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02卷第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ《真题模拟卷》
－2022年高考一轮数学单元复习
第I卷（选择题）
一、单选题
1．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】
由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选
项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象
的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2．若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分
类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
4．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意
，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】
时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变
为原来的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得：
， （舍）， 时，
成立，即 ， ，故选B．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需
加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
5．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】
试题分析：因为 ，代入条件等式再相加，得 ．故选B．
考点：函数奇偶性的应用．6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该市这两年生产总值
的年平均增长率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：设这两年年平均增长率为 ，因此 解得 ．
考点：函数模型的应用．
7． 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在R上为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
【答案】D
【详解】
表示不超过 的最大整数,则 ,
所以 ,
即 是周期为1的周期函数.
故选：D．
8．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间 上单调递增函数，故选A．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
9．已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，
，从而 ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
10．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围
是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
是奇函数，故 ；又 是增函数， ，即
则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为 ，从而求得正解.
11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数
m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
当 时， ， 单调递减，且 ， 单
调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当 时， ，
在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选
B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结
合求解．
12．设函数 ，则 的值为
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
因为 时，
所以 ；
又 时， ，
所以 故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
13．函数 在 单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的 的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式 化为 ，解得答案．
【详解】
解：由函数 为奇函数，得 ，
不等式 即为 ，
又 在 单调递减，所以得 ，即 ，
故选：D.
14．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
由 计算出 的取值范围，由此可计算出函数 的定义域.
【详解】
对于函数 ， ，可得 ，
因此，函数 的定义域是 .
故选：C.
15．设 为定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】
先利用奇偶性和周期性求出 和 ，即得结果.
【详解】
解： 是定义在 上的奇函数， ，满足 ，
，又 ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.
16．已知函数 ，其中 表示不超过x的最大整数.设 ，定义函
数 ，则下列说法正确的有（
）个.
① 的定义域为 ；
②设 ， ，则 ；③ ；
④ ，则M中至少含有8个元素.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
先对 分两段 和 化简 ，再对各项分析判断正误：
对①，由 ，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；
对②，由题中的对应法则，求出集合 ，判断正误；
对③，计算 得到其周期性，计算得到 ，判断正误；
对④，综合①②③的分析，判断正误.
【详解】
当 时， ；当 时， ，
则
对①，有 ，则 或 ，得 ，
即定义域为 ，故①正确；
对②，当 时， 成立；
当 时， 成立；
当 时， 成立，
所以 故②项正确。对③， ， ，
，
一般地
即有
故③正确。
对④，由①可知, 所以 则 所以 ，
由②知, 对 恒有 所以 则 ，
由③知 ，对 恒有 所以
综上所述, ，所以 中至少含有8个元素，故④正确。
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑
推理能力，难度较大.
17．已知 是定义在 ， 上的偶函数，且在 ， 上为增函数，则 的解集为
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
由偶函数定义域的对称性可求 ，从而可得 在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数，距
离对称轴越远，函数值越小，可求．
【详解】
解： 是定义在 ， 上的偶函数，
，
，
在 ， 上为增函数，
在 ， 上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，
由 可得 ，且 ，且 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性
质的应用．
18．设 是R上的奇函数，且 ，当 时， ，则 =（ ）
A．1.5 B．-1.5 C．0.5 D．-0.5
【答案】D
【分析】
根据 与 是R上的奇函数,可将 中 转换到 中进行求解即可.
【详解】由 有 ,
又 是R上的奇函数则 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了函数性质求解函数值的方法,属于基础题型.
第II卷（非选择题）
二、填空题
19．函数 的定义域是_____.
【答案】 .
【分析】
由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】
由已知得 ,
即
解得 ，
故函数的定义域为 .
【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集
即可．
20．已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)
max
；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)
min
.有关
二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴
位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
21．已知 为奇函数， ，则 ．
【答案】
【分析】
根据题意，得到 ，再由奇函数性质，即可得出结果.
【详解】由 得 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇函数性质即可，属于基础题型.
22． 设函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝________.
【答案】
【详解】
因为函数f(x)＝ 为奇函数，
经检验符合题意.
故答案为 .
23．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】
先求 ，再根据奇函数求
【详解】
，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
24．已知奇函数 的定义域为 且在 上连续.若 时不等式 的解集为 ，则时 的解集为______.
【答案】
【分析】
当 时，易得 的解集为 ；利用奇函数的性质可得当 时，
的解集为 ，令 即可得解.
【详解】
由题意可得当 时， 的解集为 ，
由奇函数的性质可得当 时， 的解集为 ，
令 ，则 的解集为 ，
即当 时， 的解集为 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.
25．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
__________.【答案】
【分析】
先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，所以函数 的定义域为 且 ，
又 ，∴ 为偶函数.
当 时，令 ，
∵ ，∴ 在 上是增函数，
易知函数 在 上是增函数，∴ 在 上是增函数.
又 为偶函数，∴ ，
∴由 ，得 ，
解得 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，其中解答中根据根据的解析式得到函数的奇偶性和单调
性是解答的关键，着重考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档试题．
26．若 且满足 ，令 ，则M的最大值为__________．
【答案】【分析】
由 得 ，代入第二个等式整理后，作为关于 的方程有实数解，由 得 的取
值范围，此方程作为 的二次方程有实数解，同样由 得 的范围，如果消去 代入得
二次方程，由 得 取值范围，可确定 值．最后比较大小确定最大值.
【详解】
因为 ，所以 ， 代入 整理得 ，作为
的二次方程它有实数解，
所以 ，解得 ，
此方程整理为 ，关于 的方程有实数解，则 ，解得
，
若由 代入整理得 ，同理由 得
，
∵ ，
∴由 得 的最大值是 ，此时 或
．
故答案为： ．【点睛】
本题考查新定义 ，理解新定义数 是解题关键，解题时通过消元法得一个一元二次
方程，利用一元二次方程有实数解，判别式 分别求出 的取值范围，然后求得最大值，只要取这
个最大值时， 有对应的取值即可．
27．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 （ 为自然对数的底数，
k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33℃的
保鲜时间是___________
【答案】6.
【分析】
根据该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，由 求得函数，再
令 求解.
【详解】
因为该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
当 时， .
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.28．设函数 ，若 恒成立，则实数 的值为_____.
【答案】
【分析】
因为 恒成立，所以 ，解得 或 ，验证 和 ，即可得出 的
值.
【详解】
因为 恒成立，所以
即 ，解得： 或
当 时， ， ，则 不满足条件
当 时， ， ，则 满足条件
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.
29．已知 ，则不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
当 时， ，解得 ；当 时，，恒成立，解得： ，合并解集为 ，故填：
.
30．函数 ，若 ，则
【答案】9.
【分析】
把 看成一个奇函数 和常数2的和，根据奇函数的性质求值.
【详解】
令 ，则 是奇函数，
∵ ，
∴
故答案为9.
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求值.关键在于原函数的拆分.
31．已知函数 ,对任意实数 都有 成立，
若当 时， 恒成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】故答案为 .
三、解答题
32．函数 ， ，其中 表示不超过 的最大整数，例 ， .
（1）写出 的解析式；
（2）作出相应函数的图象；
（3）根据图象写出函数的值域.
【答案】（1） ；（2）图象见解析；（3） .
【分析】
（1）根据题意，分别求出 ， ， 时的 ，代入解析式即可得答案；
（2）根据解析式，作出图象即可；
（3）根据图象，直接可得到 的值域.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上 ；
（2） 图象如图所示： ；
（3）由图象可得 的值域为
33．函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）确定 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）增函数，证明见解析；（3） .
【分析】
（1）由函数 是奇函数，根据 ，求得 ，进而根据 ，求得 ，即可求得函
数的解析式；
（2）利用函数的单调性的定义，即可得到函数的单调性；（3）把不等式 转化为 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由函数 是定义在 上的奇函数，
可得 ，解得 ，
经检验， 时， 是 上的奇函数，满足题意
又 ，解得
故 .
（2）函数 在 上为增函数.
证明如下：
在 任取 且 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上为增函数.
（3）因为 为奇函数所以 ，
不等式 可化为 ，即 ，又 在 上是增函数，所以 ，解得
所以关于 的不等式解集为 .
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题，其中解
答中熟记函数的单调性的定义，合理应用函数的单调性与奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算
能力.
34．设 ，求证
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将 代入 ，化简即可证明结论；（2）将 代入 ，化简即
可证明结论.
试题解析：（1） ， .
(2) ， .
四、双空题
35．在实数集 中定义一种运算 ，满足下列性质：
①对任意的 ， ；②对任意的 ， ， ；
③对任意的 ， ， ， ；
则 ______，函数 的最小值为______．
【答案】12 6
【分析】
利用新定义运算，转化 ，再由性质③，①可得；
这样可得 ，函数 ，再
由基本不等式可得最小值．
【详解】
根据定义可得 ；
，当且仅当 时等号成立．
故答案为：12；6．
【点睛】
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义运算，利用定义把新运算转化为熟悉的运算：加减乘除、
乘方、开方．
36．已知函数 ，则 值为______；若 的值为______.
【答案】2 19
【分析】
利用对数的运算性质求和即可；由 对 两两组合求和即可得解.【详解】
；
.
故答案为：2；19
【点睛】
本题考查对数的运算性质、函数值求和，属于基础题.
