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02 卷第五章 平面向量、复数《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知 中， ， .若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量 ， 满足 ， ，则向量 ， 的夹角
为（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ， 为
线段 上的动点(包括端点)，则 的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．20 D．305．已知向量 ，满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为（
）
A． B． C． D．
6．已知非零向量 满足 ，向量 的夹角为 ，且 ，
则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正六边形 中，向量 在向量 上的投影向量是 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知 是 所在平面内一点， 为 边中点﹐且 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
9．若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C．1 D．211．若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
12．若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ）
A． B． C． D．
13．复数 （ 为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
14．己知复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数
（ ）
A．2 B． C． 或2 D．
15．若 ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
16．已知复数 ， 为 的共轭复数，复数 ，则下列结论正确的是（
）
A． 对应的点在复平面的第二象限 B．
C． 的实部为1 D． 的虚部为
17．已知复数 ， ，则下列结论：①若 ，则 ；②若
，则 ；③ ；④ ；⑤
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题
18．在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，则
（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量的模为2 D．
19．已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点分别为 ， ，
若 ，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．3
20．对于任意两个向量 和 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， 满足| |>| |，且 与 反向，则 <
B．
C．
D．
21．如图，B是AC的中点， ，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，
且 ，则下列结论正确的是（ ）A．当P在C点时， ，
B．当 时，
C．若 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P是线段CE的中点时， ，
22．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， 不共线， ， ，则向量 ， 可以作为一组基
底
B． 中， ，则 使直角三角形
C．若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 使
等腰三角形
D．对于任意向量 ， ，都有
23．下列说法错误的是（ ）
A．若点G为 的重心，则
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
D．若非零向量 ，且 ，则 为等边三
角形
24． 中， ， ， ，在下列命题中，是真命题的有（ ）
A．若 且 ，则 为锐角三角形B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则 为等边三角形
D．若 ，则 为直角三角形
25．已知点 在 所在平面内，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 是 的外心
B．若 ，则 是 的重心
C．若 ，则 是 的垂心
D．若 ，则 是 的内心
26．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新
春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目
的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边
形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为4，圆O的圆心为正六边形的
中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动， 为圆O的直径，则 的
取值可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
27．复数 ，则下列结论正确的是（ ）A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点位于第一象限
C． D．若 ，则
28．已知复数 满足 ，则下列关于复数 的结论正确的是（ ）
A． B．复数 的共轭复数为
C．复平面内表示复数 的点位于第四象限 D．复数 是方程 的一个
根
29．若复数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
30．已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． D． 在复平面内对应的点位于第三象限
31．已知复数 在复平面内对应的点为P，则（ ）
A．P在第二象限 B．P在第四象限
C． D．z的虚部为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
32．已知正六边形 ，若 ， ，则 用 ， 表示为
________．
33．已知向量 满足 若对任意实数x都有 ，则
的最小值为_________．34．已知向量 ､ 的夹角为 ， ，且对于任意的 ，都有 ，
则 ___________.
35．在等腰梯形 中， ， ， 是腰 上的动
点，则 的最小值为______________.
36．若向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为
_________.
37．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 的值为______．
38．已知向量 ， ， ，若 ，则实数
______．
39．已知非零向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角是_______．
40．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦
值为_______．
41．已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ，则 的最小值为
________.
42．若向量 ， ， ，则 _______．
43．在边长为2的正 中，点D在边 上，点E是 中点，若
，则 ______．
44．己知复数 ， 满足 ， ，若 （ 为虚数单位），
则 ______．45．已知 个两两互不相等的复数 、 、 、 、 、 ，满足
，且 （其中 、2； 、1、2、 、
），则 的最大值为_______
46．已知 为虚数单位，若复数 ， 为 的共轭复数，则 等于
___________．
47．已知复数 ， ，则 ___________.
48．已知实数 满足 （i是虚数单位）， ，则实数 的值为
_______．
四、双空题
49．已知点 是边长为4的正方形 内部（包括边界）的一动点，点 是边
的中点，则 的最大值是______； 的最小值是______.
50．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A，B分别在x轴非负半轴
和y轴的非负半轴上滑动，顶点C在第一象限内， ，设 ．
若 ，则点C的坐标为________；若 ，则 的最大值为
__________51．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________；
的最小值为____________．
52．已知单位向量 与 ，满足 ，则 与 的夹角为__________；若向量
满足 ，则 的取值范围是__________．
53．已知四边形 ， ， ， ，且
，（i） ___________；（ii）若 ，动点 在线段
上，则 的最大值为___________.
54．已知 ， 夹角为120°， ， . 与 夹角为150°，如图所示位置
，若 ， ___________， ___________.55．为了解决“一元二次方程 中 无
实根”的问题，瑞士数学家欧拉于 年引入了一个新数“ ”，使“ ”，于
是在 时也有求根公式：“ ”，从而解决了 世纪意大利数学家
卡丹在其著作《大术》中提出的问题：“将 分成两个数，使它们的乘积等于 ”，
则这两个数分别为：_________，__________.
56．设复数 满足 （ 是虚数单位），则 ______， 的虚部为
______．
57．若 ( 为虚数单位)，则 ___________， 的虚部为___________.
五、解答题
58．设向量 ， ， ．
（1）若向量 ，求 ．
（2）若向量 与向量 的夹角为 ，求 ．
59．已知向量 ， 满足 ， ， .
（1）求 与 夹角 的余弦值；
（2）若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
60．如图所示，在 中，已知 ， ， ， 为 边
上的高.（1）求 ；
（2）设 ，其中 ， ，求 的值.
61．在 中， ，设 （ 、 为实数）.
（1）求 ， 的值；
（2）若 ， ，求 .
62．如图，在 中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足
．
（1）若 ，用向量 ， 表示 ；
（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
63．已知向量 ， ，若 与 的夹角为 ．
（1）求 ；
（2）向量 与 互相垂直，求实数 的值．
64．已知点O，A，B，C的坐标分别为 .
（1）若 ，求实数t的值；
（2）是否存在实数t，使得 成立?解释你所得结论的几何意义.
65．如图，在 中，已知 ，且 ， ，．
（1）求 ；
（2）设 与 交于点 ，求 的余弦值大小．
66．如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
为 与 的交点，且 ．
（1）试用 ， 表示 ；
（2）若 ， ， ，求 ．
67．已知 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，若 ，求 ， 的值．
68．在平行四边形 中， ．
（1）用 表示 ；
（2）若 ，求 ；（3）若 ，求 ．
69．我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决
问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学
思想.例如：如图甲，在 中，D为 的中点，则
，两式相加得 ，因为
D为 的中点，所以 ，于是 .请用“算两次”的方法
解决下列问题：
（1）如图乙，在四边形 中，E，F分别为 的中点，证明：
.
（2）如图丙，在四边形 中，E，F分别在边 上，且 ，
， ， ， 与 的夹角为 ，求 .
70．已知 为虚数单位，复数 ，且 为纯虚数.
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的模.
71．己知 ， 、 是关于 的方程 的两根．
（1）若 ，求 的值；（2）用 表示 ．
72．（1）计算： ．
（2）若复数z满足方程： （ 为虚数单位)，求 和 ．
73．设复数 （其中 ， ）， ， （其中 ）．
（1）设 ，若 ，求出实数 的值；
（2）若复数 满足条件：存在实数 ，使得 与 是某个实系数一元二次方程的两个
虚数根，求符合条件的复数 的模的取值范围．
74．已知复数 满足 ， 的实部大于0， 的虚部为2.
（1）求复数
（2）设复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A，B，C，点 满足 和
共线，求 的值.
75．已知复数 ， ， .
（1）若 为实数，求角 的值；
（2）若复数 ， 对应的向量分别是 ， ，存在 使等式
成立，求实数 的取值范围.
76．已知复数 ( 是虚数单位)是关于x的实系数方程 在复数范
围内的一个根.
（1）求p+q的值；
（2）复数 满足 是实数，且 ，求复数 .
