 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为
.
故选：A.
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， 为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为 ，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为
C． 的面积为 D．
【答案】D
【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设 是 的中
点，连接 ，则 是二面角 的平面角，求出 判断D，再求出 的面积判断C.
【详解】依题意， ， ，所以 ，
对于A，圆锥的侧面积为 ，故A错误；
对于B，圆锥的体积为 ，故B错误；
对于D，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
故 ，则 ，故D正确
对于C， ，所以 ，故C错误；故选：D
8．（2024·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱 的体积为4，AC BC， ，D
为 的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱 ⊥ 所得的截面面积
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过 作 ，交 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，可得平面BDE截直三
棱柱 所得的截面为梯形 ，根据边长关系求出梯形 的面积即可得到答案.
【详解】直三棱柱 的体积为4，AC BC， ，所以
⊥
，解得 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
设 ，
①当 时，平面BDE截直三棱柱 所得的截面为正方形 ，面积为 ，
②当 时，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且
则 ， ，即平面BDE截直三棱柱 所得的截面为梯形
在 中， ， ， ，则 ，
在 中， ， ， ，则 ，
在 中， ， ， ，则 ，则
过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，所得平面图形如下;
则 ， ， ， ，
设 ，则
所以 ， ，因为 ，
化简可得： ，则 ，
所以 ，
因为当 ，所以 ，则 ，
综上，平面BDE截直三棱柱 所得的截面面积的范围为
故选：A
【点睛】方法点睛：立体几何中找截面的步骤一般分为三步：
第一步，找截点：
方式1：延长截小面上一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点；
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体棱于截点；
第二步，连截线：将各截点收尾相连，围成截面；
第三步，围截面：连接同一平面内的两个截点，形成截线.
二、多选题
9．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
【答案】ABC
【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥
的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断.
【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体
叫棱锥，
而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误，
对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯
形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，
对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形
的中心，所以C错误，
对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形
为
底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确，
故选：ABC
10．（2023·海南海口·二模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，
并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球
心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体 的高
为 ，则（ ）
A． B． 外接圆的半径为2
C．四面体 的体积为 D．该勒洛四面体的表面积为
【答案】BC
【分析】根据勒洛四面体内的四面体为正四面体，根据其几何性质，由其高求得其棱长、外接球半径以及体积，结合勒洛四面体表面积的性质，可得答案.
【详解】由已知可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，根据题意画出正四面体 ，如图所示，
设正四面体的棱长为 ，所以正四面体底面外接圆的半径 ，
则正四面体的高 ，解得 ，则 ，故A错误；
由 ，则正四面体底面外接圆的半径 ，故B正确；
所以正四面体的体积 ，故C正确；
又因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为 的一个球的表面积，
而半径为 的一个球的表面积为 ．
所以该勒洛四面体的表面积小于 ．故D项错误．
故选：BC.
11．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，在棱长为2正方体 中， 分别为
的中点， 为侧面 内的动点（不包含边界），且 //平面 ， 是三角
形 内一动点（包含边界），且直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角，则下列
说法正确的是（ ）
A．存在点 使得
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 体积的最大值为
D．过点 作平面 ，使 ，则平面 截正方体所得的截面周长为【答案】BCD
【分析】由面面平行的性质可判断A；取 的中点 ，连接 ，可证 即为 的轨迹，计算
可判断B；直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角，当 绕 转动时，直线
与直线 的夹角不变，据此计算可求体积的最大值判断C；取 的中点 ，取 的中点 ，连接
，可得平面 即为平面 ，计算可判断D.
【详解】对于A：过 和 只能作唯一平面 ，又平面 平面 ，
所以 ，又 为侧面 内的动点（不包含边界），
故不存在点 使得 ，故A错误；
对于B：取 的中点 ，连接 ，可证 ，又 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，易证 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，当 平面 时， 平面 ，
此时 ，又 ，故点 的轨迹长度为 ，故B正确；
因为 是 的中点，故直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角，当 绕 转
动时，直线 与直线 的夹角不变，
故 为 在转动过程中与平面 的交点，
设 到平面 的距离为 ,三棱锥 体积的为 ，
显然 越大，体积越大， 绕 转动时， 到平面 的距离最大时 到平面 的距离最大，
此时 转动与 （ 为 的中点）相交时的点 时，此时 到平面 距离最大，如图所示，
此时 ，可求得 ，从而可得 ，所以 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ，故C正确；
对于D： 在平面 的射影为 ， 在平面 的射影为 ，
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，由平面几何知识易证 ，
从而可得 ， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以平面 即为平面 ，
由勾股定理计算可得 ，
所以平面 截正方体所得的截面周长为 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是
不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形
式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
三、填空题
12．（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3
倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ．
【答案】
【分析】设上底面圆的半径为 ，则下底面圆的半径是 ，然后根据轴截面周长为16，可求出 ，从而
可求出上下底面的面积和侧面积，进而可求出其表面积.
【详解】设上底面圆的半径为 ，则下底面圆的半径是 ，
故轴截面周长为 ，解得 ，
所以上、下底面圆的面积分别为 ，圆台侧面积 ，
所以圆台的表面积为
故答案为：
13．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体 棱长为2，若点 是线段 的中点，则三
棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取 中点 可证点 为三棱锥 的外接球的球心，从而得解.
【详解】根据题意，取 中点 中点 ，连接 ，
则 ，结合正方体结构特征易得 ，所以 ，
又 ，所以点 为三棱锥 的外接球的球心，且半径 ，所以其表面积为 .
故答案为：
14．（2024·浙江杭州·三模）已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将 绕点O逆时针旋转角
，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至 ，使得两三角形所在平面的距离为
，连接 ， ， ， ， ， ，得到八面体 ，则该八面体体积的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.
【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱 中， ，三
棱柱 的高为 ，则三棱锥的体积为 .
引理的证明如下：
，引理得证.
事实上上述引理等价于，若三棱锥 满足， ，异面直线 所成夹角为 ，且
异面直线 之间的距离为 ，则三棱锥的体积为 .
从而由上述引理有．
若 ，则 ，从而 的取值范围是 ，
的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.
