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专题 06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或
利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
解题思路
角平分线＋垂直构造全等模型：
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构
造全等
典例分析
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，
将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C
和D，证明：PC＝PD．【变式 1-1】（秋•江北区期末）如图，D 是∠EAF 平分线上的一点，若
∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，
ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别
为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，
∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为
H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S ＝21，求△ABE的面积．
△ACD
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【变式 2-1】（2022 秋•聊城期末）如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【变式 2-2】（2021 秋•江汉区校级月考）如图，在四边形 ABCD 中，
CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一
点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝
2，求AC．
夯实基础1．（2022 秋•大安市期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分
∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，
（1）求DE的长度．
（2）求△ABE的面积．
2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点 P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点
C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交
于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长．
4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于
E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区 C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到 OA、OB的距离相
等，请确定该超市的位置P．
7．（2022 秋•江阴市期中）已知△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD 是
△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S ．
△ABC
8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB
的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂
足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分
别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、
D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
12．（2021 秋•抚顺县期末）已知：在△ABC 中，BD 平分∠ABC，CD 平分
∠ACB，
（1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
能力提升
12．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝
90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
13．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平
分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
14．（2022春•永春县期末）如图 1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个
角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的
两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒 15°
的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．①当t＝2秒时，OC ∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转 ，同时射线BG绕
点B从BA的位置开始顺时针旋转 ，且0＜ ＜ ＜180°，两条射线相交于点
α
C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在 CE是∠BCD的“倍分
β β α
线”的情况？若存在，请求出 与 应满足的数量关系；若不存在，请说明
理由．
α β
