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专题 19 立体图形、展开图、从三个方向看几何体之十大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 立体图形的分类】............................................................................................................................1
【考点二 几何体中点、棱、面】....................................................................................................................2
【考点三 正方体相对两面上的字】................................................................................................................6
【考点四 含图案的正方体的展开图】............................................................................................................7
【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】........................................................................................9
【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】......................................................................................12
【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】..............................................................................13
【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】..................................................................................................15
【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】.......................................................18
【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】...................................................................20
【过关检测】...........................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 立体图形的分类】
例题：如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）
【变式训练】
1.如图所示，请将下列几何体分类．2．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．
(1)如果按“柱”“锥球”来分，柱体有______，椎体有______，球有______；
(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．
【考点二 几何体中点、棱、面】
例题：几何知识：
（1）长方体有 _____个面，_____条棱，_____个顶点．
（2）圆柱体由 _____个面围成，圆锥由 _____个面围成，它们的底面都是 _____．
（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、
10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有 _____个面，_____个顶点，_____条棱．
【变式训练】
1．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1
图2
图3
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
2．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是
常见的一些多面体：
操作探究：
(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（ ）、面数（ ）和棱数（ ），填写下表中空缺的部分：
多面体 顶点数（ ） 面数（ ） 棱数（ ）
四面体 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 30
通过填表发现：顶点数（ ）、面数（ ）和棱数（ ）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉
（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；
(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【考点三 正方体相对两面上的字】
例题：（2023秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字
所在的面的对面所标的字是（ ）
A．设 B．福 C．中 D．国
【变式训练】
1．如图所示，3个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、自、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、红
色、白色的面的对面的颜色分别是（ ）
A．绿、黑、蓝 B．蓝、黑、绿 C．绿、蓝、黑 D．蓝、绿、黑
2．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知正方体的表面展开图如图所示，若相对面上标有的两个
数互为相反数，则 的值为 ．
【考点四 含图案的正方体的展开图】
例题：如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（ ）
A． B． C． D．
2．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，混放在下面的盒子里，请观察，礼物所在
的盒子是（ ）
A． B． C． D．
【考点五 由展开图计算几何体的表面积或体积】
例题：（2023秋·辽宁·七年级统考阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图
所示：
(1)该长方体盒子的长______ ，宽______cm，高______ ；
(2)求这个包装盒的表面积和体积．【变式训练】
1．如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个包装盒的表面积和体积．
2．小芳要用硬纸片做一个文具盒，如图所示是文具盒展开图．
(1)指出x、y的值；
(2)求文具盒的表面积及体积．
3．如图，是一个几何体的表面展开图：
(1)请说出该几何体的名称；
(2)求该几何体的表面积；
(3)求该几何体的体积．【考点六 判断简单组合体的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·榆林·阶段练习）如图，这个几何体由五个完全相同的小正方体组成，则该几何体从上面
看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23·24上·大庆·阶段练习）下列几何体中，从正面看和从上面看都为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24上·大庆·阶段练习）一个立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是
．它可能是下面的哪一个（ ）
A． B． C． D．
【考点七 画小立方块堆砌图形的三个方向看几何体】
例题：（23·24上·大庆·阶段练习）如图是小强用7块相同的小立方体搭成的一个几何体，从正面、左面和
上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图．【变式训练】
1．（22·23上·榆林·期末）由几个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请在下面方格中分别画出这个
几何体从正面、左面和上面看到的形状图．
2．（23·24上·榆林·阶段练习）观察图中的几何体，分别画出从正面、左面、上面三个方向看到这个几何
体的平面图形．
【考点八 求小立方块堆砌图形的表面积】
例题：（21·22上·太原·阶段练习）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______．
【变式训练】
1．一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为
．
2．如图，在一次数学活动课上，张明用 个边长为 的小正方体搭成一个几何体，然后他请王亮用其他同
样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大
长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要____个小正方体，王亮所搭几何体的表面
积为____．
3．（22·23上·佛山·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的
棱长为1厘米．(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：_______ ；
【考点九 已知三个方向看几何体求最多或最少的小立方块的个数】
例题：（23·24上·济南·阶段练习）用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的
图形如图所示．它最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体．
【变式训练】
1．（23·24上·佛山·阶段练习）用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的从正面看、从左面看和
从上面看，请你观察它是由 块小木块组成的．
从正面看 从左面看 从上面看
2．（23·24上·佛山·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，
则它最少需要 个立方块．【考点十 已知三个方向看几何体求侧面积或表面积或体积】
例题：（23·24上·重庆·阶段练习）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示．
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的体积和表面积．（结果保留 ）
【变式训练】
1．（22·23上·淄博·期末）如图，是一个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(1)根据图中数据求该几何体的体积；
(2)当 时，该几何体的体积是多少？【过关检测】
一、单选题
1．（22·23上·深圳·期中）三棱柱共有（ ）条棱．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（15·16上·聊城·期中）图中属于柱体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（23·24上·泰安·阶段练习）正方体木块的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图是从不同方向
观察这个正方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（23·24上·全国·专题练习）如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（ ）A． B． C． D．
5．（22·23上·兰州·期末）如图是从三个不同方向看到的由几个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，
则搭成这个几何体的小立方块的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
6．（23·24上·济南·阶段练习）十棱柱有 条棱， 个顶点， 个面．
7．（23·24上·佛山·阶段练习）“争创全国文明典范城市，让文明成为佛山人民的内在气质和城市的亮丽
名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是 ．
8．（23·24上·济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的
侧面积为 （结果保留 ）．
9．（23·24上·郑州·阶段练习）把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色（红、绿、蓝、黄、紫、白），
现将大小相同，颜色分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图，那么这个长方体中与蓝色一面相对的颜色是 ．
10．（22·23上·西安·期中）如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别
为 ， ，则圆柱体的体积为 .
三、解答题
11．（23·24上·榆林·阶段练习）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，其从不同方向看
到的情形如图所示，根据图示回答下列问题．
(1)A的对面是______，B的对面是______，C的对面是______．
(2)若A表示的数为 ，B表示的数为 ，C表示的数为 ，D表示的数为0，且正方体各对面上的
两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
12．（23·24上·佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为 的小正方体堆成一个几何体．
(1)共有________个小正方体；
(2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
(3)如果现在你还有一些棱长都为
的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．13．（23·24上·佛山·阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其
中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有_______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，要把 ，8，10， ， ，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折
成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）
14．（23·24上·佛山·阶段练习）在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如下图
所示.
(1)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图.
(2)如果这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有______个小立方块只有一个面是
黄色，有______个小立方块只有两个面是黄色，有_____个小立方块只有三个面是黄色.
(3)若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加
___个小立方块.15．（23·24上·长春·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式 ， ， ，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和
相等，求x的值．
16．（23·24上·佛山·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱
图形
顶点数a 6 _____ 10 _______ ______
棱数b 9 12 _______ _______ 3n
面数c 5 ______ ______ 8 ______
17．（23·24上·枣庄·阶段练习）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个
数，请解答下列问题:(1) ， ， ；
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
(3)当 时,在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
18．（23·24上·西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为 的正方体模具加工零件．
(1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为 的正方形通孔，设
打孔后零件的表面积为 ，则 __________ ．
(2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为 的圆形通孔，设打
孔后零件的表面积为 ，比较 与 的大小关系．
(3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为 的正方形通孔，又在其
正面正中心位置处，从前到后打一个直径为 的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后
的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留 ）．
