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专题 02 三角形中的三种几何最值模型
类型一、将军饮马模型
①一动两定
②两动一定
例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则
OM+ON的最小值是____________．例2.如图，平面直角坐标系 中，点 是直线 上一动点，将点 向右平移1个单位得到
点 ，点 ，则 的最小值为________.
例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q
均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形
PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【变式训练1】如图，在周长为 的菱形 中， ， ，若 为对角线 上一动点，则
的最小值为______．
【变式训练2】如图，点P是 内任意一点， ，点M和点N分别是射线 和射线 上的
动点， ，则 周长的最小值是______．
【变式训练3】如图，直线 与 轴， 轴分别交于 和 ，点 、 分别为线段 、 的中点，
为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 ___________．类型二、胡不归模型
背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间
线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人
刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为 ，则 ，
由 可得 ，提取一个 得 ，
若想总的时间最少，就要使得 最小，
例1．如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值
（ ）A． B． C． D．
例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上
的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为
(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 的最小值是______．
【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上
运动，则 PC＋PB的最小值为___．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一
动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋ 和直线l：y＝﹣ x＋b相交于y轴上
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的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l 上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点
1
F的坐标，并求出此时PF＋ OP的最小值．
类型三、瓜豆模型
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨
迹是？A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN
始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上
运动，Q的运动轨迹是？
解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP =QQ
1 1
理由：易知△CPP ≌△CPP ，则∠CPP =CQQ，故可知Q点轨迹为一条直线.
1 1 1 1
模型总结：
条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边
三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为
_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．例2.如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，
以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为_____．
例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段
AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【变式训练1】如图所示，在 中， ，点 是 上一点，以 为一边向右下方作等
边 ，当 由点 运动到点 时，求点 运动的路径长．
【变式训练2】如图，等腰Rt ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，
OQ⊥OP交BC于点Q，M为△PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）A． B． C．1 D．2
【变式训练3】如图所示， 为等腰直角三角形， ，直角顶点 在第二象限，点 在 轴上移
动，以 为斜边向上作等腰直角 ，我们发现直角顶点 点随着 点的移动也在一条直线上移动，
求这条直线的函数解析式．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，
得到点 ，连接 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．2．如图，等边 中， ，点E为高 上的一动点，以 为边作等边 ，连接 ， ，
则 ______________， 的最小值为______________．
3．如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小值为______．
▱
4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点， ，点F是线段AD上的动
点，则 的最小值为______．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位
于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单
位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当 OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的
坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（ ，－4），请问x轴上是否存在一
点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．6.如图所示，在矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 的中点，
连接 ，求 的最小值．
7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt BEF绕点B旋转，BE＝BF＝
△
，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S BCF的值．（S BCF表示△BCF的面积）
△ △
(3)如图3，当Rt BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，
△
P是线段DG上的一个动点，当满足 MP+PG的值最小时，求MP的值．
