文档内容
专题 02 三角形中的三种几何最值模型
类型一、将军饮马模型
①一动两定
②两动一定
例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则
OM+ON的最小值是____________．【答案】
【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四边形OMNH是平行四边形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O点关于BC的对称点是点K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵ ，
∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，
∴ ．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8．
∵OH= 2， ，
∴ ，∴OM+ON的最小值是 ．
例2.如图，平面直角坐标系 中，点 是直线 上一动点，将点 向右平移1个单位得到
点 ，点 ，则 的最小值为________.
【答案】
【详解】解：设D（-1，0），作D点关于直线 的对称点E，连接OE，交直线于A，连接
AD，ED，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD=OB，OA=BC，
∴AD+OA=OB+BC，
∵AE=AD，
∴AE+OA=OB+BC，
即OE=OB+BC，
∴OB+CB的最小值为OE，
由 可知∠AFO=30°，F（-4，0），
∴FD=3，∠FDG=60°，
∴DG= DF= ，∴DE=2DG=3，
∴ES= DE= ，DS= DE= ，∴OS= ，∴OE= ，∴OB+CB的最小值为 .
例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q
均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形
PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1)见解析(2)4(3)4
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，
∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q
点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在 CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，
∴△6-x=2，解得x=4，∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于
N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积= ×PF×PH- ×PF×TM- ×QH×CN= ×8×8- ×8×4- ×6×3=7．
【变式训练1】如图，在周长为 的菱形 中， ， ，若 为对角线 上一动点，则
的最小值为______．
【答案】3
【详解】解：作 点关于 的对称点 ，则 ，连接 交 于点 ．
．
由两点之间线段最短可知：当 、 、 在一条直线上时， 的值最小，此时
．
四边形 为菱形，周长为 ，
， ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，点P是 内任意一点， ，点M和点N分别是射线 和射线 上的
动点， ，则 周长的最小值是______．【答案】
【详解】解：分别作点P关于 的对称点C、D，连接 ，分别交 于点M、N，连接
．
∵点P关于 的对称点为C，关于 的对称点为D，
∴ ；
∵点P关于 的对称点为D，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴ 的周长的最小值 ．
故答案为： ．
【变式训练3】如图，直线 与 轴， 轴分别交于 和 ，点 、 分别为线段 、 的中点，
为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 ___________．【答案】
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交x轴于点 ，此时 值最小，最小值为 ，
如图．
令 中 ，则 ，∴点 的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得： ，∴点 的坐标为 ．
∵点 、 分别为线段 、 的中点，∴点 ，点 ．
∵点 和点 关于 轴对称，∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
∵直线 过点 ， ，∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
令 ，则 ，解得： ，∴点P的坐标为 ．故答案为： ．
类型二、胡不归模型
背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间
线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人
刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为 ，则 ，
由 可得 ，提取一个 得 ，
若想总的时间最少，就要使得 最小，
例1．如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2
∴BH=1,AH= ,AA'=2 ，∠C= 30o，∴DE = CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称，∴AD= A'D，∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt AA' E中：A' E= AA'= ×2 = 3
△
∴AD十DE的最小值为3，∴2AD十CD的最小值为6
故选B
例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上
的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【详解】解：∵一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 ，∴AO＝3， ，∴ ，作点B关于OA的对称点 ，连接 ， ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵CH⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 的最小值是______．
【答案】
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
△
∴CG= PC，由勾股定理得PG= PC，
∴AP+ PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF= CF，
在Rt OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
△
∴AF=2OA=6，OF= ，
∴CF=OF-OC= ，
∴GF= ( )= ，
∴AG=AF-FG= ，
即AP+ PC的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上
运动，则 PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【解析】如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD PB，
∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，
即PC+PD的最小值为 ，
∴ PC+PB的最小值为 4，
故答案为：4．
【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一
动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．【答案】4
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2 ＝ ＝2BF，
在Rt ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
△
∴BF＝4 ，
∴（PA+2PB） ＝2BF＝ ，
最大故答案为： ．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋ 和直线l：y＝﹣ x＋b相交于y轴上
1 2
的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l 上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点
1
F的坐标，并求出此时PF＋ OP的最小值．
【答案】（1）S ABC= ；（2）点F坐标为（1， ）；PF＋ OP的最小值为 ．
△
【详解】（1）∵l：y＝ x＋ ，
1
∴当x=0时，y= ，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0， ），
∵点B直线l：y＝﹣ x＋b上，
2
∴b= ，
∴直线l 的解析式为y＝﹣ x＋ ，
2
∴当y=0时，x=1，∴C（1，0），
∴AC=4，OB= ，
∴S ABC= = = ．
△
（2）如图，作点C关于直线l 的对称点C′，连接C′E，交l 于F，
1 1
∵A（-3，0），B（0， ），C（1，0），
∴AB2=（-3）2+（ ）2=12，BC2=12+（ ）2=4，AC2=42=16，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C′在直线l 上，
2
∵点C与点C′关于直线l 的对称，
1
∴CC′=2BC=4，
设点C′（m，﹣ m＋ ，）
∴（m-1）2+（﹣ m＋ ）2=42，
解得：m=-1，m=3，
1 2
∵点C′在第二象限，
∴m=-1，
∴﹣ m＋ = ，
∵FC=FC′，
∴EF＋CF=EF+FC′，
∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，
设直线C′E的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得： ，∴直线C′E的解析式为 ，
联立直线C′E与l 解析式得 ，
1
解得： ，
∴F（1， ）．
如图，作二、四象限对角线l，过点F作FG⊥l 于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l 于Q，
3 3 3
∴直线l 的解析式为y=-x，∠GOP=45°，
3
∴△GOP是等腰直角三角形，
∴PG= OP，
∴G、P、F三点共线时，PF＋ OP的值最小，最小值为FG的长，
∵∠GOP=45°，∠POE=90°，
∴∠EOQ=45°，
∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，
∴FG= FQ，
∵F（1， ），直线l 的解析式为y=-x，∴Q（1，-1），
3
∴FQ= -（-1）= +1，∴FG= FQ= ×（ +1）= ，
∴PF＋ OP的最小值为 ．类型三、瓜豆模型
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨
迹是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN
始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上
运动，Q的运动轨迹是？
解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP =QQ
1 1
理由：易知△CPP ≌△CPP ，则∠CPP =CQQ，故可知Q点轨迹为一条直线.
1 1 1 1模型总结：
条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边
三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为
_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
【答案】
【详解】解：如图，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H，
∴点E的运动路径的长为 ，
当 重合，而 （即 ）为等边三角形，
故答案为： ．
例2.如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，
以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为_____．
【答案】
【详解】由题意可知，点 是主动点，点 是从动点，点 在线段上运动，点 也一定在直线轨迹上运动
将 绕点 旋转 ，使 与 重合，得到 ，
从而可知 为等边三角形，点 在垂直于 的直线 上，
作 ，则 即为 的最小值，
作 ，可知四边形 为矩形，则 .故答案为 ．
例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段
AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【答案】 ．
【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知
AC′=EE′，在Rt ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′= = ，故答案为 ．
△
【变式训练1】如图所示，在 中， ，点 是 上一点，以 为一边向右下方作等
边 ，当 由点 运动到点 时，求点 运动的路径长．【答案】点 运动的路径长为 ．
【详解】 点 为定点，
可以看作是 绕点 顺时针旋转60°而来，
点 运动的路径长等于点 运动的路径长，即为 的长，
， ，
．
点 运动的路径长为 ．
【变式训练2】如图，等腰Rt ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，
OQ⊥OP交BC于点Q，M为△PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，
在Rt AOP和 COQ中
△ △
，
∴Rt AOP≌△COQ，
∴AP△=CQ，
易得 APE和 BFQ都为等腰直角三角形，
△ △
∴PE= AP= CQ，QF= BQ，
∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= =1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH= （PE+QF）= ，
即点M到AB的距离为 ，而CO=1，
∴点M的运动路线为 ABC的中位线，
△
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长= AB=1，
故选C．
【变式训练3】如图所示， 为等腰直角三角形， ，直角顶点 在第二象限，点 在 轴上移
动，以 为斜边向上作等腰直角 ，我们发现直角顶点 点随着 点的移动也在一条直线上移动，
求这条直线的函数解析式．【答案】直线的函数解析式为 ．
【详解】如图所示．当 与 轴平行时，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，交
于点 ，
是等腰直角三角形，点 的坐标是 ，
，
，
又 是等腰直角三角形，
， ，
点 的坐标为 ．
当 与原点 重合时， 在 轴上，此时 ，即 ，
设所求直线解析式为： ，
将 、 代入得
解
直线的函数解析式为 ．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，
得到点 ，连接 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q( ， )，则PM= ，QM= ，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM= ，Q′N=PM= ，∴ON=1+PN= ，
∴Q′( ， )，
∴OQ′2=( )2+( )2= m2﹣5m+10= (m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为 ，
故选：B．
2．如图，等边 中， ，点E为高 上的一动点，以 为边作等边 ，连接 ， ，
则 ______________， 的最小值为______________．
【答案】【详解】解：①∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
得 ；
故答案为： ．
②（将军饮马问题）
过点D作定直线CF的对称点G，连CG，
∴ 为等边三角形， 为 的中垂线， ，
∴ ，
连接 ，
∴ ，
又 ，
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．3．如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小值为______．
▱
【答案】
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，此时 ， ， ，
∴ ，
则 最小值为 ，
故答案为： ．
4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点， ，点F是线段AD上的动
点，则 的最小值为______．
【答案】6
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到
直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边 ABC中，BD=CD，
∴AD⊥△BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在 ADB和 CEB中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6．故答案为：6．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位
于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单
位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当 OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的
坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（ ，－4），请问x轴上是否存在一
点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）当 OBD为直角三角形时， ，点D的坐标为（0，
8）或者 ，点D的坐标为（ ，8）；（3）x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为
【详解】解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，
∴点B的坐标为（－6，8），
∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，
设运动时间为t秒，
∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
∴线段PQ的中点D的坐标为（ ，8），
即D（ ，8），
∵点D在直线l上，
∴∠OBD不可能是直角
∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D 处，此时点D的坐标为（0，8），
1
则 ，
解得： ；
当∠BOD＝90°时，点D位于点D 处，
2
则 ，
∵点O（0，0），B（－6，8），D（ ，8），
∴ ，
解得： ，
∴ ，
此时点D的坐标为（ ，8），
综上所述：当 OBD为直角三角形时， ，点D的坐标为（0，8）或者 ，点D的坐标为（ ，
8）；
（3）如图，作点E关于x轴的对称点E，连接DE 并延长，交x轴于点F，连接EF，
1 1∵点E与点E 关于x轴对称，点F在x轴上，
1
∴FE＝FE，
1
∴当点F、D、E 在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE＝DE，
1 1 1
当点F、D、E 不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE＜DE，
1 1 1
∴当点F、D、E 在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE 的长，
1 1
∵点E与点E 关于x轴对称，点E（ ，－4），
1
∴点E（ ，4），
1
又∵点D的坐标为（ ，8），
∴ ，
∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为 ．
6.如图所示，在矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 的中点，
连接 ，求 的最小值．
【答案】 的最小值为 ．
【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P 处，CP=DP，
1 1 1
当点F与点E重合时，点P在P 处，EP =DP，
2 2 2
∴PP∥CE且PP= CE．
1 2 1 2
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：PP∥CE且PP= CF．
1 1
∴点P的运动轨迹是线段PP，
1 2
∴当BP⊥PP 时，PB取得最小值．
1 2
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，
∴△CBE、 ADE、 BCP 为等腰直角三角形，CP=2．
1 1
∴∠ADE=∠△CDE=∠△CPB=45°，∠DEC=90°．∴∠DP P=90°．
1 2 1
∴∠DP P=45°．∴∠PPB=90°，即BP⊥PP，
1 2 2 1 1 1 2
∴BP的最小值为BP 的长．
1
在等腰直角BCP 中，CP=BC=2，
1 1
∴BP=
1
∴PB的最小值是 ．
故答案是： ．
7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt BEF绕点B旋转，BE＝BF＝
△
，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S BCF的值．（S BCF表示△BCF的面积）
△ △
(3)如图3，当Rt BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，
△
P是线段DG上的一个动点，当满足 MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3)
【解析】(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)
解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，
∴S ABE＝S CBF，
△ △
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴S ABE＝S BCF＝ AB×EH＝ ×4×1＝2，
△ △
当EH＝3时
∴S ABE＝S BCF＝ AB×EH＝ ×4×3＝6，
△ △
∴S BCF的值是2或6；
△
(3)
解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝ PG，
∴MP+ PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+ PG值最小，即 MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝ ，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2 ，BQ＝EQ＝FQ＝ ，
∵CQ＝ ，
∴CE＝CQ﹣EQ＝ ，∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴ ，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝ CE＝ ．
