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专题07 一元一次方程（难点）
一、单选题
1．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
【答案】D
【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计
算即可．
【解析】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解，
∴5a+14b＝0，
∴a＝﹣ b
∴ab＝﹣ b2≤0．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数为0是解答本
题的关键.
2．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别
填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（
）．
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】先根据幻方的定义补充数据，然后再列一元一次方程求解即可．
【解析】解：根据幻方的定义补充数据如下：
1所以2+m+4=15，解得m=9．
故选A．
【点睛】本题主要考查了幻方的定义以及一元一次方程的应用，找准等量关系、列出一元一次方程成为解
答本题的关键．
3．方程 的解是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【解析】方程变形得：
即 ，
去分母得： ，
解得:x=
故选B.
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形.
4．方程 的解是x=( )
A． B．- C． D．-
【答案】D
【解析】方程两边同乘以24可得-8[ ]-2=-1，去括号，可得-8（ ）-2=-1，即-4-4x+
-2=-1，4x=-5+ ，解得x=- .
2故选D.
5．对 ，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解为
C．是方程，其解为 D．是方程，其解为 、
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是
能使方程左右两边相等的未知数的值．判断一个数是否是方程的解，可以把它代入方程左右两边，看是否
相等．
【解析】|x-1|+4=5符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+4=5，解得x=2，
（2）当x＜1时，1-x+4=5，解得x=0，
故选D．
【点睛】本题考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程
的解．
6．按下面的程序计算：
如果n值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n值可能有 （ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】根据最后的结果2343倒推，解出方程，再根据方程求出满足条件的 值．
【解析】由最后的结果可列出方程： ，解得：
再由 ，解得：
，解得：
，解得：
3，解得：
由 值为非负整数可知 值可能为0,3,18,93,468这5种情况.
故答案为D.
【点睛】解题的关键是先把代数式进行变形，然后把满足条件的字母代入计算得到对应的值．
7．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个
单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动
过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
【答案】D
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【解析】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t−5|＝2，
∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，
∵PB＝2，
∴|20−2t−5|＝2，
∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，
解得t＝ 或t＝ ．
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒．
4故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分
类讨论，进而列出方程是解题的关键．
8．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12（阴影） 13（阴影） 14（阴影） 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 32 32
…
…
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
【答案】D
【分析】先通过方框中带阴影的三个数的和为3的整数倍，排除B，再依次确定A、C、D是否符合要求即
可．
【解析】解：设方框中间的数为 ，则另外两个数分别为： ， ，
则这三个数之和为： ，
则四个选项中，2018不是3的倍数，故不符合题意，
令 ，解得 ，但 ，阴影方框中间的数不可能出现在最左侧，
2019不符合题意，
令 ，解得： ，但 ，阴影方框中间的数不可能出现在最右侧，
2016不符合题意，
令 ，解得： ， ，可以通过平移阴影方框得到，
方框中三个数的和可能为2013，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是规律猜想型问题，规律猜想型问题的解决策略有：（1）关于数的规律探索：掌握
常见的几类数的排列规律；（2）关于等式的规律探索：用含字母的代数式来归纳，注意字母往往还具有
反映等式序号的作用；（3）关于图形的规律探索：观察已知图形，找出图形的变化规律即可．
9．有一组非负整数： ， ，…， ．从 开始，满足 ， ， ，
5…， ．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ；
③当 ， ， 时， ；
④当 ， （ ， 为整数）时， ．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据运算法则，分别先求出前面的几个数值，再观察发现其规律，再判定结论错误与否即可．
【解析】解：当 ， 时，
∴ ，
，故①不符合题意；
当 ， 时，
∴ ，
，
，
，
，
，
6，
∴
故②符合题意，
当 ， ， 时，
∴ ，
，
，
解得： 或 ；故③不符合题意，
当 ， （ ， 为整数）时，
∴ ，
，
，
，
，
，
∴
∴ ．故④符合题意，
故选B.
7【点睛】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大．
10．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放
一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒
的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0
＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的
数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为
定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【分析】设C点在数轴上对应的数为 ，根据题意可得 ，求得 ；根据题意分时间段讨论
两小球的位置，分别求解即可．
【解析】解：设C点在数轴上对应的数为 ，则 ，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得 ，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从 点向 点开始运动，此时 ，
点 表示数的为 ，②正确；
当 时，N小球运动的距离为 ，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从 点向 点开始运动，M小球向 点运动
则 ， ，
，③错误；
当 时， ， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ， ，
8由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，此时 三点重合，成立；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
④正确
故选：D
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题
意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
二、填空题
11．方程 的解是 ，那么 ．
【答案】 或
【分析】把x=2代入 得 ，再根据绝对值意义得2-k= 或2-k=- ，再分别求解即可．
【解析】解：把x=2代入 得 ，
由绝对值意义，得2-k= 或2-k=- ，
解得：k= 或k= ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查方程的解，解绝对值方程，熟练掌握绝对值意义是解题的关键．
12．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程 的解总是 ，则 =
．
【答案】
9【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关
分别列出方程求解即可．
【解析】方程两边都乘14，去分母得
，
整理得 ，
∵无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
13．已知关于x的方程 的解是 ，那么关于m的方程 的解是
．
【答案】m=4
【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程
）即可．
【解析】解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，
把d=a+c代入方程 ，
得 ，
即am=4a，
m=4．
故答案为：m=4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
14．观察下列方程：
第1个： 的解是x＝2；
10第2个： 的解是x＝3
第3个： 的解是x＝4
第4个： 的解是x＝5．
（1）第5个方程的解是x＝ ；
（2）解是x＝2022的方程是 ．
【答案】 6
【分析】（1）根据第1、2、3、4个方程的解找出规律，由此即可得；
（2）根据第1、2、3、4个方程，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解析】解：（1）第1个方程的解是 ，
第2个方程的解是 ，
第3个方程的解是 ，
第4个方程的解是 ，
则第5个方程的解是 ；
（2）第1个：解是 的方程是 ，即 ，
第2个：解是 的方程是 ，即 ，
第3个：解是 的方程是 ，即 ，
第4个：解是 的方程是 ，即 ，
归纳类推得：解是 的方程是 ，即 ；
故答案为：6， ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的拓展，正确归纳类推出规律是解题关键．
15．现有一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方形容器内装有 高的水，和一个高为
的空的圆柱形水杯．把长方形容器内的水第一次倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为
时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高，若第二次继续把长方形容器内的水倒入圆柱形水杯
内，当圆柱形水杯内水的高度是倒出水后的长方形容器内水的高度的 倍时，则此时圆柱形水杯内水的高
11度是 ．（ 取 ，容器的厚度不计）
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及认识立体图形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
【解析】解：第一次倒入后，当圆柱形水杯内水的高度为 时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一
样高，
∴倒入圆柱形水杯水的体积为： ，
∴圆柱形水杯的底面积为： ，
设长方形水杯内剩余水的高度为 ，则圆柱形水杯的高度为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数；当输出的结果是2时，则输入的数为 （用
含自然数n的式子表示）
【答案】 负 或 （ 为自然数）
12【分析】①逆向观察转换器，从输出结果倒推求解；②结合绝对值和倒数的意义，从转化器倒推分析求解；
【解析】解：观察转化器可得：
当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，
输出的结果一定是非负数，
即这个“有理数转换器”不可能输出负数．
故答案为：负；
设输入的数为 ，
①当 时， 的相反数 ，倒数为 ， ；
②当 时， 的相反数 ，其绝对值为 ，故 ；
③当 时， ，其相反数 ，其倒数 ， ；
④当 时， ，其相反数 ，其绝对值为 ，故 ；
⑤当 时，执行①的程序可得 或 （ 为自然数），
综上所述， 的可能值为： 或 （ 为自然数）．
故答案为：负； 或 （ 为自然数）．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，绝对值的意义，理解转换器的运算程序，利
用分类讨论思想解题是关键．
17．规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程是“奇异方程”．例如：
的解为 ，因为 ，所以该方程是“奇异方程”．
（1）若关于x的一元一次方程 是“奇异方程”，则m的值为 ．
（2）若关于x的一元一次方程 和 都是“奇异方程”，则代数式
的值为 ．
【答案】 16
【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关
于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答．
（1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
13（2）根据“奇异方程”的定义即可得出 ， ，然后代入代数式
)中即可算出结论．
【解析】解：（1）解一元一次方程 是，得 ，
∵一元一次方程 是“奇异方程”，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵一元一次方程 和 都是“奇异方程”，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ，16．
18．“格子乘法”是15世纪意大利数学家使用的一种计算方法，后传入我国，明朝数学家程大位在《算法
统宗》里称之为“铺地锦”．如图1，计算 ，将乘数357和46分别写在格子上方和右边，然后以
乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（其中
，相加满十向前进1，则 ，再加进的1得14，相加满十再向前进1），得
16422．如图2，计算 ，得2397．如图3，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则x的值为 ．
14【答案】3
【分析】先根据“格子乘法”求出已知的条件，然后分情况列方程计算即可．
【解析】由“格子乘法”的定义可知，
若 ，
则 ，
解得 ；
若 ，
则 ，
解得 （不合题意，删去）；
故答案为3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，“铺地锦”格子的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
三、解答题
19．已知 是方程 的解，m、n满足关系式 ，求 的值．
【答案】 或
15【分析】先把 代入方程求出m的值，再把求得的m值代入关系式解绝对值方程得n的值，就可以算出
结果．
【解析】解：∵ 是方程 的解，
把 代入方程，得 ，解得 ，
再把 代入 ，得 ，解得 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义．
20．如果关于 的方程 有无穷多个解，求 的值．
【答案】4或 / 或4
【分析】分类讨论：当 时，当 时和当 时，根据绝对值的性质分别化简方程，从而即可
得出结论，进而即可求出a的值．
【解析】解：当 时，原方程可变形为： ，即 ，
∴此时该方程有无穷多个解；
当 时，原方程可变形为： ，即 ，
解得： ，
∴此时方程的解取决于 的值，即只有一个解；
当 时，原方程可变形为： ，即 ，
∴此时该方程有无穷多个解．
综上所述， 的值为4或 ．
【点睛】本题考查绝对值方程和方程的解．利用分类讨论的思想是解题关键．
21．已知 是有理数，单项式 的次数是3，方程 是关于 的一元一次方
程，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若该方程的解是 ，求 的值；
(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数 的值．
【答案】（1）n=2，m=-1；（2） ；（3）3，0，-1
16【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n=2，m=-1;
（2）根据第一问中的m和n，将x=3代入可得t的值；
（3）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【解析】解：（1）由题意得：n+1=3，m+1=0，
解得：n=2，m=-1；
（2）由（1）得： ， ；
，
当 时，则 ，
；
（3） ，
， ，
，
，
，
，
是整数， 是整数，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数
解的条件．
22．定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：
……
观察式子的运算方式，请解决下列问题：
(1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）；
17(2)解方程： ；
(3)若关于x的方程： 的解为整数，求正整数a的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的值为1或3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解新定义的运算方式是解题的关键．
（1）由题意知， ，然后作答即可；
（2）由题意知， ，则 ，可得 ，计算求解即可；
（3）由 ，可得 ，解得， ，由解为整数， 为正整数求值即可．
【解析】（1）解：由题意知， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴正整数 的值为1或3．
23．【观察思考】
18【规律发现】；
（ ）第 个图案中“★”的个数是 ；第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差为 ．
（ ）第 个图案中“◎”的个数是 ；第 个图案中“◎”的个数是 （用含 的式子表示）．
【规律应用】
（ ）已知第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差比第 个图案中“◎”的个数少 ，求正整
数 ．
【答案】（ ） ， ；（ ） ， ；（ ） ．
【分析】（ ）根据前几个图案的规律，即可求解；
（ ）根据题意，结合图形规律，即可求解；
（ ）根据题意，列出方程，解方程即可求解；
本题考查了图形类规律，根据图形找出规律是解题的关键．
【解析】解：（ ）第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
∴第 个图案中“★”的个数是 ，
第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差为： ，
故答案为： ， ；
（ ）第 个图案中有 个◎，
第 个图案中有 个◎，
19第 个图案中有 个◎，
第 个图案中有 个◎，
∴第 个图案中“◎”的个数是 ，
第 个图案中“◎”的个数是 ，
故答案为： ， ；
( )由题意可得， ，
整理得， ，
解得： ．
24．已知某城区建造一个长30米，宽18米的长方形花坛，中间是圆形，四个角为半径相等的四分之一圆
形，已知中间的圆形与四个角的四分之一圆形的半径均为6米，计划在中间和四角的圆形区域种红色花卉，
其它区域种蓝色花卉．（ 取3）
(1)分别求出红色花卉和蓝色花卉的种植面积；
(2)每平方米蓝色花卉的成本为20元，比每平方米红色花卉成本低 ，求两种花卉的种植成本共多少元；
(3)在（2）条件下，派15名园艺工人参与种植任务，种红色花卉的人数是种蓝色花卉的人数的 ，每名工
人每天只能种红色花卉或蓝色花卉，已知每名工人每天种红色花卉4平方米，比种蓝色花卉少 ，种红色
花卉每人每天的费用是300元，种蓝色花卉每人每天的费用是240元，则建这个花坛总的费用是多少元？
（总费用 种植成本 人工费）
【答案】(1)红色花卉面积是216平方米，蓝色花卉面积是324平方米
(2)两种花卉的种植成本为17280元
(3)总费用是46440元
【分析】本题考查了有理数四则混合运算及一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用一元一
次方程解决问题．
（1）根据题意分别求出红色花卉和蓝色花卉的种植面积即可；
20（2）先求出红色花卉成本，再求出两种花卉的种植成本即可；
（3）设种植蓝色花卉为x人，则红色花卉的人数为 人，列出方程求解，再根据题意求出这个花坛总的
费用．
【解析】（1）红色花卉面积： ，
蓝色花卉面积： ，
答：红色花卉面积是216平方米，蓝色花卉面积是324平方米．
（2）红色花卉成本： （元），
（元）
答：两种花卉的种植成本为17280元．
（3）设种植蓝色花卉为x人，则红色花卉的人数为 人，
，解得
则种植蓝色花卉为9人，种植红色花卉为 人．
已知每名工人种植红色花卉为4平方米，每名工人种植蓝色花卉为 平方米，
根据题意得：红： （天），蓝： （天），
总费用： （元）
答：总费用是46440元．
25．七年级（1）班的晓东同学的妈妈想锻炼晓东独自出行的能力，让他本周末先到本地的姑妈家，然后
和表弟两人一起去本地的景点游玩．因为到姑妈家没有直达的公交车，所以晓东选择了打车．到达之后，
晓东给妈妈打电话报了平安．下面是他们母子的部分对话：
妈妈：晓东，出行还顺利吗？你坐出租车花了多少钱？
晓东：妈妈，非常顺利．坐出租车花了15元，在车我上问了出租车司机，司机师傅告诉我，3公里以内
（含3公里）8元，外加1元的燃油补贴；超过3公里，超出的部分 元/公里（不足1公里按1公里
计）．
根据对话，解答下列问题：
21(1)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家 公里处的风景点A处游玩，他们要付________元；
(2)如果晓东和表弟乘出租车去本地距离姑妈家x公里（x超过3公里，x按整数计）的风景点B处，那么他
们要付多少钱？（用含x的代数式表示）
(3)如果他们去本地距离姑妈家10公里的风景点，应付多少钱？（四舍五入，保留整数）
(4)请写出晓东家和姑妈家的距离，并说明理由．
【答案】(1)9
(2) 元
(3)20元
(4)晓东家和姑妈家的距离为大于6公里，小于等于7公里．
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，
理解题意，列出正确的代数式与运算式是解本题的关键.
（1）由 ，可得车费为起步价加上8元，加1元的燃油补贴即可得到答案；
（2）由 ，可得车费为起步价加上8元，加1元的燃油补贴，再加上超过3公里，超出的部分 元/公
里即可；
（3）把 代入（2）中所列代数式计算即可；
（4）由车费为15元，可得 ，再解方程，结合不足1公里按1公里计可得答案.
【解析】（1）解：晓东和表弟乘出租车去2.9公里处的风景点A处要付司机 元．
（2）因为晓东和表弟乘出租车去x公里 的风景点B处，
所以 （元）．
答：他们要付 元．
（3） （元）．
答：应付钱20元．
（4）∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵不足1公里按1公里计，
∴晓东家和姑妈家的距离为大于6公里，小于等于7公里．
26．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就
22称点C是 的奇点．例如，如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的
距离是3，到点B的距离是1，那么点C是 的奇点；又如，表示 的点D到点A的距离是1，到点B
的距离是3，那么点D就不是 的奇点，但点D是 的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M
所表示的数为 ，点N所表示的数为5．
(1)数______所表示的点是 的奇点；数______所表示的点是 的奇点；
(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发
向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇点?请
说明理由．
(3)在（2）的条件下，若动点P可在数轴上任意位置运动，P点运动到数轴上的什么位置时，P、A、B中
恰有一个点为其余两点的奇点?请说明理由．
【答案】(1)3； ；
(2)P点为数 或10，理由见解析
(3)P点为数 、10、 、 、 或270，理由见解析
【分析】（1）设所求数为x，根据奇点的定义列出方程 和 ，解方程即
可；
（2）根据奇点的定义可知分2种情况：①P为 的关联点；②P为 的关联点．设点P表示的
23数为y，根据奇点的定义列出方程，进而得出P点运动多少个单位；
（3）根据奇点的定义可知分6种情况，除去（2）中的2种情况，还有4种，分别为：A为 的关联
点； A为 的关联点，B为 的关联点； B为 的关联点．
【解析】（1）解：设所求数为x，
当数x是 的奇点时，则 ，
解得 ；
当当数x是 的奇点时，则 ，
解得 ．
∴数3所表示的点是 的关联点；数 所表示的点是 的关联点；
故答案为：3； ；
（2）解：设点P表示的数为y，分两种情况：
①P为 的关联点．
由题意，得 ，
解得 ；
②P为 的关联点．
由题意，得 ，
解得 ；
综上可知，P点为数 或10时，点P、点A和点B中恰有一个点为其余两点的奇点．
（3）设点P表示的数为y，
除去（2）中的2种情况，还有4种，
①A为 的关联点，
由题意，
解得 ；
24②A为 的关联点，
由题意，
解得 ；
③B为 的关联点
由题意，
解得 ；
④B为 的关联点，
由题意，
解得 ，
综上，P点为数 、10、 、 、 或270时，点P、点A和点B中恰有一个点为其余两点的奇
点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解奇点的定义，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
27．在数轴上，点 表示的数为1，点 表示的数为3．对于数轴上的图形 ，给出如下定义； 为图形
上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形 关
于线段 的极小距离，记作 （ ，线段 ）；如果线段 的长度有最大值，那么称这个最大值为
图形 关于线段 的极大距离，记作 （ ，线段 ），例如：点 表示的数为4，则 （点 ，
线段 ） ， （点 ，线段 ） ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
25(1) （点 ，线段 ） ___________， （点 ，线段 ） ___________；
(2)若点 在点 左边2个单位处，且已知 （线段 ，线段 ） .求点 所表示的数．
(3)点 从原点出发，以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动；点 从表示数 的点出发，第1秒以每
秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿数轴负方向匀速运动，第3秒以每
秒6个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿数轴负方向匀速运动， ，按此规
律运动， 两点同时出发，多长时间后 （线段 ，线段 ） ，请直接写出结果
_____________．
【答案】(1)1，3
(2)点 所表示的数为 或5
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据题目中所给定义进行计算即可；
（2）设点 表示的数为 ，则点 表示的数为 ，分线段 在线段 左侧或线段 在线段 右
侧两种情况讨论即可得到答案；
（3）设 时， （线段 ，线段 ） ，分段讨论，根据题意列出相应的一元一次方程，进行求值
即可得到答案．
【解析】（1）解： 点 到线段 的最小距离为： ，
（点 ，线段 ） ，
点 到线段 的最大距离为： ，
（点 ，线段 ） ，
故答案为：1，3；
（2）解：设点 表示的数为 ，
点 在点 左边2个单位处，
点 表示的数为 ，
当线段 在线段 左侧时，
26（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
当线段 在线段 右侧时，
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
综上所述：点 所表示的数为 或5；
（3）解：设 时， （线段 ，线段 ） ，
根据题意得：
当 时，点 表示的数为0，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ） ，
当 时，点 表示的数为2，点 表示的数为0，此时 （线段 ，线段 ） ，
当 时，点 表示的数为4，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ）
，
当 时，点 表示的数为6，点 表示的数为2，此时 （线段 ，线段 ） ，
当 时，点 表示的数为8，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ）
，
当 时，点 表示的数为10，点 表示的数为4，此时 （线段 ，线段 ） ，
此后，点 表示的数大于10， （线段 ，线段 ）总大于6，
当 或 或 时，存在 （线段 ，线段 ） ，
当 时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ）
27，
解得： ，
当 时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ）
，
解得： ，
当 时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，此时 （线段 ，线段 ）
或 ，
解得： 或 ，
综上所述： 两点同时出发 或 或 或 时， （线段 ，线段 ） ，
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、实际问题与
一元一次方程，理解题意，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
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