文档内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：基本立体图形
角度1：结构特征
角度2：直观图
角度3：展开图
题型二：空间几何体的表面积与体积
角度1：表面积和侧面积
角度2：体积
角度3：蚂蚁爬行最短问题
题型三：空间几何体的外接球
角度1：补形法
角度2：对棱相等型
角度3：借助三角形外心确定球心
题型四：空间几何体的内切球
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
1.1棱柱（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
1.2棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的 分
类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
1.3棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
2、旋转体的结构特征
2.1圆柱
（1）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
2.2圆锥
（1）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
2.3圆台
（1）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
2.4球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
知识点二：直观图
1、空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴相交于点 , 画直观图时，把它们分别画成对应
的 轴与 轴，两轴交于点 , 且使 ”(或 ）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于 轴 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴、 轴或
轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍
然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体（棱柱，圆柱）
椎体（棱锥，圆锥）
台体（棱台，圆台）
球
知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台
图示
侧面积公式
常用结论
1.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南商丘·高一期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定
是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选:D.
2．（2022·广东珠海·高一期末）正四棱台的上､下底面边长分别为 ，侧棱长为 ，则棱台的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为 ，腰长为 ，所以斜高为
.
所以侧面积为 ( ).
故选：B.
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的
（ ）
A． 倍 B．4倍 C． 倍 D． 倍
【答案】C
若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的 倍，
则球体积扩大为原来的 倍.
故选：C
4．（2022·山东聊城·高一期末）某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径
为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最
短长度为___________cm.
【答案】
由圆锥侧面展开为半径为40cm，弧长为 cm的扇形，
所以圆心角为 ，而该扇形圆心角所对的弦长为最短金色彩线长度，
故所用金色彩线的最短长度为 cm.
故答案为：5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）如图， 是用斜二测画法得到的 的直观图，其
中 ， ，则AB的长度为______.
【答案】
如图，在原图形中， ， ，
，
故答案为： ．
6．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球
的表面积为______________．
【答案】
由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，
所以 ，所以
所以外接球的表面积 .
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本立体图形
角度1：结构特征
典型例题例题1．（多选）（2022·江西上饶·高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
【答案】BD
根据空间几何体的定义，
对于A，如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误；
对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，
正确；
对于C，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，
错误；
对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确；
故选：BD.
例题2．（2022·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】C
棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，A错；
用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，B错；
四面体是三棱锥，它的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；
棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，D错．
故选：C．
角度2：直观图
典型例题
例题1．（2022·广东广州·高一期末）如图所示， 是水平放置的 的斜二测直观图，其中
，则以下说法正确的是（ ）A． 是钝角三角形 B． 的面积是 的面积的2倍
C．B点的坐标为 D． 的周长是
【答案】D
根据题意，将 还原成原图，如图，
对于A， 中，有 ， ，所以 ， ，故 是等腰直
角三角形，A错误；
对于B， 的面积是 ， 的高为 ，
所以 的面积为 ， 的面积是 的 倍，B错误；
对于C，因为 ，B的坐标为 ，C错误；
对于D， 的周长为 ，D正确
故选：D.
例题2．（2022·广西贵港·高一期末）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，
，则原图的面积为___________.
【答案】
由题可得 ，所以原图的面积为 .故答案为：
角度3：展开图
典型例题
例题1．（2022·浙江·温州中学高二期末）若圆锥侧面展开图是圆心角为 ，半径为1的扇形，则这个圆
锥表面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题， ， ， ，故
故选：C
例题2．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（
）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为 ，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则 ，解得 ，
则圆锥的高
故选：C题型归类练
1．（2022·山西吕梁·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形 B．直四棱柱是长方体
C．平行六面体不是棱柱 D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
【答案】A
对A，根据直观图的定义，三角形的直观图是三角形，故A对；
对B，底面是长方形的直四棱柱是长方体，故B错；
对C，平行六面体一定是棱柱，故C错；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，不是棱台，故D错；
故选：A
2．(多选）（2022·广西梧州·高一期末）给出下列命题：
①长方体是四棱柱；
②直四棱柱是长方体；
③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；
④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．
则正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AD
解：对于①：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，故长方体是四棱柱，故①正确；
对于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直四棱柱不是长方体，故②错误；
对于③：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中心，这样的棱锥不是正棱锥，故
③错误；
对于④：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，
它们必相交于一点，故④正确；
故选：AD
3．（2022·重庆·高一阶段练习）如图， 表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图，
在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则 的边 上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
过 做 轴的平行线，交 轴与点 ，作 轴，垂足为 ，如图所示：
则 ， ，
由斜二测画法规则知 在原图中对应的点为 在 轴上，且 ，
此即为 的边 上的高．
故选：D．
4．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 平行于 轴， 与
平行于 轴．已知四边形 的面积为 ，则原平面图形的面积为________ ．
【答案】
设 ， ， ，在四边形 中， ，
因为在四边形 中，边 平行于 轴， 与 平行于 轴，
所以， ，可得 ，
设原图形为梯形 ，在平面直角坐标系 中，如下图所示：
则 平行于 轴， 、 平行于 轴，且 ， ， ，
因此，原图形的面积为 .故答案为： .
5．（2022·云南楚雄·高一期末）若一个圆锥的底面面积为 ，其侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该
圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设该圆锥的底面半径为r,则 ，
所以该圆锥的底面半径 ，
设圆锥的母线长为 ，则 ，即 ，
则圆锥的高为 ，
因此该圆锥的体积 ，
故选:B
6．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该
花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 ，则该花盆的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圆台的侧面展开图如图所示，设圆台的母线长为 ，即 ，由题意得 ，设 ，则根
据题意可得 ，解得 ，
所以圆台的高为 ，
所以圆台的体积为
，
故选：A题型二：空间几何体的表面积与体积
角度1：表面积和侧面积
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知一个圆锥的底面半径为 ，其体积为 ，则该圆锥的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为 ，
则 ， ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以该圆锥的侧面积为 .
故选：D
例题2．（2022·河南驻马店·高一期末）已知三棱柱 中，所有棱长均为6，且
，则该三棱柱的侧面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由于三棱柱 的所有棱长均等于6，且 ，
所以点 在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的 的角平分线上，所以 平面ABC，延长 交 于点 ， 为 的中点，
所以 ， ，所以 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，又因为 ， ，
所以矩形 的面积为 ，正三角形 的面积为： ，
四边形 ， 的面积为： ，
所以该三棱柱的表面积等于 .
故选：D.
例题3．（2022·重庆市第七中学校高一期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为
2，则该四棱台的表面积为______．
【答案】 ##
如下图所示： ，
所以 ，
所以该四棱台的表面积为： ，
故答案为：
角度2：体积
典型例题
例题1．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥，底面为等边 ， 为 边中点，且 底面
，(1)求三棱锥体积 ；
【答案】(1)1
因为 底面 ， ，又因为O为AC边中点， ，所以 为正三角形，
，又因为底面为等边 ， ，所以 .
例题2．（多选）（2022·江苏苏州·高一期中）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱
的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
因为圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，
所以当圆柱的高为4cm，则底面周长为6cm，设底面半径为 ，则
，得 ，
所以此时圆柱的体积为 ，
当圆柱的高为6cm，则底面周长为4cm，设底面半径为 ，则
，得 ，
所以此时圆柱的体积为 ，
综上，圆柱的体积可能为 或 ，
故选：AC例题3．（2022·四川乐山·高二期末（文））成都天府广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方
体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱长为 的正方体截出的半正多面体，则该
半正多面体的体积为______．
【答案】 ##
由题意知，该半正多面体的体积为正方体的体积减去8个一样的正三棱锥的体积，
即 .
故答案为： .
角度3：蚂蚁爬行最短问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）在① ；②四边形 的面积为24；
③四边形 的周长为20；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，
如图，四边形 是圆柱的一个轴截面， ，且__________．
(1)求该圆柱的体积：
(2)若用一细绳从点 绕圆柱一周后到达 处（如图），求细绳的最短长度．
【答案】(1)(2)
(1)解：（1）选择①，
由题意可得圆柱的底面圆的半径 ，高为 ，
则该圆柱的体积为 ．
选择②，
由题意可得圆柱的底面圆的半径 ，高为 ，
则该圆柱的体积为 ．
选择③，
由题意可得圆柱的底面圆的半径 ，高为 ，
则该圆柱的体积为 ．
(2)解：将圆柱沿 侧面展开，如图所示， ， ，
则 ．
故细绳的最短长度为 ．
例题2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长
为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程
为 ，则这个圆锥的表面积为___________.
【答案】 ##作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴ .
设底面圆的半径为r,则有 ,解得 ,
则这个圆锥的表面积为
故答案为：
题型归类练
1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）如图，四边形ABCD为直角梯形， ，
，该梯形绕AB旋转形成的几何体体积为 ，则该几何体的侧面积为
___________．
【答案】
由题知，该几何体为圆台，上底 ，下底
所以 ，解得
所以
则圆台的侧面积为
故答案为：2．（2022·福建莆田·高一期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为 ，则圆台的侧面
积为___．
【答案】
如图所示，依题意，
设下底面圆半径为 ，上底面圆半径为 ，圆台的高为 ，
过点 作 交 于点 ，
在 中， ， ， ， ，
则圆台轴截面的面积 ，
则圆台的侧面积 .
故答案为： .
3．（2022·广东珠海·高一期末）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为
的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积
的最大值为___________ .【答案】
设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为 ,得 ,所以a=8,所
以该圆锥底面圆半径为4，高为 .
设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x,高为h，其中 .
如下图所示：
由 可得： ，即 ，所以 .
所以圆柱冰块的侧面积为 .
由二次函数的性质可得： 当 时， 最大.
故答案为：
4．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）将半径为3，圆心角为 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体
积为（ ）
A． π B． π C．2 π D．4 π
【答案】A
设圆锥的底面半径为 ，则 ，
，
∴圆锥的高为 ，
∴圆锥的体积 .
故选:A
5．（2022·湖南邵阳·高一期末）若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为 ，则该圆台的体积为
_________．
【答案】由题意圆台的高为 ，
体积为 ．
故答案为： ．
6．（2022·全国·高一）如图，在正三棱锥 中， ，
，一只虫子从 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到 点，则虫子爬行
的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
解：如图，
连接 与 分别交于 两点，
将三棱锥由 展开，则 ，
为虫子爬行从点 沿侧面到棱 上的点 处，再到棱 上的点 处，
然后回到点 的最短距离，
∵ ，
∴由勾股定理可得 ，
所以虫子爬行的最短距离4，
故选：A.
7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）长方体 中， ， ， ，则一只小虫从 点沿长方体的表面爬到 点的最短距离是___________．
【答案】5
解：长方体 的表面可如下图三种方法展开后， 、 两点间的距离分别为：
， ， ，
一只小虫从 点沿长方体的表面爬到 点的最短距离是5．
故答案为：5．
8．（2022·全国·高一）如图，已知正三棱柱 的底面边长为1cm，侧面积为 ，则一质点
自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线的长为___________cm.
【答案】
解：将正三棱柱 沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意 ，由侧面积为 ，所以 ，则 ，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线为 ；
故答案为：题型三：空间几何体的外接球
角度1：补形法
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））三棱锥 的顶点都在同一球面上，其中 、 、
两两垂直，且 ， ， ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，将该三棱锥补成长方体 ，
则长方体 的体对角线长为 ，
所以，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，该三棱锥外接球的表面积为 .
故选：C.
例题2．（2022·河南开封·高二期末（文））已知点 ， ， ， 均在同一个球面上，且 平面
， ， ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：在三棱锥 中， 平面 ， ，故可将三棱锥 补形成如图所示的长方体．
若 ， ， ， 为球 的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球 的球面上．
设球 的半径为 ，则该长方体的体对角线长为 ，即 ，从而球的表面积 ，
故选：C．
角度2：对棱相等型
典型例题
例题1．（2022·江西·模拟预测（文））已知三棱锥 中， ， ，
则该三棱锥内切球的表面积为____________．
【答案】
如图，在长方体 中，设 ，
则 ，
所以 ，
故四面体 的体积 ，
四面体 的表面积 ，
设三棱锥内切球的半径为 ，
由等体积可得 ，解得 ，
所以三棱锥内切球的表面积为 .
故答案为： .
例题2．（2022•罗湖区月考）已知在四面体 中， ，则四面
体 的外接球表面积为 ．
答案： ．
【解析】解：如下图所示，将四面体 放在长方体 内，在四面体 中，，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为 ，
所以，该四面体的外接球直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
角度3：借助三角形外心确定球心
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知四面体 的每个顶点都在球 的球面上， 平面 ，
， ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解： 平面 ， 平面 ， ，
根据正弦定理， 外接圆确定．
设 为 外接圆的圆心，则 ， ， ，
球 的体积 .
故选：C.
例题2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在
该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为 ，
所以圆柱的底面圆直径和高都是 ，
所以该圆柱的内切球的半径为 ，如图球 即为该圆柱的内切球，
若该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长 最大，
如图该正四面体 的棱长为 ，
设点 在面 内的射影为 ，即 面 ，
则球心 在 上，且 ，
，
所以 ，
所以 ，
在 中， ，即 ，
整理可得： ，解得 或 (舍) ，
所以 的最大值为 ，
故选：B
例题3．（2022·陕西·长安一中三模（文））如图， 是边长为6的正三角形 的一条中位线，将
沿直线 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球 的表
面积为_____；过 的中点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.【答案】 39π
解：由题意可知，当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，如图所示，
取 的中点 ，连接 ，则 的外接圆的圆心 位于 且靠近点 的三等分点处，
设 的中点为 ，连接 ， ，则 ，
所以 为四边形 的外接圆的圆心，
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，
则两垂线的交点即为四棱锥 的外接球的球心 ，
连结 ，则四边形 为矩形， ，
连结 ，在 中， ，
所以四棱锥 外接球 的表面积为 ；
由题意可知，以 为直径的球 的截面圆的面积最小，
所以最小值为 ．故答案为： ； ．
题型归类练
1．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥 中， ， 底面 ， ，
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：如图所示，将三棱锥 放在长、宽、高分别为 ， ， 的长方体中，
则三棱锥 的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径 ，
∴该球的体积为 .
故选：B
2．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的
三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接
球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径 .
所以三棱锥外接球表面积 .
故选：B.
3．（2022·江苏·高二）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝
PB＝PC＝2，则球O的表面积为（ ）
A．48π B． C．12π D．
【答案】C
如图构造正方体，由题意得球 即为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球 的直径，设球 的半径
为 ，
则 ，则球 的表面积为 .
故选：C.
4．（2022•三模拟）在四面体 中， ， ， ，则其外接球的表
面积为 ．
【解析】解：如下图所示，将四面体 放在长方体 内，设该长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为 ，
由勾股定理得 ，
上述三个等式全加得 ，
所以，该四面体的外接球直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
5．（2022·广西贺州·高一期末）已知△ABC的三个顶点都在球O上， ， ，且三棱锥
，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．36
【答案】D
ABC中， ， ，则
△取 中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心， 平面ABC
则 ，解之得
则球O的半径
则球O的体积为故选：D
6．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球 为三棱锥 的外接球，球 的体积为 ，正三
角形 的外接圆半径为 ，则三棱锥 的体积的最大值为______．
【答案】
设 外接圆的圆心为 ，
因为正三角形 的外接圆半径为 ，即 ，
由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
要使三棱锥 的体积最大，则 平面 ，且球心 在线段 上，
因为球 的体积为 ，所以球 的半径为 ．
在 中，由勾股定理得 ，
所以三棱锥 体积的最大值 ．
故答案为：
7．（2022·安徽省宣城中学高二期末）在三棱锥 中， ，底面 是等边三角
形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值是___________.
【答案】
设三棱锥外接球球心为O，底面ABC边长为a，三棱锥的高为h，
因为 ，即 ，
所以外接球的球心为SA的中点，即为O，
又底面 是等边三角形，设底面 外接圆的圆心为 ，
连接 ，则 底面 ，如图所示则 ， ，
所以三棱锥体积 ，则 ，
外接球的半径 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以三棱锥 的外接球表面积的最小值为 .
故答案为：
8．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）如图， 是边长为4的正三角形 的一条中位线，将
沿直线 翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，过 的中点M作该四棱锥
的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为___________.
【答案】
要使三棱锥 的体积最大，只需高最大，即面 面 .设外接球的球心为O，面BCDE的外接圆的圆心为 ,则球心在过 且垂直于面BCDE的直线m上.
取DE的中点为N，连结 ，则 DE，所以 面 .所以 .
为边长为2的正三角形，过 的外心 作直线n 面 .则m、n的交点即为球心O.
在底面四边形BCDE中，如图示：
设 为BC边的中点，由题意 是边长为4的正三角形 的一条中位线，可得： 和 均为
边长为2的等边三角形.所以 ，即 为面BCDE的外接圆的圆心. .
则 ,即 .
所以外接球半径 .
由球的性质可知：当OM垂直于截面时，截面圆的面积的最小，设其半径为r.
此时所以 .
所以截面圆的面积的为 .
故答案为：
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折起，
使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 .则三棱锥 的体积为
__________， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点
的轨迹的周长为__________.
【答案】
取 中点 ，则 ，
∴ 平面 ， ，又 ，
∴ ，
则三棱锥 的高 ，
三棱锥 体积为 ；
作 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，
设三棱锥 外接球的球心为 的中心分别为 ，易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
解Rt ，得 ，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： ； .
题型四：空间几何体的内切球
典型例题
例题1．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 ，
则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心
为 ，内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则 ，又
，故 ，又 ，
故 ，故该圆锥的表面积为 ，令 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号.
故选：A.例题2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切
球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
有题意可知， ，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以 ，
所以该圆锥的内切球的表面积为 .
故答案为：
题型归类练
1．（2022·四川广安·高一期末（理））若正三棱柱 既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的
内切球和外接球的半径分别为 、 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图， ， ，
因为 为正三角形， 为 的中心，所以 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A
2．（2022·江苏·高二）已知棱长为 的正四面体的外接球表面积为 ，内切球表面积为 ，则
（ ）
A．9 B．3 C．4 D．
【答案】A
如图所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 ，由图形的对称性知，点 也是外接球的球心．设
内切球半径为 ，外接球半径为 ．在Rt 中， ，即 ，
△
又 ，可得 ， .
故选：A．
3．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外
部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面
积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
【答案】
解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为 的中心，
因为 ，所以 内切圆的半径 ，
即内切球的半径 ，所以内切球的表面积 ，
又正三棱柱的高 ，
所以 ，所以 ，
所以 到球面上的点的距离最小值为 ；故答案为： ；
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下
底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即
或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积
为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到
时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．故选：C．
4．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当 即 时等号成立，
故选：C
5．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面
积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
