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专题22.41 二次函数（全章直通中考）（培优练）
【要点回顾】
【要点一】二次函数的解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
【要点二】二次函数的图象与性质
开
口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方 a
向
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
顶 2a 4a
点
与
4ac−b2
最 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
值 4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
b b
性 − −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
对 1.图象是轴对称图形；
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【要点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础
上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方
法如下：
（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【要点五】二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【要点六】二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【要点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范
围内.（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线 与y轴交于点C，过点C作直线l垂
直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 ，
为图形G上两点，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
2．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴相交于 ，
两点，对称轴是直线 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．点 的坐标为 D．
3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交
于两点 ， ，且过 ， 两点（b，a是实数），若 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）已知二次函数 的图像如图所示，有下列结论：①
；② ＞0；③ ；④不等式 ＜0的解集为1≤ ＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－
3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0） 、
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
6．（2021·四川广元·统考中考真题）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，
所得新函数的图象如图所示．当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
7．（2018·辽宁抚顺·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个
结论：
①abc＞0；
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；
④ ≥2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在
x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中
画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
9．（2011·新疆·中考真题）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为
h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高
的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
10．（2017·四川泸州·中考真题）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F
（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ ，3），P是抛物线y= x2+1上一个
动点，则△PMF周长的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于
点C，点 在抛物线上，点E在直线 上，若 ，则点E的坐标是 ．
12．（2014·四川甘孜·统考中考真题）已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP
是正三角形，则k的值是
13．（2019·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与
轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ． 为抛物线的顶点．若直线 交直线 于点
，且 为线段 的中点，则 的值为 ．
14．（2013·四川绵阳·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；
②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜ ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．
15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线 （ 是常数， ）经过
三点，且 ．下列四个结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
16．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，一个图形上的点都在一边平行于 轴
的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．若二次函数
图象的关联矩形恰好也是矩形 ，则 ．
17．（2019·四川广安·统考中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像
进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 ，由此可知
该生此次实心球训练的成绩为 米．18．（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离
地面的高度 （米）与物体运动的时间 （秒）之间满足函数关系 ，其图像如图所示，物体
运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设 表示0秒到 秒时 的值的“极
差”（即0秒到 秒时 的最大值与最小值的差），则当 时， 的取值范围是 ；当
时， 的取值范围是 ．
三、解答题
19．（2017·江苏扬州·中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日
销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千
30 35 40 45 50
克）
日销售量p（千克） 600 450 300 150 0
（1）请直接写出p与x之间的函数关系式：
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司
的日获利的最大值为2430元，求a的值．
20．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点
C．
（1）求b，c的值．
（2）点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：是否
存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．
依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
22．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过（1，c），
（3，d），（−1，e），（−3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函
数的表达式．
23．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知抛物线
（1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，
可以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即 __________0（填大于或小于）时，该
抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点 ， ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请
你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了
便于说明，不妨设 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意
图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 ， 时， ．24．（2022·广西·统考中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，
连接 ，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移 5个单位长度，得到线段 MN，若抛物线
与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．参考答案
1．D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断
出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右
侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
解：抛物线解析式 变形为： ，
即抛物线对称轴为 ，
当x=m-1时，有 ，
当x=m+1时，有 ，
设（m-1,1）为A点，（m+1,1）为B点，
即点A（m-1,1）与B（m+1,1）关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有 ，
∴C点坐标为 ，
当x=m时，有 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为 ，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有 ，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足 ，
∴此时符合题意；
此时由图可知： ，解得 ，
综上所述：m的取值范围为： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
2．D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随 的增大而增
大，故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，可得对
称轴 ，解得 ，即 ，故该选项不符合题意；
D、根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与
轴交点 得到 是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出 的范围．
解：由题意，二次函数与x轴交于两点 ， ，且二次项系数为1，
则：
过 ， 两点
，，
二次函数的二次项系数为1，对称轴为
二次函数图像开口朝上，且点 ， 在对称轴的右侧．
又
．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的配方法求最值，以及基
本不等式的运用， （仅当 时，等于号成立）
能灵活的应用基本不等式是解题的关键．
4．A
【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数
图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴ ＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴ ＜0可化为 ，
根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特
征成为解答本题的关键．
5．C
【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧
可知 ，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知 ，解得 ，
该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，
0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直
线 的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3）， ，
结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线 的有两个不
同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
6．A
【分析】由二次函数解析式 ，可求与x轴的两个交点A、B，直线 表示的图像可
看做是直线 的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线 经过B点时，
恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线 经过C点时，恰与所给图像有
三个交点，即直线 与函数 关于x轴对称的函数 图像只有一个交点，即联
立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
解：由 知，当 时，即
解得：
作函数 的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当 时，只有一个交点
当 的函数图像由 的图像关于x轴对称得到
当 时对应的解析式为
即 ，整理得：
综上所述 或
故答案是：A．【点拨】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二
次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题
意的条件．
7．C
【分析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根
据抛物线的对称轴公式x=﹣ 可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题
意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵0＜2a≤b，
∴ ＞1，
∴﹣ ＜﹣1，
∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；
③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，
∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+b+c≥2b，
∵b＞0，∴ ≥2，故④正确，
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.
8．D
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解
析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m
的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m
与新图象有4个交点时，m的取值范围．
解：如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x=﹣2，x=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实
数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故选D．
【点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c
是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.
9．C
【分析】根据函数的表达式，算出第2秒与第6秒时的高度，列出等式，求出a、b的关系，然后根据
二次函数的性质，求出对称轴，进而得出最高点.
解：由题意可知：h（2）=h（6），即4a+2b=36a+6b，
解得b=﹣8a，
函数h=at2+bt的对称轴
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质.根据已知条件求出a、b的关系是解题的关键.
10．C
解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= x2+1于点P，此时 PMF周长最小值，
△
∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM= =2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
【点拨】本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共
线时为最值情况．
11． 和
【分析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE的外角，
，而 ，所以此时 ，有 ，可求出 所在
直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得到关于 的方程，
求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，可以证明
，得到 为直角三角形，延长 至 ，取 ，此时，
，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形， 点 和关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标．
解：在 中，当 时， ，则有 ，
令 ，则有 ，
解得： ，
∴ ，
根据 点坐标，有
所以 点坐标
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，
解得
∴ 所在直线的解析式为：
当 点在线段 上时，设
而
∴
∴
因为： ， ，
有解得： ，
所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 ，
故答案为： 或
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分
情况找到 点的位置，是求解此题的关键．
12．3解：如图，∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），
∴
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°= ，
∴OB= ，
∴点B的坐标为： ，点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
整理得：
解得：k=0（不合题意舍去），k=3．
1 2
故答案为3．
13．2
【分析】先根据抛物线解析式求出点 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点 坐标，利用点 为
线段 中点，得出点 坐标；用含 的式子表示出点 坐标，写出直线 的解析式，再将点 坐标代入
即可求解出 的值．
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，抛物线的对称轴为∴顶点 坐标为 ，点 坐标为
∵点 为线段 的中点，
∴点 坐标为
设直线 解析式为 （ 为常数，且 ）
将点 代入得
∴
将点 代入得
解得
故答案为2
【点拨】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
14．①③④
【分析】根据抛物线的开口，对称轴即可判断①，举例 证明
②不成立，根据对称轴即可判断③，根据当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，即可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∴2a＜0．
∵对称轴x= ＞1，﹣b＜2a，
∴2a+b＞0．故选项①正确．
∵﹣b＜2a，
∴b＞﹣2a＞0＞a，
取符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点的一
函数，如 ，
令 ，得 ．
由 得 ．∴ ．
当 时，a＞c，a＜c，a= c都有可能．故②选项错误．
∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x= ＞1， ＞2，m+n＜ ．故选项③正确．
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b．
∴﹣3a﹣c＜2b．
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|．故④选项正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，特殊元素法和反证法的应用是解题的关键．
15．②③④
【分析】①根据图象经过 ， ，且抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，判断
出抛物线的开口向下， ，再把 代入 得 ，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 的右侧，得出 ，
根据 ，即可得出 ，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，根
据 ，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 ，把 代入 得 ，
即 ，求出 ，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 ，得出 ，求出
m的取值范围，即可判断④正确．
解：①图象经过 ， ，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在 的左侧，
∵ 中 ，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，故①错误；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 的两个根的积大于0，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
∴抛物线的顶点在点 的右侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线对称轴在直线 的右侧，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∵ ，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴ ，故③正确；
④方程 可变为 ，
∵方程有两个相等的实数解，
∴ ，
∵把 代入 得 ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，n为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知
条件判断得出抛物线开口向下 ．
16． 或【分析】根据题意求得点 ， ， ，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即
可求解．
解：由 ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
①当抛物线经过 时，将点 ， 代入 ，
∴
解得：
②当抛物线经过点 时，将点 , 代入 ，
∴
解得：
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
17．10
【分析】根据铅球落地时，高度 ，把实际问题可理解为当 时，求x的值即可．
解：当 时， ，
解得， （舍去）， ．故答案为10．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取
函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
18．
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0， ，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，
根据定义计算确定即可．
解：根据题意，得-45+3m+n=0， ，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴ ，
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且 （米）；当t=0时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
当 时， 的取值范围是
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且 （米）；当t=3时，h最最小，且 （米）；∴w= ，w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，
熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
19．（1） ；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a
的值为2．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想
的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即
可；
（3）根据题意列出日销售利润 与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两
种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则 ，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即 ，
∵-30<0，
∴当x=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）解：日获利 =p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即 ，
对称轴为 ，
①若a＞10，则当x=45时， 有最大值，即 =2250-150a＜2430（不合题意）；
②若0＜a≤10，则当x=40+ a时， 有最大值，
将x=40+ a代入，可得 ，
当 =2430时， ，
解得 =2， =38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解
函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
20．（1） ， ；（2）①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ；②当点 的
坐标为 或 时， 为等腰直角三角形
【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解；
（2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点P作
轴，交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积 ，
可得 的面积 ，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对称轴左侧时，
即 时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解即可．
（1）解：将 、 代入抛物线 中，可得： ，解得： ，
即： ， ；
（2）①由（1）可知： ，
当 时， ，即 ，
设 的解析式为： ，
将 ， 代入 中，
可得 ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，
∵ ，则 ，
∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，
的面积，
∵ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ；
②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ， ，则 ，
当点 在对称轴左侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）此时 ，即点 ；
当点 在对称轴右侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时： ，即点 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
【点拨】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点
的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
21．（1） ；（2）点 ， 的最小值为 ；（3）
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时， 的值
最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点 的坐标，两点间的距离公式求
出 的长，即为 的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
（2）当 时， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴ ；
∴点 ， 的最小值为 ；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时， 有最大值，此时 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合
的思想进行求解，是解题的关键．
22．（1）二次函数图象的顶点坐标为（-2，b-4a）；（2）当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f<
c c>d；
当a>0时，画出草图如图：∴e=f< c0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即 ，解得： ，
∴二次函数的表达式为y= x2 x- ．
综上，二次函数的表达式为y= x2 x- 或y= x2 x+ ．
【点拨】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第
（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
23．（1） ；下方；＜；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）利用配方法，把二次函数化为顶点式，结合二次函数的图像，即可得到答案；
（2）把A，B两点位置分三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③
当A，B在对称轴两侧时，分别进行讨论，即可；（3）令 ， ，结合由（1）（2）的结论，即可得到结论．
解：（1）通过配方可得： ，
∵a＞0，抛物线开口向上，
∴当顶点在x轴下方时，即 ＜0时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案是： ，下方， ＜；
（2）若设 且不等于顶点横坐标，则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而减小，所
以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图1所示
②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大，所
以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图2所示
③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以
根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在
x轴下方．如图3所示（3）证明：令 ，
当 时， ；当 时， ，而
∴
∴ 上存在两点 ， 分别位于x轴两侧
∴由（1）（2）可知， 顶点在x轴下方，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
即： ．
【点拨】本题主要考查二次函数综合，掌握二次函数的顶点式，二次函数的图像和性质以及二次函数
图像上点的坐标特征，是解题的关键．
24．（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）-3；（3） 或 或
【分析】（1）令 ，由抛物线解析式可得 ，解方程即可确定点A，点B的坐标；
（2）由抛物线解析式确定其对称轴为 ，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解
方程组可确定点C坐标，由 列方程求解即可；
（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5）．可分 和 两种情况：当 时，抛物线的
顶点大于或等于5，把 代入，y的值小于或等于5，从而求得结果；当 时，将 代入抛物线解析式，y的值大于或等于5，从而求得结果．
（1）解：抛物线解析式 ，令 ，
可得 ，
解得 ， ，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
（2）对于抛物线 ，其对称轴为 ，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或 ，
故点C坐标为（4，-5），
∴ ，
，
当 时，可得 ，
解得 ；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
∵ ，
∴该抛物线的对称轴为 ，其顶点坐标为 ，
①当 ，即 时，抛物线顶点在线段MN上，此时抛物线 与线段MN
只有一个交点；
②若抛物线顶点不在线段MN上，
当 时，如图1，结合抛物线的对称性，可知若与线段MN只有一个交点，则抛物线的顶点大于5，且 时，y的值小
于或等于5， 时，y的值大于5，
即 ，
解得 ；
②当 时，如图2，
当 时， ，
若与线段MN只有一个交点，则当 时，y的值大于或等于5，
即 ，
解得 ；
综上所述，当抛物线 与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为 或
或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、勾股定理的应用、利
用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
