文档内容
8.1 基本立体图形及几何体的表面积与体积
思维导图
知识点总结
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且 多边形 互相 且
相交于 ，但不一
侧棱 延长线交于
定相等侧面形状 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于 延长线交于
等， 于底面
轴截面 等腰梯形 圆面
侧面展
扇环
开图
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴、y′
轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观
图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝ S ＝ S ＝
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
4.简单几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝
表面积 侧 底
S ＝S ＋S ＋S
台体(棱台和圆台) 表面积 侧 上 V＝
下
球 S＝ V＝
[常用结论]
1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的
棱长).
4.直观图与原平面图形面积间的关系S ＝S
直观图 原图形.
典型例题分析
考向一 基本立体图形和直观图
角度1 结构特征
例1 给出下列四个命题，正确的是( )
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
感悟提升 空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条
件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
角度2 直观图
例2如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，
那么原平面图形的面积是( )
A.2＋ B.C. D.1＋
感悟提升 1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，
长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：
S ＝S
直观图 原图形.
角度3 展开图
例3(1) (2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A B C 中，AB＝AA ＝2，F是线段A B 上的动点，
1 1 1 1 1 1
则AF＋FC 的最小值为________.
1
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半
径(单位：cm)是________.
感悟提升 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与
表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
考向二 面积与体积
角度1 侧面积与表面积
例4(2023·长沙质检)如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A B C D )模型其上、下底面均
1 1 1 1
为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且A A＝B B＝C C＝D D.若该容器模型的体积为 cm3，
1 1 1 1
则该容器模型的表面积为________.角度2 体积
例5 (1)(2023·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底
面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角
形内切，则此铜镞的体积约为( )
A.0.25 cm3 B.0.65 cm3
C.0.15 cm3 D.0.45 cm3
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄
入某水库.已知该水库水位为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 140.0 km2；水位为海拔
157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3(3)(2023·潍坊模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：
“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面
为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与
平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A.4立方丈 B.5立方丈
C.6立方丈 D.8立方丈
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别为棱BB ，AB的中点，
1 1 1 1 1
则三棱锥A －D MN的体积为________.
1 1
感悟提升 1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应
侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何
体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
基础题型训练
一、单选题
1．半径为1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示， 是水平放置的 的直观图， 轴， 轴， ， ，则
中， （ ）
A． B． C． D．
3．用斜二测画法画水平放置的 的直观图 如图所示，则在 的三边及中线AD中，最长
的线段是（ ）A．AB B．AD C．BC D．AC
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3 π C．6 π D．6π
6．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体
在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．2二、多选题
7．下列关于圆柱的说法中正确的是（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转 所形成的几何体是圆柱
8．下列命题正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
三、填空题
9．半径为 的球的表面积为___________.
10．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．
11．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以 为半径作球面，那么该球
面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为__________.
12．往一球型容器注入 cm3的水，测得水面圆的直径为 cm，水深为 cm，若以 cm3/s的速度往该容
器继续注水，当再次测得水面圆的直径为 cm时，则需经过______s.
四、解答题
13．作出圆锥的直观图.
14．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是 与 .如图所示，俯视图是一
个边长为 的正方形.（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 为圆柱上下底面的圆心， 为球
心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，求 的
取值范围．
16．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？提升题型训练
一、单选题
1．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为 ，则该圆锥的母线长为
（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球 ，球 的表面积为 ，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个水平放置的面积是 的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中 ，则等腰
梯形面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥 中， ，二面角 为直二面角，当三棱锥
的体积的最大值为 时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正三棱锥 中， 、 分别是棱 、 的中点，且 ，若侧棱 ，则正三
棱锥 外接球的体积是（ ）A． B． C． D．
6．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A．4 B． C． D．8
二、多选题
7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于
半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）
A．半径是3 B．体积为
C．表面积为 D．表面积为
8．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列
“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）
A．正方体的棱切球的半径为
B．正四面体的棱切球的表面积为
C．等长正六棱柱的棱切球的体积为
D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为
三、填空题
9．已知正方形 的面积为4，其直观图是四边形 ，则四边形 的面积是____________．10．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m．
11．四面体 中， 底面 ， ， ，则四面体 的外接球的表面
积为______
12．在直三棱柱 中， ， ， ，则此直三棱柱的外接球的表面积是
______．
四、解答题
13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上､下底面积之比是1：16，圆台的母线长为15，求圆锥的母线长.
14．在三棱锥 中， ， ， ， ，侧棱SB与底面ABC垂直，求三棱锥
的外接球半径.
15．在如图所示几何体中，平面 平面 ， ， ， ， ，
．若该几何体左视图（侧视图）的面积为 ．
（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积 ；
（2）求出多面体 的体积 ．
16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，
求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
