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专题22.43 二次函数的图象与性质常考知识点分类专题（培优练）
一、单选题
【考点一】二次函数的定义➼➻定义★★参数★★求值
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数 ，下列说法错误
的是（ ）
A．当 时，该函数为正比例函数 B．当 时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时， 或 D．当该函数为二次函数时，
【考点二】二次函数性质➼➻对称轴★★顶点坐标★★开口方向★★增减性
3．（2023秋·天津静海·九年级校考阶段练习）对于抛物线 与 ，下列说法错误的
是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．抛物线 是由抛物线 向上平移1个单位长度得到的
D．顶点的坐标相同
4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知二次函数 （a，b，c是常数， ）的y与x的部
分对应值如下表：
x ... 0 1 3 ...
y ... 3 ...
下列各选项中，错误的是（ ）
A．这个函数的图象开口向上 B．当 时，
C．当 时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的最小值为【考点三】二次函数图象➼➻二次函数图象★★与其他函数图象综合
5．（2023·山东济南·校考三模）一次函数 与二次函数 在同一个平面坐标系中
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点四】二次函数图象➼➻图象的平移★★图象的旋转
7．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移1
个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线P： ，将抛物线P绕原点旋转
得到抛物线 ，当 时，在抛物线 上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点五】二次函数图象➼➻图象的对称
9．（2023·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线 与 关于直线 对称，
则直线 和y＝ 的图象可能是 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）抛物线 与 轴的一个交点为 ，则它与 轴
的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不能确定，与 的值有关
【考点六】二次函数图象与性质➼➻图象的对称性求最短路径与最值
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交
于点 ，点 是对称轴上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在
轴上有一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
【考点七】二次函数图象与性质➼➻二次函数的增减性（比较大小）
13．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）设 ， ， 是抛物线
（m为常数）上的三点，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知函数 ，当 时，有最大
值 ，最小值3，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点八】二次函数图象与性质➼➻二次函数化为顶点式
15．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数 的性质，下列叙述正确
的是（ ）
A．当 时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线 有两个交点
C．当 时，y有最小值3 D．与抛物线 形状相同
16．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）已知抛物线 与 轴的公共点是 ，
，将该抛物线向右平移 个单位长度与 轴的交点坐标为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【考点九】二次函数图象与性质➼➻二次函数化的图象求参数
17．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线
与 关于 轴对称，则 的值为（ ）
A．13 B．18 C．24 D．36
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，
且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
【考点十】二次函数图象➼➻二次函数化各项系数符号
19．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，是二次函数
（a， ， 是常数， ）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点 和 之间，对称轴是直线
．对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （m为实数）；其中正
确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如
图所示，现给出以下结论① ；② ；③ ；④ （m为实数）；
⑤ ．其中错误结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点十一】二次函数图象➼➻判断代数式的符号
21．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，四边形 是正方形，点E是线段 上的动点，以
为边作正方形 ，连接 ，M为 的中点，且 ，则线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
22．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线 经过点 ，点 从点A
出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
① ：
②抛物线的对称轴为 ；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时， ；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当 时， 的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【考点十二】二次函数图象与性质➼➻二次函数综合
23．（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数 ， ， 满足 ， ，则代数式
的值可以是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·安徽·九年级专题练习）已知，二次函数 的对称轴为y轴，将此函数向
下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（ ）部分上任意一点，O为坐标原点，连接 ，则
长度的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
【考点一】二次函数的定义➼➻定义★★参数★★求值
25．（2023秋·浙江·九年级专题练习）若 是关于x的二次函数，则m的值
是 ．
26．（2022春·九年级课时练习）已知函数 ．若这个函数是二次函数，求
的取值范围
【考点二】二次函数性质➼➻对称轴★★顶点坐标★★开口方向★★增减性
27．（2023秋·九年级课时练习）下列关于二次函数 的图像，说法正确的是 ．
（填序号）
①图像开口向下；②顶点坐标 ；③当 时， 随 的增大而减小；④对称轴是直线 ．
28．（2023秋·浙江·九年级专题练习）设二次函数 ，其中a为实数．
（1）二次函数的对称轴为直线 ．（用含a的式子表示）
（2）若二次函数在 有最小值 ，则实数a的值是 ．
【考点三】二次函数图象➼➻二次函数图象★★与其他函数图象综合29．（2022·湖南湘西·统考中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函
数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直
线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
30．（2021春·九年级课时练习）一次函数 与二次函数 的图象的一个交点坐标为
，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ， ， ．
【考点四】二次函数图象➼➻图象的平移★★图象的旋转
31．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知抛物线 ．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x= ；
（2）当 时将点 向右平移9个单位得到点B，直接写出线段 与抛物线有两个交点时a
的取值范围 ．
32．（2022秋·辽宁营口·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，把抛物线 先绕其顶点旋转
后，再向右平移 个单位，向下平移 个单位后的抛物线解析式为 ．
【考点五】二次函数图象➼➻图象的对称
33．（2023春·浙江金华·八年级浦江县实验中学校考阶段练习）如图，二次函数
图象经过点 ，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是 ．34．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知 ， 是二次函数
的图象上两点，当 时，二次函数的值是 ．
【考点六】二次函数图象与性质➼➻图象的对称性求最短路径与最值
35．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
轴、 轴分别交于 、 、 三点，点 是其顶点，若点 是 轴上一个动点，则 的最小值为
．
36．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝ x+8与x轴交
于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c过点A，C，且与x轴的另一交点为B，又点P是抛物线的对
称轴l上一动点．若 PAC周长的最小值为10+2 ，则抛物线的解析式为 ．
△
【考点七】二次函数图象与性质➼➻二次函数的增减性（比较大小）
37．（2023秋·山西大同·九年级校联考阶段练习）若二次函数 的图象上三点 、、 ，则 ， ， 的大小关系是 ．
38．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）已知点 在二次函数 的图象上
（1）当 时， 的取值范围是
（2）当 时， 的取值范围是
（3）当 时， 的取值范围是
【考点八】二次函数图象与性质➼➻二次函数化为顶点式及待定系数法求解
析式
39．（2023秋·广西南宁·九年级校考开学考试）已知函数 ，当 时，则y的取值
范围为 ．
40．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知：直线 与抛物线 交于点 ，
，抛物线的顶点为点 ，对称轴与直线 交于点 ．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）动点 为直线 上方对称轴左侧抛物线上一点，当 的面积最大时，点 的坐标为 ．
【考点九】二次函数图象与性质➼➻二次函数化的图象求参数值（取值范
围）
41．（2020·湖北武汉·统考三模）抛物线 与线段 恰有一个公共点．其中
，则 的取值范围 ．
42．（2020·广西梧州·统考一模）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线
，则 时，该函数的自变量 的取值范围是【考点十】二次函数图象➼➻判断代数式的符号
43．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于
点 ，对称轴为直线 ．下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）
44．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线 的对称轴在y轴右侧，抛物线
与x轴交于点 和点B，与y轴的负半轴交于点C，且 ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的有 ．【考点十一】二次函数图象与性质➼➻二次函数综合
45．（2021秋·山西太原·九年级校考阶段练习）如图所示，抛物线 与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且 ，则点M的坐标为 ．
46．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的点 在 轴的负半轴
上，抛物线 的顶点为 ，且经过点 、 ．若 为等腰直角三角形，则 的值是
．
【考点十二】二次函数图象与性质➼➻二次函数最值
47．（2023·江苏南通·校考二模）已知，点E、F、G、H分别在正方形 的边 、 、 、
上， ， 、 相交于点O， ，已知正方形 的边长为16， 长为
20，则 面积的最大值为 ．48．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，正方形 的边长为a，点E在边 上运动（不与点
A、B重合）， ，点F在射线 上，且 ， 与 相交于点G连接 、 、
．则下列结论：① ；② 的周长为a；③ ；④ 的面积的最大
值是 ；⑤当 时，G是线段 的中点．其中正确的结论是 ．（填写序号）
参考答案
1．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
2．C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
解： 、当 时，该函数 为正比例函数，故不符合题意；
、当 时， ，即 ，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当 时，该函数 为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时， ，故不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数的知识分别求出两抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标判定A、B、D，根
据根据二次函数平移的规律，结合抛物线的解析式，即可判断C．
解：∵抛物线 开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为 ；抛物线 开口向下，
对称轴为y轴，顶点坐标为 ；抛物线 是由抛物线 向上平移1个单位长度得到的．
∴选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象性质和二次函数
的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
4．D
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
解：将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，∴函数的图象开口向上，故A正确；
将 代入 得 ，故B正确；
∵抛物线经过 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 得 ，
∴函数的最小值为 ，故D错误；
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时，y的值随x值的增大而减小，故C正确；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
5．B
【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可．
解：由解析式可得：一次函数 与二次函数 的图象与y轴的交点都为 ，即
交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A；
B选项，由一次函数图象可得 ，此时二次函数 的图象应开口向下，有可能；
C选项，由一次函数图象可得 ，此时二次函数 的图象应开口向上，不可能；
D选项，由一次函数图象可得 ，此时二次函数 的图象应开口向下，不可能；
故选B．
【点拨】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象
与系数的关系．
6．C
【分析】从二次函数图象的开口方向和对称轴的位置，可以得到 ， ，可知直线 经过
第一、二、四象限．解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴 ，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象是经过第一、二、四象限.
∴只有选项C符号条件，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是由二次函数的图象得到 的符号，从而
判断直线的位置．
7．D
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
解：抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式
为 ，即 ，
故选：D．
【点拨】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并
用规律求函数解析式．
8．A
【分析】先求出抛物线 的解析式为 ，再分抛物线 的对称轴在直线 左侧，在
直线 右侧，在直线 和直线 之间，三种情况利用二次函数的性质求解即可．
解：设抛物线 上任意一点 ，
则点 原点旋转 后对应的点为 ，且点 在抛物线P上，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 中，当 时，y有最大值 ，
①当 时，即 时，当 时y有最大值，∴ ，
∴ ，
此时 ；
②当 时，即 时，当 时y有最大值，
∴ ，
∴ ，
此时a不存在；
③当 时，即 时，当 时y有最大值，
∴ ，
∴ ，
此时a不存在；
综上所述： ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，正确求出抛物线 的解析
式是解题的关键．
9．D
【分析】分 和 ，两种情况讨论，根据对称轴的位置确定b的符号，与y轴的交点位置确定c
的符号，即可判断．
解：当抛物线 的开口向上时， ，对称轴 ，
∴ ，与y轴的交点在x轴的上方，∴ ，
则直线 经过一、三象限，直线y＝ 经过一、二、四象限，
观察四个选项，没有符合条件的选项；
当抛物线 的开口向下时， ，对称轴 ，
∴ ，与y轴的交点在x轴的下方，
∴ ，
则直线 经过二、四象限，直线y＝ 经过一、三、四象限，
观察四个选项，D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的
正负情况，利用二次函数的性质解答．
10．B
【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线 ，再
根据抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标．
解：∵
，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴一个交点为 ，
∴另一个交点的横坐标为： ，∴另一个交点为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了把抛物线 转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题
的关键在得出抛物线对称轴．
11．D
【分析】设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，根据解析式求得 的坐标，根据轴
对称的性质得出 ，继而得出 取得最小值，最小值为 的长，勾股定理即可求解．
解：如图所示，设抛物线与 轴的另一个交点为 ，连接 ， ，
∵ ，令 ，
即 ，
解得： ，
∴ ,
令 ，解得 ，
∴ ，
∵点 是对称轴上的一个动点，
∴ ，
∵
∴当 三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
即 ，
故选：D．【点拨】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
12．D
解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次
函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
13．A
【分析】根据二次函数的性质可得抛物线 （m为常数）的开口向下，对称轴为直
线 ，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵抛物线 （m为常数）的开口向下，对称轴为直线 ，
又∵ 离直线 的距离最近， 离直线 的距离最远，
∴ ，故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
14．C
【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可
求解．
解： ，
对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，
因此 时， ，
当 时， 随 值的增大而增大，当 时， 随 值的增大而减小，
时，有最大值 ，最小值3，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是
解题的关键．
15．D
【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立 和 ，得到方
程 ，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D．
解：∵ ，
∴该二次函数的对称轴为直线 ，
∵ ，函数开口向下，
∴当 时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意；
B、当 时， ，
整理得：∴ ，
∴方程 无实数根，则抛物线与直线 没有交点，故B错误，不符合题意；
C、∵ ， ，函数开口向下，
∴当 时，y有最大值3，故C错误，不符合题意；
D、∵ 可由 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到，
∴ 与抛物线 形状相同，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 的对称轴为 ，
顶点坐标为 ； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x
的增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增
大而减小．
16．B
【分析】先利用点平移的规律得到点 ， 向右平移 个单位长度后对应点的坐标为 ，
，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为 ，接着把把 代入求得 ，于是
原抛物线的解析式可设为 ，然后化为一般式得到 、 、 的值，从而可计算出 的
值．
解： 点 ， 向右平移 个单位长度后对应点的坐标为 ， ，
设平移后的抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，原抛物线的解析式为 ，
即 ，
， ， ，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ 是常数， ）与
轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数
图象与几何变换．
17．B
【分析】根据两抛物线关于 轴对称的性质，结合抛物线的对称轴方程、顶点坐标、配方法进行求解
即可．
解：因为抛物线 与 关于 轴对称，
所以两个抛物线的对称轴相同、顶点坐标关于 轴对称、开口方向相反、开口大小相同，
两抛物线对称轴相同，则有 ，化简得： ，
两抛物线分别为：
，顶点坐标为： ，
，顶点坐标为： ，
顶点关于 轴对称，所以有 ，解得 ，因此 ，
显然此时两抛物线开口方向相反、开口大小相同，所以 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线之间的对称的性质，考查了抛物线对称轴方程和顶点坐标公式的应用，考
查了数学运算能力．
18．D
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而
增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣ ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
19．B
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线 可判断②，由 时
及抛物线的对称性可判断③，由 时函数取最大值可判断④．
解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为 ，
， ，②正确．
，①正确．
时， ，且 和 时的函数值相同，
时， ，③不正确．
由图象可得 时，函数值取最大值，
即 ，
，④正确．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
20．A
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，得出 ， ， ，
则 ，①正确；根据对称轴为 ，得出 ，由 时， ，求出 ，则可得 ；根据 关于 的对称点为 ，把 代入二次函数解析式可得
，③正确；求出 的最小值为 ，可得 ，整理后可
得 ，④错误；抛物线与x轴有两个交点，可知 ，则 ，⑤正确．
解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ， ，
∵对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∴ ，①正确；
②∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
③∵ 关于 的对称点为 ，
∴当 时， ，③正确；
④当 时，y取最小值为 ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，⑤正确；
综上，错误的结论有1个，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，会利用对称轴求 与b的关系
以及根的判别式的熟练运用是解题的关键．21．B
【分析】取 的中点N，连接 交 于P，正方形 的边长为 ，利用中位线定理
求出 ，利用四边形 是矩形求出EP，继而求出 ，利用二次函数的顶点式求 的最小值，
从而得到 的最小值．
解：取 的中点N，连接 交 于P，
设正方形 的边长为 ，即 ，
∵N是 的中点，M为 的中点， ，
∴ ， ，
∴
又∵四边形 是正方形，
∴四边形 是矩形， ， ，
∴
∵ ，
∴
∴当 时， ，即
故选：B．
【点拨】本题考查中位线定理，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等知
识，正确画出图形是解题的关键．
22．B
【分析】利用待定系数法即可求得 ，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求
得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线 与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线 的解析式，进一步求得n的值，即可判断
③；作 轴，交 与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据 得出
，根据二次函数的性质即可判断④．
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得 ，故①说法正确；
令 ，则 ，
解得 或1，
∴抛物线抛物线 与x轴的交点为 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，故②说法正确；
连接 ，交对称轴为P，此时， ，
∵ 是定值，
∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小，
∵ ， ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
∴ ，∴n=2，故③说法错误；
作 轴，交 与点Q，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
把 代入直线 的解析式得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， 的面积最大，故④说法正确．
综上，正确的有①②④．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，
三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键．
23．D
【分析】联立方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可求解．
解：依题意， ，解得：
设
∴
∵
∴ 有最大值，最大值为
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．C
【分析】根据题意得出抛物线的解析式为 ，然后确定平移后的解析式，设点
，确定 ，令 ，根据新函数的增减性得出当
时， 取得最小值，即可求解．
解：∵二次函数 的对称轴为y轴，
∴ ，即 ，
∴抛物线的解析式为 ，
将此函数向下平移3个单位后的解析式为： ，
设点 ，
∴ ，∵令 ，
∵ ，
当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， 取得最小值，
最小值为： ，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
【点拨】题目主要考查二次函数的基本性质及平移，坐标中两点之间的距离，理解题意，得出相应的
新的函数的性质是解题关键．
25．2
【分析】根据二次函数定义可得 且 ，求解即可得到答案．
解：根据题意，
∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
解得： ， ， ，
∴ ；
故答案为：2
【点拨】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如 （a、b、c是常数，
a≠0）的函数，叫做二次函数．
26． 且
【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式 ，解不等式即可求得．
解： 函数 是二次函数，
，解得 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．
27．①③④
【分析】根据二次函数的图像与性质对各说法进行分析判断即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴该函数图像开口向下，说法①正确；
由 可知，该函数图像对称轴为 ，顶点坐标为 ，故说法④正确，说法②错
误；
∵该函数图像对称轴为 ，且开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，说法③正确．
综上所述，说法正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握相关知识是解题关键．
28． / 4
【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）分三种情况讨论：当 ，即 ，则当 时，y有最小值，最小值为 ，当
，即 ，则当 时，y有最小值，当 ，即 ，则当 时，y有最小
值，从而可得答案．
解：（1）∵二次函数 ，
∴对称轴为直线： ，
故答案为： ；
（2）当 ，即 ，
则当 时，y有最小值，最小值为 ，不合题意，舍去；
若 ，即 ，则当 时，y有最小值，∴ ，
∴ ，解得 （舍去）， ；
当 ，即 ，
则当 时，y有最小值，
∴ ，解得 （舍去）．
故答案为4．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
29．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式
为 ，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与
新图象有4个交点时，b的取值范围．
解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1，x＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为 ，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程 ，即
有相等的实数解，即解得 ，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为 ＜b＜﹣1，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
30． -2 -2 4
【分析】把 代入一次函数可求k，把抛物线顶点（0，c）代入一次函数解析式可求c，再代入
可求a．
解：把 代入得， ，
解得 ，
一次函数解析式为 ，
又∵二次函数顶点为 ，
代入 得，
，
把 代入二次函数表达式得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据
抛物线的特征确定顶点坐标．
31． 2 或
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）当 时，求出抛物线顶点坐标为 ，由平移可得 ，当 时，求出
，根据抛物线与线段 有两个交点，分情况列不等式组求解即可．
解：（1）∵抛物线 ，∴对称轴是直线 ，
故答案为：2；
（2）当 时， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵点 向右平移9个单位得到点B，
∴ ，
当 时， ，
∵抛物线 与线段 有两个交点，
∴当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
综上所述，a的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，平移变换的性质等重要知识；熟练掌握二次
函数的图象和性质是解题关键．
32．
【分析】先求出抛物线 绕其顶点旋转 后解析式，再根据平移规律即可求解．
解：抛物线 先绕其顶点旋转 后解析式为 ，将抛物线 向右平移 个单位，向下平移 个单位后的抛物线解析式为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了抛物线图象与几何变换，熟知二次函数图象旋转与平移规律是解题关键．
33．
【分析】由二次函数 图象经过点 ，对称轴为直线 ，可以求得其关
于对称轴对称点的坐标，即可解答．
解：∵二次函数 图象经过点 ，对称轴为直线 ，
∴二次函数 图象经过点 ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题主要考查二次函数图象的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
34．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出 ，然后将其代入函数关系式求得 ．
解：∵ ， 是二次函数 的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴 对称，
∴
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
35．
【分析】先求出 ， ，如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接 ，则，然后证明当D、P、E三点共线时 最小，即 最小，最小值为 ，利用勾股定
理求出 的长即可得到答案．
解：在 中，当 时， ，
∴ ；
∵抛物线解析式为 ，
∴ ；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当D、P、E三点共线时 最小，即 最小，最小值为 ，
∴ 的最小值 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时
最小，即 最小，最小值为 是解题的关键．
36．y＝﹣ +8
【分析】设 ，由一次函数的解析式求出 、 点的坐标，连接 与对称轴交于点 ，推理说
明 在 位置是 的周长最小为 ，从而得到 的方程求得 ，再用待定系数求得抛物线的解
析式便得．解：由题意直线AC与x轴的交点为A，
∴当y＝0，则x＝﹣6，
∴点A（﹣6，0）．
同理点C（0，8），
设B（m，0），
连接BC与对称轴l交于点P'，如图所示．
则AP'＝BP'．
当P点位于P'点时，△PAC的周长＝AC+CP'+AP'＝AC+CP'+BP'＝AC+BC，此时周长最小，
周长的最小值为 ，
，
，
解得m＝10或m＝﹣10（不符舍去），
则点B（10，0），
把A（﹣6，0），b（10，0），C（0，8）代入y＝ax2+bx+c中，得
，
抛物线的解析式为 ．故答案为：y＝﹣ +8．
【点拨】本题是二次函数的综合应用，主要考查了求一次函数的图象与坐标轴的交点，待定系数法，
轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短，关键由三角形周长的最小值列出 的方程．
37． /
【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象开口向下，对称轴是直线 ，再根据当 时，y
随x的增大而减小，即可得出答案．
解：二次函数 中，
∴图象开口向下，对称轴是直线 ，当 时，y随x的增大而减小，
点 与 对称
∵
∴
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查对二次函数图象和性质，能熟练地运用二次函数的性质是解此题的关键．
38．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可，然后写出y
的取值范围即可．
解：∵
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∵ ，开口向上，
∴当 时，有最小值为 ，
当 时，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
y的取值范围是 ；故答案为： ；
（2）当 时，y的取值范围是 ；
故答案为： ；
（3）当 时， ，
当 时，y的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题和增减性，熟记性质并求出对
称轴是解题的关键．
39． /
【分析】先把该二次函数的解析式化为顶点式，然后确定函数图像的开口方向和顶点坐标，即求得函
数的最小值，再分别求得 和 时的函数值，最后归纳即可解答．
解：∵ ，
∴函数图像开口方向向上，顶点坐标为 ，
∴ 时，有最小值 ，
∵当 时， ；当 时， ；
∴当 时，y的范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特点等知识点，根据题意得出二
次函数的顶点坐标是解题的关键．
40．
【分析】（1）将点 代入 求出k，进一步得到点 ，再将点 ， 代入
列出方程组求解即可；（2）作 轴，交直线 于 ，设 的横坐标为 ，则 ， ，求得
，根据 ，得到
，根据当 时， 的面积最大，求解即可．
解：（1） 直线 与抛物线 交于点 ， ，
，解得 ，
直线为 ，
，
，
把 、 的坐标代入 得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
（2） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
对称轴与直线 交于点 ，
，
如图，作 轴，交直线 于 ，设 的横坐标为 ，则 ， ，
，
，
，
当 时， 的面积最大，
此时 点的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的
面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．
【分析】分两种情况讨论，当 两种情况，画出符合题意的图像，分别描出 的位置，结
合图像可得答案．
解：由抛物线 可得：
当
所以抛物线的顶点为：当 时，当
当 ，则
如图，此时线段与抛物线没有交点．
当 同理可得 的位置如图示，
当 在 的上方时（与 可重合），线段 与抛物线有唯一的交点，
不等式的两边都乘以： 得：所以 的取值范围是：
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，二次函数与线段的交点问题，不等式的基本性质，掌
握利用二次函数的图像解决问题是解题的关键．
42．
【分析】首先利用抛物线的对称性得到（0，3）的对称点，然后再利用 求出x的取值范围即可．
解：∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），且对称轴为x=-1，
∴点（0，3）关于x=-1的对称点坐标为（-2，3）
∴当 时，x的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．
43．①②④
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
解：由图象可得，
则 ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点 和 之间，对称轴是直线 ，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点 和点 之间，故④正确；
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
44．②③④
【分析】由图， ， ， ，得 ，推知 ；由 知 ，代入
，得 ，化简得 ；将 代入 得，
，由对称轴得 ，解得 ；将 代入 得 ．
解：由图， ， ， ，
∴
∴ ， ，故①错误；
，由 知 ，代入 ，
得 ， ，
化简得， ，故②正确；
将 代入 得， ，
对称轴 ，得 ，代入上式得，
，解得 ，故③正确；
将 代入 得 ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【点拨】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．
45．
【分析】先求出B、C的坐标得到 ，则 ，从而得到 ，设
与x轴的交点为N，求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，由此联立两函数解析式即可求出答案．
解：在 ，当 时， ，当 时，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
设 与x轴的交点为N，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30
度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键．
46． /0.5
【分析】过 作 轴于 ，交 于 ，求出 、 的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
解： 抛物线 的顶点为 ，且经过点 、 ，
抛物线的对称轴是直线 ，且 ， 关于直线 对称，
过 作 轴于 ，交 于 ，
为等腰直角三角形，
，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ， ，
把 、 的坐标代入 得：
，
解得： ，
故答案为： ．【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数
的性质是解题的关键．
47．32
【分析】过点H作 于点M，交 于点N．四边形 是平行四边形，推出 ，
，可得 ，设 ． ， ，则 ，可得 ，可得
，可知 时， 的面积最大，最大值为32．．
解：过点H作 于点M，交 于点N．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ． ， ，则 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 的面积最大，最大值为32．
故答案为：32．
【点拨】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比
例定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，属于中考压轴题．
48．①④⑤
【分析】①正确．如图1中，在 上截取 ，连接 ．证明 即可解决问
题．②③错误．如图2中，延长 到H，使得 ，则 ，再证明
即可解决问题．④正确．设 ，则 ，构建二次函数，利用二
次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当 时，设 ，则 ，利用勾股定理构
建方程可得 即可解决问题．
解：如图1中，在 上截取 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
如图2中，延长 到H，使得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误，
∴ 的周长 ，故②错
误，
设 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ 时， 的面积的最大值为 ．故④正确，
当 时，设 ，则 ，
在 中，则有 ，
解得 ，
∴ ，即G是线段 的中点，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵
活运用是解题的关键．
