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专题19 瓜豆小题
1．如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动
点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使 ，连接 ，则 长的
最大值为 ．
【解答】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ，
，
， ，
，
，
，
，
即 （定长），
点 是定点， 是定长，
点 在半径为1的 上，
，
的最大值为 ，故答案为 ．
2．如图， ， ，当点 在 上运动时，作等腰 ， ，则 ，
两点间距离的最小值为 ．
【解答】解： ， ，点 在 上运动时， ， ，
为主动点， 为从动点， 为定点，
由“瓜豆原理”， 在 上运动，则 在垂直 的直线上运动，
当 时，如答图：
过 作 于 ，交 于 ，则直线 即为 的运动轨迹， 的长为 ， 两点间
距离的最小值，
， ， ，
，
，
，
，
，
而 ，
， ，在 中可得 ，
，
中可得 ，
故答案为： ．
3．如图，正方形 的边长为2， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，以 为底向右侧作等腰直角 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图1，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，
根据题意知， ， ．
．
．
又 是等腰直角三角形，且 ，
．
在 与 中，，
．
， ．
点 在 所在的直线上运动．
为 边上的一个动点，如图2，
当点 与点 重合时，点 的位置如图所示．
当点 与点 重合时，记点 的位置为 ．
点 的运动轨迹为线段 ．
过点 作 于点 ．
．
正方形 的边长为2，
．
．
故答案是： ．
4．如图，已知点 是第一象限内的一个定点，若点 是以 为圆心，2个单位长为半径的圆上的
一个动点，连接 ，以 为边向 右侧作等边三角形 ．当点 在 上运动一周时，点
运动的路径长是 ．【解答】解：如图，连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得线段 ，连接 、
，
， ，
为正三角形，
为正三角形，
， ，
，
，
在 与 中，
，，
，
即为动点 运动的路径，
当点 在 上运动一周时，点 运动的路径长是 ，
5．如图，正方形 的边长为8， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作 于 ，
于 ，
又 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
是等边三角形， ，
， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，，
，
当 时， 有最小值，即 有最小值，
点 与点 重合时， ，
故答案为5．
6．如图，菱形 的边长为4， ， 是 的中点， 是对角线 上的动点，连接
，将线段 绕点 按逆时针旋转 ， 为点 对应点，连接 ，则 的最小值为
．
【解答】解：如图取 的中点 ，连接 ， ， ，延长 交 于 ，作 于
．
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
， ， ，
，
，，
，
，
，
，
点 在直线 上运动，
根据垂线段最短可知，当点 与 重合时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
7．已知边长为6的等边 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动的过程中，当线段 长度的最小值时，
的长度为 ．
【解答】解：连接 ，
等边 ，
，
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，，
点在直线 上运动，
， ，
点在直线 上运动，
当 时， 最小，
，
，
，
，
，
故答案为 ．
8．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 在线段
上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，点 和点 分别位于 两
侧，则点 运动的路程长是 ．
【解答】解：连接 ，四边形 是矩形，
， ，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
点 在射线 上运动，且 ，
当点 在线段 上从点 至点 运动时，
点 的运动路程是 ，
在 中，设 ，则 ，
，
解得 （负值舍去），
，
即点 的运动路程为 ，
故答案为： ．
9．如图，在 中， ， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，
由点 运动到点 ，连接 ，点 是 的中点，则点 经过的路径长为 ．【解答】解： ， ， ，
，
连接 ， ，
是直径，
，
即 ，
取 ， 的中点 和 ，连接 ， ， ，
在 中，
， 为 、 的中点，
， ，
在 中，
点 、 为 、 的中点，
， ，
，
即 ，
点 在以 为直径的半圆上，
，点 的运动路径长为 ，
故答案为： ．
10．如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连
接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：将线段 绕 顺时针旋转 至 ，连接 ，过 作 于 ，过 作
于 ，如图：
，
，
在 和 中，
，
，
，
在射线 上运动，
，
的长度即是 的最小值，
， ， ，
四边形 为矩形，，
中， ， ，
，
，
故答案为： ．
11．如图，已知点 ， ， ，动点 在线段 上，点 、 、 按逆时针顺
序排列，且 ， ，当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径长为 6
．
【解答】解： 点 ， ，
，
，动点 在线段 上， ， ，
， 为主动点， 为从动点， 为定点，
由“瓜豆原理”得 运动路径 与 运动路径之比等于 ，
点 运动的路径长为 ，
故答案为：6．
12．如图，在 中， ，点 在 边上， ， ，点 是边 所在直
线上的一动点，连接 ，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值
为 ．【解答】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作 于 ，
， ，
，
是等边三角形， ，
， ， ，
，
将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
当 有最小值时， 有最小值，
由垂线段最短可得：当 时， 有最小值，此时， ， ， ，
四边形 是矩形，
，
故答案为： ．
13．如图， 的直径 ， 为 上动点，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 得到
，连结 ，则 的最大值为 ．
【解答】解：如图，以 为边在 的下方作等腰直角三角形 ，连接 ， ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，，
，
当 有最大值时， 有最大值，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最大值为 ，
的最大值为 ，
故答案为：
14．如图，矩形 中， ， ，点 为对角线 上一动点， ， ，
于点 ，连接 ，当 最小时， 的长为 ．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，，
即在点 的运动过程中， 的大小不变且等于 ，
当 时， 最小，
设此时 ，
，
，
，
，
，
代入 ，解得 ，
，
，
．
，
故答案为： ．
二．解答题（共4小题）
15．如图，在等边 中， ， ，垂足为 ，点 为 边上中点，点 为直线
上一点．当点 为 中点，点 在边 上，且 ，点 从 中点 沿射线
运动，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当 最小时，直接写出
的面积．【解答】解：以 为顶点， 为一边，作 ， 交 于点 ，过点 作
于点 ，设 交 于点 ，如图，
中， ，
最小即 最小，此时 、 、 共线，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
在射线 上运动，则点 在 上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点， 是从动点，
为定点， ，则 、 轨迹的夹角 ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
等边 中， ， ，
，
又 ，
等边 中， ，点 为 的中点，点 为 中点，
， ，
中， ， ，
， ，
中， ，
，
．
16．若 ，以点 为圆心，2为半径作圆，点 为该圆上的动点，连接 ．
（1）如图1，取点 ，使 为等腰直角三角形， ，将点 绕点 顺时针旋转
得到 ．
①点 的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆” ；
② 的最小值是 ；
（2）如图2，以 为边作等边 （点 、 、 按照顺时针方向排列），在点 运动过程
中，求 的最大值．
（3）如图3，将点 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，连接 ，则 的最小值为 ．【解答】解：（1）①连接 、 ，如图1所示：
是等腰直角三角形， ，
，由旋转的性质得： ， ，
，
在 和 中， ，
，
，即点 到点 的距离等于定长，
点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
② 是等腰直角三角形， ，
，
当点 在线段 上时， 最小 ；
故答案为： ；
（2）以 为边长作等边 ，连接 、 ，如图2所示：
和 是等边三角形，
， ， ，
，在 和 中， ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 有最大值 ；
（3）如图3所示： 点的轨迹是以 为直径的一个圆 ，
则 ， ，
则 是梯形 的中位线，
，
连接 ，
则 ，
， ，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为： ．17．如图， 的半径为2， 到定点 的距离为5，点 在 上，点 是线段 的中点，若
在 上运动一周．
（1）点 的运动路径是一个圆；
（2） 始终是一个等边三角形，直接写出 长的取值范围．（1）思路引导
要证点 运动的路径是一个圆，只要证点 到
定点 的距离等于定长 ，由图中的定点、定
长
可以发现 ， ．
【解答】（1）解：连接 、 ，取 的中点 ，连接 ，如图1所示：
则 是 的中位线，
，
点到 点的距离固定为1，
在 上运动一周，点 运动的路径是以点 为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接 并延长 交 于点 、 ，如图2所示：
是等边三角形，点 是线段 的中点，
， ，
，
当点 运动到点 位置时，点 运动到点 位置， 最短，
，
，
；
当点 运动到点 位置时，点 运动到点 位置， 最长，
，
，
；长的取值范围是 ．
18．如图①，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
连接 ，点 是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点 不与点 、 重合时，作直线 ，交直线 于点 ，若 的面积是 面
积的4倍，求点 的横坐标．
（3）如图②，当点 在第一象限时，连接 ，交线段 于点 ，以 为斜边向 外作
等腰直角三角形 ，连接 ， 的面积是否变化？如果不变，请求出 的面积；如
果变化，请说明理由．【解答】解：（1） 二次函数经过 ， ，
代入得 ，
解得 ，
所以二次函数的表达式为 ．
（2）①如图所示，当 在 轴上方时，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
可得 ，
，
，
，
，
设点 ，
， ，
， ，，
，
点的坐标可表示为 ， ，
， 为二次函数与 轴交点，
，
可得 的解析式为 ，
在 上，
，
解得 或 ．
②如图所示，当 在 轴下方时，
同理①可求出 点的横坐标为 或 ，
，
当 点横坐标为 时， 在抛物线的 段，
综上所述， 点的横坐标为 或 或 ．
（3）如图所示，以 为底在 轴上方作等腰直角三角形 ，连接 ，过点 作 轴
于点 ，和 均为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
两条平行线之间的距离相等，
在运动时， 到 的距离保持不变，其距离都等于 的长，
在等腰直角三角形 中， ，
，
．
综上所述， 的面积不变，为4．
