文档内容
第 3 讲 多边形及其内角和
1．了解多边形、凹、凸多边形、正多边形、多边形的内角、外角、对角线等基
本概念．
2．经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，体会数学与现实生活的联系
3．掌握多边形内角和公式的推导，并能运用公式解决一些实际问题．
4．掌握多边形内角和公式，并能运用多边形内角和公式和外角和结论解决问题
知识点 1 多边形
（1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边
形。
（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
知识点2：多边形的对角线
n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数：
知识点3：多边形的内角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
知识点4：多边形的外角和
（1）n 边形的外角和： 360°
（2）正多边形每个外角的度数：
知识点4：截角问题
n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用
多边形覆盖平面。
【题型 1 多边形及正多边形的概念判断】
【典例1】（2022春•博山区校级期中）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022春•肥城市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（
）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（2021春•嘉鱼县期末）四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形
ABCD，会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形
ABCD的周长和面积，下列说法正确的是（ ）
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小
【题型 2 多边形的不稳定】
【典例2】（2021秋•东莞市期末）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的
是（ ）A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
【变式2-1】（2022春•碧江区 校级期中）我校大门口的电子伸缩门是利用了
数学的 原理．
【变式2-2】（2022秋•东阿县校级月考）大桥钢架、索道支架、人字梁等为了
坚固，都采用三角形结构，这样做的根据是 学校门口的电动推拉
门是利用四边形的 ．
【题型 3 多边形的对角线】
【典例3】（2021秋•呼和浩特期中）一个多边形每个外角都等于 36°，则从这
个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（ ）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【变式3-1】（2022春•古县期末）为了求n边形内角和，下面是老师与同学们
从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出
n边形的内角和公式．这种数学的推理方式是（ ）
A．归纳推理 B．数形结合 C．公理化 D．演绎推理
【变式3-2】（2021秋•郾城区期中）从一个多边形的顶点出发，可以作 2条对
角线，则这个多边形的内角和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【变式3-3】（2021秋•永城市期末）多边形每一个内角都等于120°，则从此多
边形一个顶点出发可引的对角线的条数是 条．【题型 4 多边形的内角和】
【典例4】（2023•呈贡区校级三模）一个八边形的内角和的度数为（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1260°
【变式4-1】（2023春•通州区期中）如图1所示的是被称作“通州八景”之一
的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建
造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密
檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的
平面示意图，其内角和为（ ）
A．135° B．360° C．1080° D．190°
【变式4-2】（2023•南海区一模）正五边形的每个内角度数为（ ）
A．72° B．100° C．108° D．120°
【题型5 多边形的外角和】
【典例5】（2022秋•河口区期末）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的
延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为230°，则
∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式5-1】（2022秋•芜湖期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多
边形的内角和是（ ）
A．1440° B．1080° C．900° D．720°
【变式5-2】（2022•通州区一模）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（ ）
A．60° B．120° C．130° D．150°
【变式5-3】（2022•东莞市一模）如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3
＝140°，则∠4+∠5+∠6＝（ ）
A．200° B．40° C．160° D．220°
【题型 6 截角问题】
【典例6】（2022秋•黄骅市校级期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边
形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【变式6-1】（2021秋•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六
边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【变式6-2】（2021秋•郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边
形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
【变式6-3】（2023春•亭湖区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成另一
个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7【题型 7 多边形内角和和外角和-平行线】
【典例 7】（2023•庐阳区校级一模）如图，五边形 ABCDE 中，AB∥CD，
∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
【变式 7-1】（2023•瑶海区二模）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝
60°，∠A＝3∠D，则∠C＝（ ）
A．150° B．120° C．130° D．140°
【变式7-2】（2022秋•安丘市校级期末）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，
∠1，∠2，∠3是它的三个外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．180° B．90° C．210° D．270°
【变式7-3】（2021•普陀区二模）如图，两条平行线 l 、l 分别经过正五边形
1 2
ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝ ．【题型 8 多边形内角和和外角和-角平分线】
【典例 8】（2023•武汉模拟）如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝70°，∠B＝
110°，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于点E．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠E的大小．
【变式8-1】（2022•天津模拟）如图，四边形 ABCD中，∠C＝155°，∠D＝
80°，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，过点 E 作 EF∥BC．若∠AFE＝
50°，则∠AEF的度数为 ．
【变式 8-2】（2022•靖江市二模）如图，在五边形 ABCDE 中，AE∥CD，
∠BAE＝135°，∠BCD＝150°，∠BAE和∠BCD的平分线交于点F，则∠F＝
°．
【题型 9 多边形内角和和外角和的实际应用】
【典例9】（2023春•工业园区期中）如图，小亮从 A点出发前进5m，向右转
15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）m．
A．24 B．60 C．100 D．120
【变式9-1】（2021春•莒县期末）如图，小明在操场上从 A点出发，沿直线前
进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，
他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米．
A．70 B．80 C．90 D．100
【变式9-2】（2021春•开江县期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出
了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转 ，接着沿直线前
进5米后，再向左转 ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走
θ
了60米， 的度数为（ ）
θ
θ
A．28° B．30° C．33° D．36°
【题型 10 多边形内角和和外角和的综合应用】
【典例10】（2022秋•固始县期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每
个外角都等于和它相邻的内角的 ，求这个多边形的边数及内角和．【变式10-1】（2023•安宁市一模）一个多边形的内角和等于外角和的 2倍，这
个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形
【变式10-2】（2023春•上城区校级期中）一个多边形的内角和与它的外角和
的比为3：1，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式10-3】（2022秋•河口区期末）一个 n边形的每个外角都相等，如果它
的内角与相邻外角的度数之比为3：1，求n的值．
【典例11】（2022春•宿豫区期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度数为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【 变 式 11-1 】 （ 2022 秋 • 德 城 区 校 级 月 考 ） 如 图 ， 求
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【变式11-2】（2022•西湖区校级开学）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的
6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【变式11-3】（2022秋•恩平市期末）如图，A、B、C、D、E、F是平面上的6
个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
1．（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
2．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图 1，蜜蜂的
蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢
巢房的横截面大都是正六边形．如图 2，一个巢房的横截面为正六边形
ABCDEF，若对角线 AD 的长约为 8mm，则正六边形 ABCDEF 的边长为（
）A．2mm B．2 mm C．2 mm D．4mm
3．（2021•福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角
形，则∠AFC等于（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
4．（2023•仓山区校级模拟）正n边形的一个外角为30°，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2022•南充）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则
下列结论错误的是（ ）
A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E
6．（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、
DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
7．（2023•房山区一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平
面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
8．（2023•抚州模拟）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点
O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于220°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．45°
9．（2021•朝阳区一模）如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作
直线l∥BE，则∠1的大小是 °．
10．（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形 ABCDEF的每个内角的度数
是 ．
1．（2022秋•南沙区校级期中）下列图形不具有稳定性的是（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．正方形 D．钝角三角形
2．（2022秋•沈河区校级月考）六棱柱的截面中，可截得边数最多的多边形是
（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
3．（2022秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变
成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022秋•讷河市期末）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接
AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则∠A+∠B+∠D+∠E+∠F
等于（ ）
A．470° B．450° C．430° D．410°
5．（2023春•江阴市期中）若一个多边形的每个内角都为 135°，则它的边数为
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2023•工业园区校级模拟）如图，五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1、
∠2、∠3 分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3 等于（
）
A．180° B．90° C．210° D．270°
7．（2022秋•临海市期末）将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为
O，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数
是（ ）A．30° B．32° C．35° D．40°
8．（2022秋•香洲区校级月考）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，
剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的边数可能是 ．
9．（2021秋•克东县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可
分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4
个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．
10．（2023•灞桥区校级四模）若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，
则这个多边形的内角和是 度．
11．（2022秋•庆云县校级月考）一个多边形的内角和等于外角和的4倍，则从
这个多边形一个顶点可以引 条对角线．
12．（2022秋•韩城市月考）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，则图形
中的x的值是 8 5 ．
13．（2022秋•香洲区校级月考）一个多边形的内角和为 1800°，则该多边形的
边数是多少？对角线总条数呢？
