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02卷 第三章 导数及其应用《真题模拟卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在
上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知命题 对任意 ，总有 ；
是方程 的根
则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
4．函数 的图像大致为
A． B．
C． D．
5．已知函数 有唯一零点，则A． B． C． D．1
6．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程
的不同实根个数是
A．3 B．4
C．5 D．6
8．已知函数 连续，则常数 的值是
A．２ B．３ C．４ D．５
9．已知 ，其中 ，则 的值为
A． 6 B． C． D．
10．已知m∈N*，a，b∈R，若 ，则a·b=
A．-m B．m C．-1 D．1
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．函数 在其极值点处的切线方程为____________.
12．若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是
_________
13．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在上的最大值与最小值的和为__________．
14．曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
15．已知函数 ，其中e是自然数对数的底数，若
，则实数a的取值范围是_________．
16．设 ，其中 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个
实根的是________.（写出所有正确条件的编号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
.
17．已知 为双曲线 的左焦点， 为 上的点，若 的长等于虚
轴长的 倍，点 在线段 上，则 的周长为________.
18．设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于___________．
三、解答题
19．已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
20．设函数 ， 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．21．已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M
（a），当M（a）最小时，求a的值．
22．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的
取值范围.
23．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求
出 的所有值；若不存在，说明理由.
24．设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
25．已知实数 ，设函数（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
26．已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
27．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
28．
已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x，ln x)处的切线也是曲线
0 0 0
的切线.
29．已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
30．函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
31．
已知函数 ，且 ．
（I）试用含 的代数式表示 ；（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）令 ，设函数 在 处取得极值，记点
，证明：线段 与曲线 存在异于 、 的公共
点．
32．已知函数f(x)= -ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
33．设函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若当 时 恒成立，求 的取值范围．
34．记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，
使函数 与 在区间 内存在“ 点”，并说明理由．
35．（2018年新课标I卷文）已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．36．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
37．已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
38．
设函数 有两个极值点 ，且
（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；
（II）证明：
39．已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
40．已知函数 .
(I)当a=2时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有
极值时求出极值.
41．已知函数 且 .
（1）求a；（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
42．设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时， ，求实数 的取值范围.
43．已知函数 有极值，且导函数 的极值
点是 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围．
44．已知 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明 对于任意的 成立．
45．已知函数 ， ．
（1）当 为何值时， 轴为曲线 的切线；
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨
论 零点的个数．
46．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的
底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
47．已知函数 其中a>0.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,
记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值．
48．（满分16分）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
（1）证明： 是 上的偶函数；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范
围；
（3）已知正数 满足：存在 ，使得 成立，试比较
与 的大小，并证明你的结论.
49．已知函数
（1）求 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求
的取值范围
50．已知函数
若 在 上的最大值和最小值分别记为 ，求 ；
设 若 对 恒成立，求 的取值范围.
