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专题 09 立体几何
易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是 z ′轴.
(2)画底面：平面 x ′ O ′ y ′表示水平平面，平面 y ′ O ′ z ′和 x ′ O ′ z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，
画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 虚线 .
易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，
(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
A B C D
变形1．如图，梯形 1 1 1 1是一水平放置的平面图形 在斜二测画法下的直观图.若 平行于 轴，
，求梯形 的面积.
变形2．如图所示，正方形 是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中 ．
(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形
OABC与正方形 的各点分别一对应，如OB对应直观图中的 ）
变形3．（1）如图， A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
△（2）在(1)中若 ， 轴且 ，求原平面图形 ABC的面积．
△
1．如图， 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若 的面积是 ，求原图形中 边上的高和原图形的面积.
2．画出图中水平放置的四边形 的直观图 ，并求出直观图中三角形 的面积.
3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知 ， ， ，且
．
(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
4．如图所示，正方形 是一个水平放置的平面图形 的直观图，其中 .(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形
与正方形 的各点分别对应，如 对应直观图中的 ）
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知 ， 且
.
(1)求原平面图形 的面积；
(2)将原平面图形 绕 旋转一周，求所形成的几何体的体积.
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知 ，且
∥ ．
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
7．如图，梯形 是水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图，已知 ， ，
．(1)在下面给定的表格中画出四边形 （不需写作图过程）；
(2)若四边形 以 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结
构特征，并求该几何体的体积．
8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图 是边长为2的菱形，且 ，求原平面图形的周
长．
9．如图所示， 为四边形OABC的斜二测直观图，其中 ， ， ．
(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
10．如图，矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中 ，
.(1)画出平面四边形 的平面图，并计算其面积；
(2)若该四边形 以 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
11．在 中，角 所对边分别为 ，若 .
(1)证明： 为等边三角形；
(2)若（1）中的等边 边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.
注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.
易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）
结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线⊄面》
②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（⊂）》
{ ¿、⊥、⊥
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《 线⊥面、∥¿》
易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程
度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明
作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
例 ．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ， ，则下列命题中的假命题是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 相交，则 相交 D．若 相交，则 相交变式1．在空间中，已知 ， ， 为不同的直线， ， ， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 且 ，则
C．若 ， ， ， ，则 D．若 ， ，则
变式2．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则（ ）
①若 ， ，且 ∥ ，则 ∥ ；
②若 ， ∥ ，且 ∥ ，则 ；
③若 ∥ ， ，且 ，则 ∥ ；
④若 ， ，且 ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
变式3．若 ， 为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ” （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是 （ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
2．已知 为两个不同的平面， 为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 ，则
3．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则下列命题正确的为（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ，则 .
4．已知 ， ， 为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， 分别与 ， 所成的角相等，则
D．若 ， ， ，且 ，则 ， ， 交于点
5．设l是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
6．已知 为直线 的方向向量， 分别为平面 的法向量（ 不重合），那么下列说法中正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
7．已知平面 平面 ，则下列结论一定正确的是（ ）A．存在直线 平面 ，使得直线 平面
B．存在直线 平面 ，使得直线 平面
C．存在直线 平面 ，直线 平面 ，使得直线 直线
D．存在直线 平面 ，直线 平面 ，使得直线 直线
8．设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
9．若 ， 为空间中两条不同的直线， ， ， 为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
10． 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A． 、 是异面直线，若 ， ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
11．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
易错点三： 忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问
题）
常规方法：
第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求
秒杀：
四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，
利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题
结论：在四面体A−BCD中，若AC与BD所成的角为θ
|(AB2 +CD2)−(BC2 +DA2)|
cosθ=
四面体对棱夹角公式：
2AC⋅DB
⃗AC⋅ ⃗DB 2⃗AC⋅ ⃗DB
cos⟨ ⃗AC,⃗DB⟩= =
证明如下：
| ⃗AC|⋅| ⃗DB| 2| ⃗AC|⋅| ⃗DB|
2⃗AC⋅ ⃗BD= ⃗AC⋅ ⃗BD+C⃗A⋅ ⃗DB= ⃗AC⋅(⃗DA+ ⃗AB)+C⃗A⋅(⃗BC+C⃗D)
因为
=
⃗AC⋅ ⃗DA+ ⃗AC⋅ ⃗AB+C⃗A⋅ ⃗BC+C⃗A⋅C⃗D= ⃗AC⋅ ⃗AB− ⃗AC⋅ ⃗BC+C⃗A⋅C⃗D−C⃗A⋅ ⃗DA
=
⃗AC⋅(⃗AB− ⃗BC)+C⃗A⋅(C⃗D− ⃗DA)=(⃗AB+ ⃗BC)⋅(⃗AB− ⃗BC)+(C⃗D+ ⃗DA)⋅(C⃗D− ⃗DA)
⃗ AB2 ⃗ BC2 (⃗ CD2 ⃗ DA2) ⃗AB2 C⃗D2 (⃗BC2 ⃗DA2)
= − + − =| | +| | − | | +| ||
⃗AB
|
2
+|
C⃗D
|
2
−
(
|
⃗BC
|
2
+|
⃗DA
|
2)
|
(AB2
+
CD2)
−
(BC2
+
DA2)
|
cos
⟨
⃗AC,⃗DB
⟩= =
所以
2| ⃗AC |⋅| ⃗DB | 2AC ⋅ DB
易错提醒：两异面直线所成角的范围是 。两向量的夹角的范围是 ，需要注意两者的区别与联
系.
例 ．已知正四面体 ，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，正方形 的边长均为2，动点 在线段 上移动， 分别为线段 中
点，且 平面 ，则当 取最大值时，异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，D为 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ，点
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B．
C． D．
1．在正方体 中，若点 是棱 上的动点，点 是线段 （不含线段的端点）上的动
点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线 ，使 B．异面直线 与 所成的角可能为
C．直线 与平面 所成的角为 D．平面 平面
2．棱长为1的正方体 中，若点P为线段 上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是
（ ）
A．平面 平面 B．四面体 的体积是定值
C． 可能是钝角三角形 D．直线 与 所成的角可能为
A B C D
3．如图在长方体 中， ， ， H是下底面矩形 1 1 1 1的中心，设异面
直线 与 所成的角为 ，则 =（ ）A． B． C． D．
4．在正四面体 中，棱长为2，且 是棱 中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方体 的棱长为1， 是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若 是棱 中点，则异面直线AM与 夹角的余弦值为
C．若点 在线段 上运动，则始终有
D．若点 在线段 上运动，则三棱锥 体积为定值
6．在直三棱柱 中， 分别是 的中点， ，则 与
所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．把边长为 的正方形 对角线 折起，使得平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）A．异面直线AC与 所成的角为60°
B．直线 与平面 所成角为45°
C．二面角 的正切值为
D．四面体 的外接球的体积为
9．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，底面 为边长为2的正方形，E为
的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正三棱柱 中，若 ,则 与 所成角的大小为 （ ）A． B． C． D．
11．棱长为2的正方体 中， 是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是
（ ）
A． B． C． D．
易错点四： 线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即为直线 与平
面 的夹角．接下来在 中解三角形．即 （其中 即点 到面 的距离，
可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；
⃗AB⋅⃗n ( ( π ))
向量法：线面角
cosα=sinθ= θ∈ 0，
|
⃗AB|⋅|⃗n| 2
提示：α 是线AB与平面法向量的夹角，θ是线AB与平面的夹角
⃗ ⃗
θ a n θ a n
易错提醒：若直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则sin =|cos< ,
>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
例 ．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， 分别是 的
中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 与平面 所成角为 ， ，求二面角 的正弦值.
变式1．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，
， 为 的中点，且 ．记 的中点为 ，若 在线段 上（异于 、 两
点）．
(1)若点 是 中点，证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
变式2．如图，三棱柱 中， ， 底面 ， ， ．(1)求点 到平面 的距离；
(2)若直线 与 距离为4，求 与平面 所成角的正弦值．
变式3．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形， 平面ABP， ，E为
BC的中点.
(1)证明：平面 平面PAD.
(2)若点A到平面PED的距离为 ，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
1．已知三棱锥 中， 平面 为 中点，过点 分别作平行于
平面 的直线交 于点 .
(1)求直线 与平面 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离.2．如图，在体积为 的四棱柱 中，底面ABCD是正方形， 是边长为2的正三角
形．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
3．如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
4．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ， 为 的中
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值.
5．如图，在四棱柱 中， ， ，平面 平面 ，.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为线段 的中点，直线 与平面 所成角为45°，求平面 与平面 的夹角的余弦
值.
6．如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角线交于点 为 的中点，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，说明理由.
7．如图， 是矩形 所在平面外一点，且 平面 ．已知 ．(1)求二面角 的大小；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
8．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 为 中点，
平面 ， ， 为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值.
9．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，点
是 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值．
10．如图，在正三棱柱 中， ，此三棱柱的体积为 ，P为侧棱 上点，且 ，
H、G分别为AB、 的中点.(1)求此三棱柱的表面积；
(2)求异面直线 与 所成角的大小；
(3)求 与平面 所成角的大小.
（了解一下）11．如图，在长方体 中，已知 ， .
(1)若点 是棱 上的中点，求证： 与 垂直；
(2)求直线 与平面 的夹角大小.
易错点五：忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）
二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和
，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜线 在面 内
的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（ ，如图2）求出二面角的大小；
⃗n⋅⃗n
法四：向量法 二面角的平面角
cosθ= 1 2 (θ∈(0，π))
|⃗n |⋅|⃗n |
1 2
α
cosθ
提示： 是二面角的夹角，具体 取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.
易错提醒：若两个平面的法向量分别为a，b，若两个平面所成的锐二面角为θ，则 ；
规定两个平面所成二面角范围[0,900]，则
。
例 ．如图（1），六边形 是由等腰梯形 和直角梯形 拼接而成，且
， ，沿 进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)求二面角 的余弦值；
变式1．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)设点 为线段 的中点，求二面角 的正弦值.
变式2．在正方体 中，设 ， 分别为棱 ， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
变式3．如图1， 为等边三角形，边长为4， 分别为 的中点，以 为折痕，将
折起，使点 到 的位置，且 ，如图2.(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
1 ． 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 中 ， 侧 棱 底 面 为 的 中 点 .
.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
2．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形.已知 ， ， ， ，
.(1)证明 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的正切值；
(3)求二面角 的正切值.
3．如图，三棱柱 的底面是等边三角形， ， ，D，E，F分别为 ，
， 的中点.
(1)在线段 上找一点 ，使 平面 ，并说明理由；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
4．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ，
为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
5．如图，在圆锥 中， 是底面的直径，且 ， ， ， 是 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
6．如图所示，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ，
，平面 平面 ．
(1)若 的中点为 ，求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
7．如图，在梯形 中， ， ， ， ， 平面
且 .
(1)求直线 到平面 的距离；
(2)求二面角 的大小；
(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 ?
8．如图，已知 是圆柱下底面圆的直径，点 是下底面圆周上异于 的动点， ， 是圆柱的两条
母线．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，圆柱的母线长为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
9．如图，正方体 中.
(1)求证： 和 为异面直线；
(2)求二面角 的大小.
10．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直， 是等腰直角三角形，
， ， ．
(1)求证： 平面BCE；
(2)求二面角 的正切值．11．如图，在三棱柱 中， 平面 为正三角形，侧面 是边长为2的正方
形， 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)取 的中点 ，连接 ，求二面角 的余弦值.
