文档内容
专题 06 角 19 考点复习指南
知识点1.角的定义
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是
角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图1 图2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终
止位置OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所
形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
知识点2 角的表示法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
知识点3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
一、角的概念理解
1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线是一个平角 B．周角是一条射线
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2C．角的两边是射线 D．角的两边是直线
【答案】C
【分析】此题主要考查了角的概念．直接利用角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．进而分析得出即可．
【详解】解：角是有公共端点的两条射线组成的图形，直线上没有顶点，则直线是一个平角、周角是一条
射线以及角的两边是直线的说法都是错误的，故选项ABD不符合题意；
角的两边是射线，故选项C符合题意．
故选：C．
2．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）如图， 是一条直线，图中小于平角的角共有（ ）
A．4个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的定义分别表示出各角即可．
【详解】解：图中小于平角的角共有： ， ， ， ， ， ， ，
， ，共9个．
故选：C．
3．（20-21七年级上·山西吕梁·期末）下列图形中，能表示 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可．
【详解】解：A．是两条直线，不是角，本选项不符合题意；
B．表示 或 ，本选项不符合题意；
C．表示 ，本选项符合题意；
D．表示 或 ，本选项不符合题意，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3故答案为：C．
【点睛】本题考查了角的定义和角的表示方法，解题的关键是掌握角的概念．
二、角的表示方法
4．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）能用 三种方式表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判
断即可．
【详解】解：A、不能用 ， ， 三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用 ， ， 三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用 ， ， 三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用 ， ， 三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用 ， ， 三种方法表示同一个角
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解
角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有
一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
【详解】解： 、因为顶点 处有四个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
、因为顶点 处只有一个角，所以这个角能用 ， ， 表示，故本选项正确；
、因为顶点 处有三个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4、因为顶点 处有两个角，所以这个角不能用 ， ， 表示，故本选项错误；
故选： ．
6．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是
支架侧面的平画示意图，其中 还可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角的表示，熟知角的三种表示方法是关键．角的表示方法有四种：①用三个字母，中
间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；②当以某点为顶点的角只有一个时，可以只
用这个角的顶点字母表示；③用一个数字表示一个角；④用一个希腊字母表示一个角，由图即可得出答案．
【详解】解： 还可以表示为 ．
故选C．
三、角的分类
7．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度
的角是直角来判断．
【详解】解：A、 ，是直角，故不符合题意；
B、 ，是钝角，故不符合题意；
C、 ，是钝角，故不符合题意；
D、 ，是锐角，故符合题意，
故选：D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 58．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将 与 两个角的关系记为
，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（ ）
A．当 时，若 为锐角，则 为锐角
B．当 时，若 为钝角，则 为钝角
C．当 时，若 为锐角，则 为锐角
D．当 时，若 为锐角，则 为钝角
【答案】A
【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可．
【详解】解：A、当 时，若 为锐角，则 为锐角，正确，故本选项符合题意；
B、当 时，若 为钝角，则 为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、当 时，若 为锐角，则 为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、当 时，若 为锐角，则 为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．（22-23七年级上·江西南昌·期末）若 为锐角， 为直角， 为钝角，则 的值
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出 的范围，选
择合适的可能值即可．
【详解】解：∵ 为锐角， 为直角， 为钝角，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴值可能是 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6故选B．
四、画特殊角
10．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为 ， ，
，下边三角尺的三个角分别为 ， ， ，那么，在① ；② ；③ ；④ 中，可以用
这副三角尺画出来的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴可以用这副三角尺画出来的是①③④，
故选：D．
11．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅
三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°
角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡
是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
12．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）画图，说理题
如图，已知四个点A、B、C、D；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7(1)画射线 ；
(2)画线段 ；
(3)画 ；
(4)画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）过 画射线即可．
（2）连接B和C即可．
（3）分别以C为顶点画射线 、 即可．
（4）连接 ， 与 的交点就是P点位置，根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，
要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在 与 的交点处．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）P点即为所求，
根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；
结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在 与 的交点处．
【点睛】本题考查了射线，线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解
决实际问题．
五、钟面角
13．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间
的夹角为 ．
【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 ，
下午四点半钟分针与时针的夹角是 ．
故选：C
14．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（
）
A．点A在点O的北偏东 方向上 B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东 方向上 D．点D在点O的南偏东 方向上
【答案】A
【分析】本题考查了方向角的表示，解题的关键是要掌握辨别方向的方法；
根据点A，点D所在的位置，可得到方向角，即可得到答案．
【详解】解：由图可得：
点A在点O的东偏北 方向上，
∴点A在点O的北偏东 方向上，
∴选项A错误，符合题意；
选项C正确，不符合题意；
∵点D在点O的东南方向上，点D在点O的东偏南 方向上，
∴点D也在点O的南偏东 方向上，
选项B、D均正确，不符合题意；
故选：A．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 915．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，下面说法中，不正确的是（ ）
A．射线 表示北偏东 B．射线 表示西北方向
C．射线 表示西偏南 D．射线 表示南偏东
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、射线 表示北偏东 ，故此选项正确，不符合题意；
B、射线 表示西北方向，故此选项正确，不符合题意；
C、射线 表示南偏西 ，故此选项错误，符合题意；
D、射线 表示南偏东 ，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
六、方向角的表示
16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，钟表上时针与分针所成角的度数是 ．
【答案】 /120度
【分析】本题主要考查了钟面上的角度计算，了解钟面的结、明确每份的度数是解题的关键．
根据钟面一周为 ，被分成了12等份，每份的度数是 ，依此即可求出4时的时针与分针
所成的角度即可．
【详解】解：如图：钟表上时针与分针所成角的度数是 ．
故答案为： ．
17．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二
时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ．
【答案】 /75度
【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键．
用分针转动的角度： 减去时针与分针所成角度为 ，时针转动的角度： ，即
即可求解．
【详解】解：寅时二刻是指 ，
∵ 时，时针与分针所成角度为 ，
再过15分钟，分针转动的角度： ，
时针转动的角度： ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（24-25七年级上·全国·期末）轮船在点O测得岛A在北偏东 ，距离为4千米，又测得岛B在北偏
西 ，距离为3千米．用1厘米代表1千米画出A、B的位置，量出图上线段 的长度，并计算岛A和
岛B间的实际距离．
【答案】图见解析， 厘米，岛A和岛B间的实际距离为5千米
【分析】本题主要考查了应用与设计：作图中方向角问题，根据已知得出方向角具体位置是解题关键．按
照题意作出A、B两点的位置，用尺子量出 的长度，根据1厘米表示1千米即可得到 的实际距离．
【详解】解：如图所示：量出 厘米， 的实际距离是5千米．
七、与方向角有关的计算题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1119．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图①，货轮停靠在码头O，发现灯塔A在它的东北（北偏东
）方向上，货轮 在码头O的西北方向上，货轮 在码头O的南偏西 方向上．
(1)仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示货轮B方位的射线，再画出表示货轮P方位的射线．
(2)如图（2），两艘货轮从码头O出发，货轮 向北偏东 的方向航行，货轮 向北偏西 的方向航行，
求 的度数．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键．
（1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可；
（2）根据角的和差关系可得： 即可求出结论．
【详解】（1）解：如图所示，射线 的方向就是西北方向，即货轮 所在的方向，射线 的方向就是
货轮 所在的方向，
（2）解：依题意可得， ，
∴
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1220．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，点 分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．
点 位于点 的北偏西 ，点 位于点 的北偏东 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，直接写出小华家 相对学校的方向．
【答案】(1)
(2)南偏东
【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质．
（1）根据角的和差求解即可；
（2）根据方位角的概念和平角求解即可．
【详解】（1）∵点 位于点 的北偏西 ，点 位于点 的北偏东
∴ ；
（2）如图所示，
∵
∴
∴小华家 在学校的南偏东 方向．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1321．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为
起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，
不写画法）．
(1)射线 表示北偏西 方向；
(2)射线 表示南偏东 方向；
(3)求 的度数（小于平角）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ．
【分析】本题主要考查的是方向角，掌握方向角的定义和画法是解题的关键．
（1）根据方位角的定义和画法画出图形即可；
（2）根据方位角的定义和画法画出图形即可；
（3）根据角的和差关系进行计算。
【详解】（1）解：如图，射线 表示北偏西 方向；
（2）解：如图，射线 表示南偏东 方向；
（3）解：如图所示，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14由（1）（2）可得 ， ，
∴ ，
∴ ．
八、角的单位与角度制
22．（24-25七年级上·全国·课后作业） 可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查度分秒的换算，根据 ， 进行计算即可．
【详解】解： ，
故选D．
23．（24-25七年级上·全国·期末）若 ， ， ，则下列结论正确的是 （
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度、分的单位换算方法是解题的关键．
先将 进行单位换算，即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：A．
24．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知 ， ， 下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． ， ， 互不相等
【答案】B
【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将 转化为度的形式再与 ，
比较，注意： ， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
只有选项B符合．
故选：B．
九、角的度数大小比较
25．（2024七年级上·全国·专题练习） ， ，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算．
先换算单位，再进行比较．
【分析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
26．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）若 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了角的度数大小比较，将角的表示形式统一即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
27．（22-23七年级上·河北唐山·期末）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据 ， 将 转换为度、分、秒的形式，即可比较
大小．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16∴ ，
故选：B．
十、角的比较
28．（23-24七年级上·河北张家口·期末）如图．直线 外有一定点 ，A是 上的一个动点，当点A从左
向右运动时，观察 的变化情况，正确的是（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．大小不变 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了角的概念，角的大小比较，解题的关键是数形结合．
【详解】解：当点A从左向右运动时， 逐渐变小．
29．（22-23七年级上·湖南郴州·期末）如图，若 ，则 与 的大小关系
是（ ）．
A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果．
【详解】解： ， ，
且 ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换．
30．（21-22七年级上·北京延庆·期末）图中哪一个角的度数最接近45°（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据目测法或度量法解答即可．
【详解】解：根据图形，∠1和∠2是钝角，∠3接近直角，∠4接近45°，
故选：D．
【点睛】本题考查角的比较，熟知角的度量的方法是解答的关键．
十一、三角板中角度计算问题
31．（19-20七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角度的计算，如图可知， 的度数正好是两直角相加减去 的度数，进而
即可解出答案．
【详解】解： ， ，
，
故选：A．
32．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中 的图
形有（ ）
A． B．
C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18【答案】D
【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中 的度数，即可判
断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解： 、由图可得， ， ，
∴ ，该选项不合题意；
、由图可得， ， ，
∴ ，该选项不合题意；
、由图可得， ，该选项不合题意；
、由图可得， ， ，
∴ ，该选项符合题意；
故选： ．
33．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的
一个顶点重合，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了角的大小比较，比较角的大小的方法有：(1)估测法；(2)度量法；(3)叠合法；(4)推理
法．
根据已知图形可知 ， ，减去公共部分 后大小关系不变，即可比较 与
的大小
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选C．
十二、角度的四则运算
34．（24-25七年级上·全国·期末）已知 是两个钝角，计算 的值，甲、乙、丙、丁四位同学算
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19出了四种不同的答案，分别为 ， ， ， ．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】熟记钝角的特点是解决此题的关键．
主要利用钝角的定义，钝角都大于 且小于 计算．
【详解】解：因为 ， 是两个钝角（钝角都大于 且小于 ），
所以 一定大于 且小于 ；
则 一定大于 且小于 ，
故 正确．
故选：B．
35．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）若 ，则 的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟知互为补角的定义是解题的关键．如果两个角的和为
，那么这两个角互为补角；由此计算即可．
【详解】解：若 ，
则 的补角为 ，
故选：D．
36．（21-22七年级上·浙江台州·期末）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角度的运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．将 换成 ，再做加法运算
即可．
【详解】解： ．
故选D．
十三、实际问题中角度计算问题
37．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一艘轮船行驶到 处时，测得小岛 的方向分
别为北偏西 和西南方向，则 的度数是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，再根据平角的定义求解即可.
【详解】解：根据题意可得： ，
∴ ；
故选：D.
【点睛】本题考查了方位角和角的和差计算，正确得出 是解题的关键.
38．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东 方向，轮船B在灯塔
P的南偏东 方向，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 即可求解．
【详解】解∶如图所示标注字母，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21由题意知： ， ，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角的特点以及角的计算，理解方位角的概念是解题的关键．
39．（20-21七年级上·四川成都·期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时
针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如
图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻．
【答案】22
【分析】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．由题意易得到达
“平衡时刻”时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转 ，分针每分钟旋转 ，时针每分钟
少旋转 ，算出到下一个“平衡时刻”需要的时间，利用一天的时间除以间隔时间，即可解题．
【详解】解：由题意知，到达“平衡时刻”时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转 ，分
针每分钟旋转 ，时针每分钟少旋转 ，
到下一个“平衡时刻”需要时间 分钟，
一天有 分钟，
又 ，即一天有 个“平衡时刻”．
故答案为： ．
十四、角平分线的有关计算
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2240．（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图， ， ， 平分 ，则
的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分是解答本题的关键．
根据条件先计算出 ，再依据条件计算出 ，根据 平分 求得结果即可．
【详解】解： ， ，
， ，
平分 ，
，
故答案为： ．
41．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线 是 的平分线，射线 是 的平分线，
．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设
， ，再根据角平分线性质可得 ，再根据角的和差关系可得
，进而得到 ，再解方程即可得到 ，进而得到答案
【详解】解：设 ， ．
则 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23是 的平分线，
，
，
，
，
解得， ，
是 的平分线，
，
，
故答案为： ．
42．（24-25七年级上·全国·期末）如图， 是平角， 是射线， 、 分别是 、
的平分线，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /62度
【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据角平分线的定义求出 ，推出 ，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解： 平分 ，
．
．
平分 ，
．
故答案为： ．
十五、角n等分线的有关计算
43．（21-22七年级上·陕西宝鸡·期末）已知 ，若 ，则 的度数是
．
【答案】25°或75°
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，由∠AOB＝2∠BOC可
求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的度数；当OC在∠AOB中时，由
∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：分两种情况考虑．
当OB在∠AOC中时，如图1所示，
∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°；
当OC在∠AOB中时，如图2所示，
∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°．
故答案为：75°或25°．
【点睛】本题考查了角的计算，分∠AOC＝∠AOB+∠BOC和∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC两种情况考虑是解题
的关键．
44．（21-22七年级上·北京朝阳·期末）如图，OB，OC分别是 ， 的三等分线，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】由角的三等分线的含义先求解 再结合角的三等分线可得
从而可得答案.
【详解】解： ，OB是 的三等分线，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25OC分别是 的三等分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是角的三等分线的应用，结合角的和差关系理解图形中的三等分线是解本题的关键.
45．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若 ， 为 的三等分线，则
．
【答案】 或
【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即
可．
【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线，
∴ ；
如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线，
，
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题主要考查了角三等分线的定义，熟知定义是解题的关键．
十六、求一个角的余角
46．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知 ，则 的余角的度数为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 26【答案】 / 度
【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为 ，计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角的度数为 ，
故答案为： ．
47．（23-24七年级上·江苏常州·期末）有一个角的补角为 ，则这个角的余角是 ．
【答案】
【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程，设这个角是 ，则它的补角是 ，它的余角是
，求出 即可求解，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】设这个角是 ，则它的补角是 ，它的余角是 ，
根据题意有： ，
解得 ，
它的余角 ，
故答案为： ．
48．（22-23七年级上·云南红河·期末）如果一个角的度数是 ，则它的余角为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一个角的余角，解决本题的关键是熟记互为余角的和等于 ．
根据互为余角的两个角的和等于 列式进行计算即可得解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
十七、求一个角的补角
49．（12-13七年级下·河南郑州·期中） 与 互余， 与 互补， ，那么 ．
【答案】 /153度
【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题
的关键．
根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数．
【详解】∵ 与 互余， ，
∴ ，
∵ 与 互补，
∴ ．
故答案为： ．
50．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上， ，则
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 27【答案】
【分析】本题考查了利用邻补角求度数，根据 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
51．（22-23七年级上·云南昆明·期末）如图，用量角器度量 ，那么 的补角为 度．
【答案】
【分析】此题考查了补角，由量角器度量得到 ，再由和为 的两个角互为补角列式计算即
可．
【详解】解：由量角器度量 可知， ，
∴ 的补角为： ，
故答案为：
十八、与余角、补角有关的计算
52．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图， 于点 ，则 的补角等于 ．
【答案】 /125度
【分析】本题考查余角和补角的相关计算，先计算 的度数，根据互补的两个角度数之和为 进
行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的补角等于 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 28故答案为： ．
53．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么
的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了余角和补角，角度的计算，正确理解 这一关系是
解决本题的关键．
根据 ，利用正方形的角都是直角，即可求得 和 的度数从而求解．
【详解】解：∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
54．（21-22七年级上·贵州铜仁·期末）已知 与 互为余角， ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了余角，根据两个余角的和为 即可求解，掌握余角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 互为余角，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
十九、同(等)角的余(补)角相等的应用
55．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在 中， ， ，垂足为D，则
的余角是 和 ， ，理由是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 29【答案】 同角的余角相等
【分析】由 ，得到 ，进而得到 ， 的余角是 ，由
，得到 ， 的余角是 ，根据“同角的余角相等”得到 ，
本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的余角是 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的余角是 ，
∴ （同角的余角相等）．
56．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，直线 与 相交于点O，∴ ，
，∴ ，在此推理过程中， 与 相等的理由是
．
【答案】同角的补角相等
【分析】本题考查了补角的性质，根据同角的补角相等解答即可．
【详解】∵直线 与 相交于点O，
∴ ， ，
∴ ，
在此推理过程中， 与 相等的理由是同角的补角相等．
故答案为：同角的补角相等．
57．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，在 中， ， ， ，
，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ．其中
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 30正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的性质得到 ，故①符合题意；
，根据余角的性质得到 ，故②符合题意；根据角平分线的定义得到 平分
，故④符合题意；根据已知条件无法证明 ，故③不符合题意．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②符合题意；
∴ ，
∴ 平分 ，故④符合题意；
∵ ，要使 ，则 ，
∵ 平分 ，但 不一定与 相等，
∴无法证明 ，故③不符合题意．
故答案为：①②④．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31
