文档内容
专题 04 勾股定理实际应用的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、勾股定理解决最短路径问题
类型二、勾股定理解决网格问题
类型三、勾股定理解决行程问题
类型四、勾股定理解决梯子滑落问题
压轴专练
类型一、勾股定理解决最短路径问题
例．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为 ， ， ． 和 是这个台阶上
两个相对的点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路
程为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．如图，在一个长 为 ，宽 为 的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的
棱和木板的宽 平行且棱长大于 ，木块从正面看是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点 出发到达
边中点 需要走的最短路程为（ ） ．A．10 B． C． D．
变式1-2．棱长分别为 ， 的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，
点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离
是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点A处有一滴蜂
蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到
内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（ ）A． B．25 C． D．13
变式1-4．如图1，在棱长为 的立方体纸盒的顶点 处有一只蚂蚁，在另一顶点 处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点
处，如图 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体纸盒（如图3），其他条件不
变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
类型二、勾股定理解决网格问题
例2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在 的正方形
网格图形中， ， 均是格点．（1）线段 的长等于 ；
（2）点 是这个网格图形中的格点，连接 ， ，且满足 ．在如图所示的网格中，画出
点 的位置，在所有满足条件的 中，边 的长的最大值是 ．
变式2-1．如图是边长为1的小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的顶点均
在格点上．
(1)直接写出 的形状；
(2)仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）；
①在图（1）中的 上画点 ，连接 ，使 ；
②在图（1）中的 上画点 ，连接 ，使 ；
③在图（2）中的 上画点 ，使 ．
变式2-2．在 中， 、 、 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小明同
学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），再在网格中画出格点 （即
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出
它的面积．
(1) 的面积为______．(2)若 的三边 、 、 长分别为 ， ， ，请在图 的正方形网格中画出相应的 ，
并求出 的面积为______．
(3)在 中， ， 、 ，以 为边向 外作 （ 与 在 异侧），使
为等腰直角三角形，则线段 的长为______．
变式2-3．问题背景：在 中， 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求 的高，而借用网格
就能计算出它的面积．
（1）请你将 的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 ， ， ，
请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若 三边的长分别为 （ ， ，且 ），试运用构
图法求出这三角形的面积．类型三、勾股定理解决行程问题
例3．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西 方向上，与C的距离是800海里，B
在C的南偏西 方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B
处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最
多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
变式4-1．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘
轮船C．(1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；
(2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好
请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？
变式4-2．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为
15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后
再转向北偏东 方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
(1)求港口A到海岛B的距离；
(2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果
保留一位小数 ）
变式4-3．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东 方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏
东 的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行 海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小
岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否
在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
类型四、勾股定理解决梯子滑落问题
例4．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，
执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难
度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即 ），消防车高 ，救人时云梯伸长
至最长，在完成从 （即 ）高的 处救人后，还要从 （即 ）高的 处救人，
这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 为多少米？
变式4-1．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，
墙角记为点C．(1)若 米， 米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理
由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
(2)若 ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不
等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
变式4-2．课本原题呈现：
一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距底而有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米
吗?
解决问题：
(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方
向也滑动4米（填会或不会）；
(2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，
梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离．(3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为
“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？
1．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高 ，若棱 的中点 处有一只蚂蚁，要沿着长方
体的外表面爬到顶点 处，则它需要爬行的最短路程是（ ）
A．10 B． C．12 D．14
2．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，
那么所用细线最短需要 cm．
3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半
圆柱的底面直径为 ，已知 ， ，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱
凸起，则它至少要走 的路程．4．综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型
抽象
①测得水平距离 的长为15米
测绘数 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 的长为17
据 米
③牵线放风筝的手到地面的距离 为 米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
(1)求线段 的长；
(2)若想要风筝沿 方向再上升12米，则在 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
5.【阅读理解】如图，将两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四
个直角三角形无重叠无空隙地拼接在一起，就得到一个面积为 的较大正方形．这个较大正方形的边长
为_______ ．
【拓展应用】
（1）图 是由 个边长为 的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在
的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的；（2）如图 ，两个正方形纸片的面积分别为 ， ，请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形
（最多剪两次），请画出拼剪后的图形；
6．问题背景：
在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处， ， ， ），如图
①所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 面积的方法叫做构图法．(1)请你将 的面积直接填写在横线上：______．
(2)思维拓展：若 三边的长分别为 、 、 ，请利用图②的正方形网格（每个小正
方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积．
(3)探索创新：若 三边的长分别为 、 、 （ ， ，且 ），
求这个三角形的面积．
(4)直接写出当x为何值时，函数 有最小值，最小值是多少？
8．【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，
如图，已知一架云梯 长 斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离 ， ．【深入探究】
（1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部 下滑到 位置上（云梯长度不改变），则底部 沿水平方
向向前滑动到 位置上，若 ，求 的长度；
【问题解决】
（2）在演练中，墙边距地面 的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠
墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提
下，云梯的顶端能否到达 高的窗口去救援被困人员？
9．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木
问题背景
鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．
假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段 ）．勘测组测量了相关数据，并画出如图
的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离 的长为15米，风筝线 的长为25
米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
测量数据
数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务：
(1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度 ；
(2)如果风筝沿 方向下降了12米， 的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？10．项目式学习
项目主题：测量学校旗杆的高度
项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道
学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展
开了项目学习．
项目步骤：
测量工
皮尺、旗杆顶端的绳子
具
模型抽
象
①如图 ，线段 表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多
出了一段 ，小乐同学用皮尺测出 的长为 米；
测量方
②如图 ，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳
案及相
子拉直为止，此时该同学直立于地面点 处，小雷同学用皮尺测出 的长为
关数据
米；
③小新的身高为 米．
问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点 作
于点 ，则 米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题：
(1)直接写出线段 与 之间的数量关系：___________；
(2)求出学校旗杆的高度．
