专题19函数中的新定义问题(含2021-2023高考真题)(解析版)_02高考数学_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年新高考数学之函数专项重难点突破练（新高考专用）

专题19 函数中的新定义问题 一、单选题 1．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数 与函数 即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同 值函数”的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A,函数 在定义域上单调递减， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故A错误； 对于B，函数 在定义域上单调递增， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故B错误； 对于C，函数 在定义域上单调递增， 所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故C错误； 对于D，当定义域分别为 时，值域都为 ，故D正确. 故选:D. 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯 函数": 设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ，则 ，所以函数 的值域为 ， 故 的值域为-1或0.故选：B3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 ，用 表示不 超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ， ，设 为函数 的零点，则 （ ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 ，函数在 上单调递增， ， ，若 ，则 ，所以 .故选：B 4．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对 是函数y的一个“共生点对”（点对 与 看作同一个”共生点对”），已知函数 ，则函数y的“共生点对”有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】根据“共生点对”的概念知，作出函数 的图象关于原点对称的图象与函数 的图象如下图所示： 由图可知它们的交点有两个，所以函数y的“共生点对”有2对.故选：C. 5．已知 ，符号 表示不超过x的最大整数，若函数 有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】函数 有且仅有2个零点，则 有且仅有2个解， 设 ，根据符号 作出 的草图如下： 则 或 ，故选：D. 6．已知 ，用 表示 ， 中的最大者，记为： ．当 ， ， 时，函数 的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】若 ，则 ；若 ，则 或 . ∵ 在R上单调递增，则有： 当 时，则 ，即 ； 当 或 时，则 ，即 ； 综上所述： . 对于 ，则有：当 时，则 在R上单调递增， 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减，且 ，则 ； 当 时，则 在R上单调递增， 在 上单调递增， ∴ 在 上单调递增，则 ； 当 时，则 在R上单调递增， 在 上单调递增， ∴ 在 上单调递增，且 ，则 ； 综上所述：当 时， 有最小值 .故选：B. 7．若函数 的定义域为 ，若存在实数 ， ，使得 ，则称 是“局部奇 函数”．若函数 为 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，方程 有解， 则 ，化简得 ， 当 时，不合题意 ； 当 时，可得 ，因为 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当 时， 化简得 ， 解得 ； 当 时， 化简得 ， 解得 ， 综上所述 的取值范围为 ，故选：A8．对于定义在区间 上的函数 ，若满足： 且 ，都有 ，则称函数 为区间 上的“非减函数”，若 为区间 上的“非减函数”，且 ，又 当 时， 恒成立，下列命题中正确的有（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A中，由 ，令 ，则有 ，可得 ，故A不正确； 对于B中，当 时， ，又由 ，所以 ，因为 ，故B不正确； 对于C中，因为 ，因为 且 ，都有 ， 所以当 时， ，故C不正确； 对于D中，当 时， ，可得 ， 又由 ，所以 时， ，所以 ，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9．设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ， ，且 ，总有成立，则称函数 在 上为线增函数．下列函数中在其定义域 上为线增函数的有（ ） A． B． C． D． ， 【解析】由 得： ； 对于A， 的定义域为 ，不妨设 ， ； 当 时， ， 不是线增函数，A错误； 对于B， 的定义域为 ，不妨设 ， ， ， ， ， 是线增函数，B正确； 对于C， 的定义域为 ，不妨设 ， ， ， ， ， 是线增函数，C正确；对于D， ， ，不妨设 ， ， ， ， ， ， 是线增函数，D正确. 故选：BCD. 10．设函数 的定义域为A，若对于A内任意两个值 ， ，都有 ，则称 具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，T性质满足 ，则函数为上凸或直线类的函数，A为直线，满 足条件；B为下凹函数不满足，CD均为上凸的函数，满足条件.故选：ACD. 11．设函数 ， 定义域交集为 ，若存在 ，使得对任意 都有 ， 则称 构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有（ ） A． B． C． D． 【解析】根据“相关函数对”的定义，可得两个函数的图象有且只有一个交点 ，且在 的右侧图象中 的图象高于 的图象，在 的左侧图象中 的图象低于 的图象. 对于A项，令 ，则 ， ， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 即 恒成立，所以不符合题意，故A项不成立； 对于B项，令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递增，又因为 ， ， 所以由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 ， 则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，故B项正确； 对于C项， ，则 ， 所以 在 单调递增，又因为 ， ， 所以由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 ， 则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，故C项正确； 对于D项，因为 ，解得： 或 ， 所以 图象与 图象有两个交点，不符合题意，故D项不成立. 故选：BC. 12．已知符号函数 ，偶函数 满足 ，当 时， ，则下列 结论不正确的是（ ）A． B． C． D． 【解析】当 时， ，而 是偶函数，则当 ， ， 因此当 时， ，其取值集合为 ，又 ，即 是周期为2的函数， 于是函数 的值域为 ， 的部分图象，如图， 当 时， ，A错误； ，B错误； 当 时， ，C正确； 当 时，取 ，则 ， 此时 ，D错误. 故选：ABD 三、填空题 13．对于函数 ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 为“倒戈函数”，设函数 是定义在 上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______. 【解析】因为函数 是定义在 上的“倒戈函数”， 所以存在 ，使 ，即 ，即 ，令 ，则 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时取等号， 解得 ，当 或 时， ，解得 ， 所以 . 14．已知函数 ， ，对任意的a，b， ，都存在以 ， ， 为三边的三角形， 则称该函数为三角形函数.若函数 是三角形函数，则实数m的取值范围是______. 【解析】当 时， ； 当 时， ，令 ，则 ， 由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ，所以 ，即 . 不妨设 ，则对任意的a，b， ，都存在以 ， ， 为三边的三角形， 等价于对任意的a，b， ，都有 ，等价于 . 当 ，即 时， ，即 ，所以 ； 当 ，即 时， ，即 ，所以 ； 当 ，即 时， ，即 ，所以 .综上，实数m的取值范围为 . 15．对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在 上是单调的；②当 的定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“倍值区间”．若函数 存在“倍值区间”，则a的取值范围是______． 【解析】由函数 单调递增，且函数 存在“倍值区间”， 知存在 ，使得 ，设 则 ，且 ，所以 ， 因此二次函数 在 上有两个零点 ， 且 ， 则 ，解得 ，故答案为： ． 16．对于三次函数 ，给出定义：设 是 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为曲线 的“拐点”，可以发现， 任何一个三次函数都有“拐点”.设函数 ，则 ______. 【解析】因为 ，所以 ， 设 ，则 ，令 ，可得 ，又 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 . 四、解答题 17．对于实数a和b，定义运算“*”： ，设 . (1)求 的解析式； (2)关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围. 【解析】(1)由 可得 ，由 可得 ， 所以根据题意得 ，即 ． (2)作出函数 的图象如图， 当 时， 开口向下，对称轴为 ， 所以当 时，函数的最大值为 ，因为方程 恰有三个互不相等的实数根，所以函数 的图象和直线 有三 个不同的交点，可得 的取值范围是 ． 18．设函数的定义域为 ，如果存在 ，使得 在 上的值域也为 ，则称 为“A 佳”函数.已知幂函数 在 内是单调增函数. (1)求函数 的解析式. (2)函数 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 【解析】（1）因为幂函数 在 内是单调增函数， 所以 ，解得 ，所以函数 的解析式为 ． （2）由（1）知， ，函数的定义域为 ， 又 ，所以函数 的值域为 ，因为 在 上单调递增， 若存在 ，使得 在 上的值域为 ， 则函数 在 上单调递增， 有 ，解得 或 ， 或 ，显然 ，所以 ， ， 即存在 ，使得 在 上的值域为 ，故函数 为“ 佳”函数. “ 佳”函数 的区间为 ； 19．已知函数 ，若点 在函数 图像上运动时，对应的点在函数 图像上运动，则称函数 是函数 的相关函数. (1)求函数 的解析式； (2)对任意的 的图像总在其相关函数图像的上方，求实数 的取值范围. 【解析】（1）因为函数 ，且点 在函数 图像上运动， 所以 ，即 ，所以函数 的解析式为： . （2）因为对任意的 ， 的图像总在其相关函数图像的上方， 所以当 时， 恒成立， 即 恒成立，由 ， ， ，得 ， 所以在此条件下，即 时， 恒成立， 即 恒成立，即 恒成立， ∴ ，解得 ，故实数 的取值范围为 . 20．若在定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数有“飘移点” ． (1)函数 是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数 在 上有“飘移点”； (3)若函数 在 上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【解析】（1）不存在，理由如下：对于 ，则 ，整理得 ， ∵ ，则该方程无解，∴函数 不存在“飘移点”. （2）对于 ，则 ，整理得 ， ∵ 在 内连续不断，且 ， ∴ 在 内存在零点，则方程 在 内存在实根， 故函数 在 上有“飘移点”. （3）对于 ，则 ， 即 ，∵ ，则 ， 令 ，则 ，∴ ， 又∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立， 则 ， ， ∴ ，即 ，故实数a的取值范围为 . 21．设的数的定义域为 ，若存在正实数 ，使得对于任意 ，总有 ，且 ， 则称 是 上的“ 距增函数”. (1)判断函数 是否为 上的“1距增函数”并说明理由；(2)已知 是定义在R上的奇函数，且当x > 0时， .若 为R上的“2022距增函数”， 求 的取值范围. 【解析】（1）对任意 ，都有 ， ，即 . 所以函数 是为 上的“1距增函数”. （2） 是定义在R上的奇函数，且当x > 0时， ， 当 时， . 当 时， ， ，即 . 所以 . 若 时， 在R上单调递增，则 恒成立. 若 时， ①当 时， ， 因为 单调递增，则 恒成立. ②当 时， ， 单调递增， 则 恒成立. ③当 时， ， 若 ， 则 ，解得 . ④当 时，若 ，则 ， ，即 . ⑤当 时，若 ， 则 ， ，即 . 综上： . 22．对于函数 ，若存在 ，使得 成立，则 称 为 的不动点. (1)当 时，求函数 的不动点； (2)若对任意实数 ，函数 恒有不动点，求 的取值范围. 【解析】（1）当 时， ， 由题意知： ，解得 ， ， 所以当 时，函数 的不动点为 和 . （2）由题知： ，所以 由于函数 恒有不动点， 所以 ，即 ，又因为 是任意实数， 所以 ，即 （ ），解得 ， 所以 的取值范围是 .