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专题 02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型
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题型一：平面直角坐标系中动点移动问题..............................................................................................................1
题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题......................................................................................................6
题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题............................................................................................................11
题型四：平面直角坐标系中新定义型问题............................................................................................................14
题型一：平面直角坐标系中动点移动问题
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形 四个顶点的坐标分别为：
，动点 从点 位置出发，沿着 路线不停地运动，若点 的运动速
度为每秒2个单位长度，则第 秒时，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是根据规律找出第 秒时点P的位置．由题意正方形
的边长为2，周长为8，得移动一圈是4秒，因为 余1，可以推出点P在第 秒时，
移动到B处，由此即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
，
，
∵P的移动速度为每秒2个单位长度，
点P沿 移动一圈时间为： （秒），
∵ ，
点P在第 秒时，移动到点B处，
∴此时 ；故答案为： ．
2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，
每次移动一个单位长度，得到点 ， ， ， …，那么点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标
每四个点循环一次，而 ，故 是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第
三个点的坐标可推导一般性规律为 ，最后计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，……，
纵坐标每四个点一个循环，
，
是第507个周期的第三个点，
每一个周期第三个点的坐标为： ， ， ，……，
，
，
故答案为： ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点 以每秒2个单位长度，从点 出发，沿凸形的边顺时针运动；点 以
每秒3个单位长度，从点 出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点 、 在凸形边上第1次相遇时的点为
，第2次相遇时的点为 ， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标规律探究，先根据点P和点Q的运动情况找出前几次相遇时的坐标，找出相遇
规律求解．
【详解】解；∵点 以每秒2个单位长度，从点 出发，沿凸形的边顺时针运动；点 以每秒3个单位长
度，从点 出发，沿凸形的边逆时针运动，∴第1次相遇时的点为 ，
第2次相遇时的点为 ，
第3次相遇时的点为 ，
第4次相遇时的点为 ，
第5次相遇时的点为 ，
第6次相遇时的点为 ，
，
∴相遇点每5次一循环．
∵ ，
∴ 的坐标为 ．
故答案为： ．
4．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点 ，
第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4次从 运动到 ，第5次从 运动
到 ……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ．
【答案】
【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是
2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照 循环出现，解答即可．
本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键．
【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第
六次是6，第七次是7，第八次是8，
故第n次是n；
根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照 循环出现，偶数为0，
由 ，
故第2025次运动后，动点 的坐标是 ，
故答案为： ．
5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 个单位，依次得到
点 ， ， ， ， ， ， …，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算 对应的坐标．本题主要考查了
平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，…，
∴下标为 的倍数的点，其坐标为 （ 为下标）．
进一步观察，每 个点为一组，横坐标依次增加 ，纵坐标在 处．
∴ 是第 组的最后一个点．
∴ 的坐标为
故答案为：
6．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即
，…，按这样的运动规律，完成
下列任务：(1)点 的坐标为______，点 的坐标为______，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点 ， ， ， ，请直接写出 ， ，
， 之间满足的数量关系为______， ， ， ， 之间满足的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键．
（1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可；
（2）根据（1）中的规律求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大 ，纵坐标四个为一个循环，
∵ ， ， ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）解：∵
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，
∴ ； ，
∴ ．
故答案为： ．
7．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点 出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移
动，第1次移动到点 ，第2次移动到点 ，第3次移动到点 ，第4次移动到点
，…．(1)第5次移动到点 的坐标为__________；第12次移动到点 的坐标为__________；
(2)第 次移动到点 的坐标为__________，第 次移动到点 的坐标为__________；（用含自然
数 的代数式表示）
(3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母 及下标表示出该点，并写出其坐标．
【答案】(1)
(2) ；
(3)见解析，
【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键．
（1）根据题意写出答案即可；
（2）根据（1）中的规律写出答案即可；
（3）分两种情况进行解答分析即可．
【详解】（1）解：第1次移动到点 ，即
第2次移动到点 ， ，
第3次移动到点 ，即
第4次移动到点 ，即
第5次移动到点 的坐标为 ，即 ；
则第12次移动到点 的坐标为即 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）可知，第 次移动到点 的坐标为 ，第 次移动到点 的坐标为
；（用含自然数 的代数式表示）
故答案为： ； ；
（3）解：由（2）知 ，当 时，解得 （不是自然数，舍去），
当 时，解得 ，符合题意，此时下标为 ，
所以该点及坐标可记作 ．
题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题
8．如图，已知 ，
依此规律，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每 个点一个循环，横坐标每
个点增加 个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每 个点一个循环，横坐标每 个点增加 个单位长度，
∵ ，
∴点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ ”方向排列，如
……根据这个规律，第 个点的横坐标为 ，第 个点的坐标
为 ．
【答案】 1
【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，寻找图形和数字的规律特点是解决问题的关键．以正方形最外
边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在 轴上，为偶数时，最后以点 结束，因为 ， 为偶数，则可得第 个数的横坐标；求出与2017
最接近的平方数为2025，然后写出第2017个点的坐标即可．
【详解】解：根据图形可知：以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 轴上右下角的点的横坐
标的平方，
如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，即 ，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，即 ，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，即 ，
右下角的点的横坐标为 时，共有 个，
，
根据规律可知：当 为奇数时，最后以点 结束；当 为偶数时，最后以点 结束，
为偶数，
∴第 个点的横坐标为1；
， ，
根据规律可知：当 为奇数时，最后以点 结束；当 为偶数时，最后以点 结束；
为奇数，
该正方形每一边上有45个点，且最后一个点的坐标为 ，是第2025个点，
第2017个点是从第2025个点向上数第8个点，
第2017个点的坐标为 ；
故答案为： ．
10．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为顶点作正方形 ，
正方形 ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分
别为 ， ， ， ，则顶点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查点的变化规律，根据 坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观
察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴顶点 的坐标为 ，
故答案为： ．
11．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标
系中．已知小正方形的边长为 ，且点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________（用含 的式子表示）；
(2)要制作 长的护栏，需要两种正方形各多少个？
【答案】(1) ，
(2)小正方形675个，大正方形675个
【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过
分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类
问题．
（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律： 各点的纵坐
标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；
（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而
便可求出结果．
【详解】（1）解：∵ 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∴ 各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴ 各点的横坐标依次大3，
∴ ， ，
即 ， ，故答案为： ； ；
（2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形，
∴直角三角形的直角边长度是1米，
∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度： （米），
∵ ，
∴需要小正方形675个，大正方形675个．
答：小正方形675个，大正方形675个．
12．在如图所示的平面直角坐标系 中，按规律排列的 ， ， ， ，…，
都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点 与坐标原点O重合）．
(1)写出点 的坐标：______；
(2)根据点 ， ， ， ，…，求出点 的坐标；
(3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为 ？若存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键．
（1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解；
（2）根据已知点的坐标特征得出 ， ，进而即可求解；
（3）根据（1）得出 ，进而代入 ，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得， 的坐标 ， ，
故答案为： ．（2）根据点 ， ， ， ，…，
由此可得
∵ ，
∴点 的坐标为
（3）解：由 ，， ， ，…，
∴
当
解得：
题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题
13．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点 ， ， ，…，
的位置，则 的坐标为 ， 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．
根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解．
【详解】解：由图可知： ， ， ， ， ， ， ， …，
纵坐标每 个一循环，
余 ，
在 次循环后纵坐标与 对应，
由 ， ，…可知，其横坐标即为翻转次数，
的横坐标为： ，
则 的坐标为： ，
故答案为： ， ．
14．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点A 按顺时针方向旋转到 的位置，点 B、O分别落
在点 、 处，点 在x轴上．再将 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上．
将 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B ，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理．
根据图形和旋转规律得出点 的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
由题意及旋转的规律可知：
当n为偶数时， 在最高点；当n为奇数时， 在x轴上，
横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为： ；
当n为偶数时，横坐标为： ；
∵9是奇数，
∴点 的横坐标为： ．
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中放一矩形 ， ， ，现将矩形 沿x轴的正方向无滑
动翻转，每次翻转 ，连续翻转2025次，点B的落点依次为 ， ， ， ， ，则 的坐标为
.
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，规律型：点的坐标，观察图象可知每翻折转4次应该循环，图形
向右平移6个单位， ，因为 余数为1，推出 的纵坐标与 相同是0，横
坐标 ，由此可得结论．
【详解】解：观察图象可知每翻折转4次为一个周期循环，图形向右平移6个单位， ，∵ ，
∴ 的纵坐标与 相同是0，横坐标 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．长方形 的两边 分别平行于 轴， 轴，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．如
图1，将长方形 绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形 ，称为一次
操作；如图2，接着将长方形 继续绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形
，称为第二次操作；以此类推，…
（1）经过3次操作后，点 的坐标为 ：
（2）经过2025次操作后，点 的坐标为 ，
【答案】
【分析】（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为
1，故 ， ， ，解答即可．
（2）当 中的 为奇数时，横坐标从 开始，每次增加 个单位长度；纵坐标从 开始，每次增加 个单
位长度，即 时， ，解答即可．
本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键．
【详解】（1）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，
宽为1，故 ， ， ，
故答案为： ．
（2）解：按题意描点可知，当 中的 为奇数时，横坐标从 开始，每次增加 个单位长度；纵坐标从
开始，每次增加 个单位长度，即 时， ，当 时， ，
．
17．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将 变换成 ，则 的坐标
是______， 的坐标是______．
(2)若按第（1）题的规律将 进行了 次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变
化，找出规律，请推测 的坐标是______， 的坐标是______．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解
题的关键．
（1）根据规律直接写出结论；
（2）由题可得， 点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是3； 点坐标规
律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是0，再写出 ， 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
∴点 的坐标为： ．
又∵ ，
∴ 的横坐标为： ，纵坐标为：0，
∴点 的坐标为： ．
故答案为： ；
（2）解：由 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是
3．
故 的坐标为： ．
由 ，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是 ，纵坐标都是0．
故 的坐标为： ．
故答案为： ．题型四：平面直角坐标系中新定义型问题
18．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫作点 的“友好点”．已知点 的
“友好点”为 ，点 的“友好点”为 ，点 的“友好点”为 ，这样依次得到各点．若点
的坐标为 ．
（1）点 的“友好点” 的坐标为 ．
（2）设 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变
化规律．
（1）根据“友好点”定义直接计算；
（2）先找出点的坐标循环规律，再结合 的坐标推出 的坐标，进而求 ．
【详解】解：（1）已知对于点 “友好点” ．
点 的坐标为 ，那么 的“友好点” 的坐标，将 代入“友好点”定义式：
横坐标为 ，纵坐标为 ．
所以 的坐标为 ；
（2）设 ，则 ；
；
；
．
可以发现每4个点为一个循环周期．
因为 ，其中余数为2，说明 的坐标与 的坐标相同．
已知 ，所以 ，则可得方程组
解得 ， ．
所以 ．
故答案为： ； ．
19．在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 ，其中 为常数，则称点
是点 的“ 级关联点”．例如，点 的“3级关联点”为 ，即 ．若点
的5级关联点为 ，则点 坐标为 ．
【答案】【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即
可．
【详解】解：∵ 的坐标为 ，其中 为常数，则称点 是点 的“ 级关联点”且 的5级
关联点为
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
20．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点．已知点 的
伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ，若点
的坐标为 ，则 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，根据伴随点的变化规律，写出点 、 、
、 的坐标，根据坐标的变化规律写出点 的坐标即可．
【详解】解： 点 的坐标为 ，点 的伴随点为 ，
，即 ，
点 的伴随点为 ，
，即 ，
同理可得 ， ，
可得从 开始，每四个点的坐标循环一次，
，
点 的坐标与点 的坐标相同， ，
故答案为： ， ．
21．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫做点P的伴随点．已知点 的伴随
点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．
(1)如果点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________，点 的坐标为___________
(2)如果点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 的算术平方根与 的立方根的差的绝对值
是多少？【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了点的坐标规律，实数的运算等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解
题关键．
（1）根据点 的坐标结合伴随点的定义，即可找到点 ， ， ， 的坐标，进而得出坐标的变化规律：
每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案；
（2）由（1）可得： ，得到 ，代入 与 中，再根据算术平方根与立方根
的定义及绝对值计算即可．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，即 ，
点 的坐标为 ，即 ，
点 的坐标为 ，即 ，
点 的坐标为 ，即 ，
点 的坐标为 ，即 ．
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵ ，
∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ；
（2）解：∵ ，
∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ，
，
，
的算术平方根与 的立方根的差的绝对值为： ．
22．对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数， ），
则称点 为点 的“ 系友好点”；例如： 的“3系友好点”为 ，即
请完成下列各题：
(1)求点 的“2系友好点” 的坐标为 ；(2)若点 的“ 系友好点” 的坐标为 ，求 和 的值；
(3)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 系友好点”为点 ，若在 中， ，求 的值．
【答案】(1)点
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；
（2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可；
（3）设点 ，得点 ，求出 ，根据 列方程求解即可．
【详解】（1）解： 点 的“2系友好点”，
∴ 的坐标为 ，
点 ；
（2）解： 的“ 系友好点” 的坐标为 ，
，
解得 ，
；
（3）解：设点 ，其中 ，
点 ，即点 ，
轴，
，
又 ，
，
解得 ．
