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专题07 一元一次方程（难点）
一、单选题
1．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
2．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别
填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（
）．
A．9 B．8 C．6 D．4
3．方程 的解是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程 的解是x=( )
A． B．- C． D．-
5．对 ，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解为
C．是方程，其解为 D．是方程，其解为 、
6．按下面的程序计算：
如果n值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n值可能有 （ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
7．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个
1单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动
过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
8．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12（阴影） 13（阴影） 14（阴影） 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 32 32
…
…
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
9．有一组非负整数： ， ，…， ．从 开始，满足 ， ， ，
…， ．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， ， 时， ；
④当 ， （ ， 为整数）时， ．
2其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放
一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒
的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0
＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的
数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为
定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
二、填空题
11．方程 的解是 ，那么 ．
12．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程 的解总是 ，则 =
．
13．已知关于x的方程 的解是 ，那么关于m的方程 的解是
．
14．观察下列方程：
第1个： 的解是x＝2；
第2个： 的解是x＝3
第3个： 的解是x＝4
第4个： 的解是x＝5．
（1）第5个方程的解是x＝ ；
3（2）解是x＝2022的方程是 ．
15．现有一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方形容器内装有 高的水，和一个高为
的空的圆柱形水杯．把长方形容器内的水第一次倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为
时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高，若第二次继续把长方形容器内的水倒入圆柱形水杯
内，当圆柱形水杯内水的高度是倒出水后的长方形容器内水的高度的 倍时，则此时圆柱形水杯内水的高
度是 ．（ 取 ，容器的厚度不计）
16．如图是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数；当输出的结果是2时，则输入的数为 （用
含自然数n的式子表示）
17．规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程是“奇异方程”．例如：
的解为 ，因为 ，所以该方程是“奇异方程”．
（1）若关于x的一元一次方程 是“奇异方程”，则m的值为 ．
（2）若关于x的一元一次方程 和 都是“奇异方程”，则代数式
的值为 ．
18．“格子乘法”是15世纪意大利数学家使用的一种计算方法，后传入我国，明朝数学家程大位在《算法
统宗》里称之为“铺地锦”．如图1，计算 ，将乘数357和46分别写在格子上方和右边，然后以
乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（其中
，相加满十向前进1，则 ，再加进的1得14，相加满十再向前进1），得
16422．如图2，计算 ，得2397．如图3，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则x的值为 ．
4三、解答题
19．已知 是方程 的解，m、n满足关系式 ，求 的值．
20．如果关于 的方程 有无穷多个解，求 的值．
21．已知 是有理数，单项式 的次数是3，方程 是关于 的一元一次方
程，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若该方程的解是 ，求 的值；
(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数 的值．
22．定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：
……
观察式子的运算方式，请解决下列问题：
(1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）；
(2)解方程： ；
(3)若关于x的方程： 的解为整数，求正整数a的值．
523．【观察思考】
【规律发现】；
（ ）第 个图案中“★”的个数是 ；第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差为 ．
（ ）第 个图案中“◎”的个数是 ；第 个图案中“◎”的个数是 （用含 的式子表示）．
【规律应用】
（ ）已知第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差比第 个图案中“◎”的个数少 ，求正整
数 ．
24．已知某城区建造一个长30米，宽18米的长方形花坛，中间是圆形，四个角为半径相等的四分之一圆
形，已知中间的圆形与四个角的四分之一圆形的半径均为6米，计划在中间和四角的圆形区域种红色花卉，
其它区域种蓝色花卉．（ 取3）
(1)分别求出红色花卉和蓝色花卉的种植面积；
(2)每平方米蓝色花卉的成本为20元，比每平方米红色花卉成本低 ，求两种花卉的种植成本共多少元；
(3)在（2）条件下，派15名园艺工人参与种植任务，种红色花卉的人数是种蓝色花卉的人数的 ，每名工
人每天只能种红色花卉或蓝色花卉，已知每名工人每天种红色花卉4平方米，比种蓝色花卉少 ，种红色
花卉每人每天的费用是300元，种蓝色花卉每人每天的费用是240元，则建这个花坛总的费用是多少元？
（总费用 种植成本 人工费）
25．七年级（1）班的晓东同学的妈妈想锻炼晓东独自出行的能力，让他本周末先到本地的姑妈家，然后
和表弟两人一起去本地的景点游玩．因为到姑妈家没有直达的公交车，所以晓东选择了打车．到达之后，
晓东给妈妈打电话报了平安．下面是他们母子的部分对话：
6妈妈：晓东，出行还顺利吗？你坐出租车花了多少钱？
晓东：妈妈，非常顺利．坐出租车花了15元，在车我上问了出租车司机，司机师傅告诉我，3公里以内
（含3公里）8元，外加1元的燃油补贴；超过3公里，超出的部分 元/公里（不足1公里按1公里
计）．
根据对话，解答下列问题：
(1)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家 公里处的风景点A处游玩，他们要付________元；
(2)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家x公里（x超过3公里，x按整数计）的风景点B处，那么他
们要付多少钱？（用含x的代数式表示）
(3)如果他们去本地距离姑妈家10公里的风景点，应付多少钱？（四舍五入，保留整数）
(4)请写出晓东家和姑妈家的距离，并说明理由．
26．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就
称点C是 的奇点．例如，如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的
距离是3，到点B的距离是1，那么点C是 的奇点；又如，表示 的点D到点A的距离是1，到点B
的距离是3，那么点D就不是 的奇点，但点D是 的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M
所表示的数为 ，点N所表示的数为5．
(1)数______所表示的点是 的奇点；数______所表示的点是 的奇点；
(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发
向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇点?请
说明理由．
7(3)在（2）的条件下，若动点P可在数轴上任意位置运动，P点运动到数轴上的什么位置时，P、A、B中
恰有一个点为其余两点的奇点?请说明理由．
27．在数轴上，点 表示的数为1，点 表示的数为3．对于数轴上的图形 ，给出如下定义； 为图形
上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形 关
于线段 的极小距离，记作 （ ，线段 ）；如果线段 的长度有最大值，那么称这个最大值为
图形 关于线段 的极大距离，记作 （ ，线段 ），例如：点 表示的数为4，则 （点 ，
线段 ） ， （点 ，线段 ） ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
(1) （点 ，线段 ） ___________， （点 ，线段 ） ___________；
(2)若点 在点 左边2个单位处，且已知 （线段 ，线段 ） .求点 所表示的数．
(3)点 从原点出发，以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动；点 从表示数 的点出发，第1秒以每
秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿数轴负方向匀速运动，第3秒以每
秒6个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿数轴负方向匀速运动， ，按此规
律运动， 两点同时出发，多长时间后 （线段 ，线段 ） ，请直接写出结果
_____________．
8
