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专题 04.勾股定理的实际应用模型
勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股
定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在
的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②
若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把
另一边用含有未知数的式子表示出来）。
.........................................................................................................................................2
模型来源.............................................................................................................................................................2
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................3
模型运用.............................................................................................................................................................5
模型1.梯子滑动模型................................................................................................................................5
模型2.轮船航行模型................................................................................................................................6
模型3.信号站（中转站）选择模型.........................................................................................................8
模型4.台风（噪音）、爆破模型...........................................................................................................10
模型5.超速模型......................................................................................................................................13
模型6.风吹莲动模型..............................................................................................................................14
模型7.折竹抵地模型..............................................................................................................................15
模型8.台阶上的地毯长度模型................................................................................................................17
模型.8不规则图形面积模型...................................................................................................................19
..................................................................................................................................................23勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽
象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。
（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与
荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
【答案】(1)秋千绳索的长度为 尺
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．由题可知， ， ， ，∴ ．
在 中，由勾股定理得：∴ ．解得 ．答：秋千绳索的长度为 尺．
（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执
行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里
的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行
了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向．
【答案】(1)“广州湾号”航行路程为 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
(2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
【详解】（1）解： “广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时
5海里的速度沿另一∵方向航行，航行时间为2小时，
“广州湾号”航行路程为： 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
∴
（2）由（1）得 （海里）， （海里）， 两船相距26海里， （海里），
∵ ∴
， ，故 ，
∵
是直角三角形， ， ，
∴
“小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
模型1）梯子滑动模型
模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股
定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距
离。模型2）轮船航行模型
模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边
长。
航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时
间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
模型3）信号站（中转站）选择模型
相关模型背景：信号塔、中转站等。
解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示
出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边
长相等建立方程求解。
模型4）台风（噪音）、爆破模型
相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。
台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算
出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最
短距离小于半径则受影响。
模型5）测超速、河宽模型
相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。
超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
（3）比较实际行驶速度和规定速度。
模型6）风吹莲动模型
相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。
风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题
目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。
模型7）折竹抵地模型
相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。
折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。
模型8）不规则图形面积模型
相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。
解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾
股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两
个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。
模型1.梯子滑动模型
例1（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子 ，梯子底端B离墙根的距离为3米，
现梯子底端B向右滑动1米到了 处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了 处．则梯子的长度是
米．
【答案】5
【详解】解： ， ，
∴ ，得 ，∴梯子的长AB （米）．故答案为：5．
例2（24-25·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在
左墙时，梯子底端O到左墙角的距离 为0.7米，顶端距离墙顶的距离 为0.6米．如果保持梯子底端
位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离 为1.5米，顶端距离墙顶的距离 为1米，
则墙的高度为多少米？
【答案】墙的高度为3米【详解】解：设墙高为 米，则 米， 米．
在 中，根据勾股定理，得 ．
在 中，根据勾股定理，得 ．
∵ ，∴ ，即 ．解得： ．
答：墙的高度为3米．
例3（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳
子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列
问题：
(1)根据题意，可知AC_____________ （填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
【答案】(1)=(2) 米
【详解】（1）解：∵ 的长度是男孩未拽之前的绳子长， 的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长
始终保持不变，∴ ，故答案为“＝”．
（2）连接 ，则点 、 、 三点共线，
在 中， （米）， （米），
在 中， （米），
∵ ， （米）， 男孩需向右移动的距离为 米．模型2.轮船航行模型
例1（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北
方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙
两轮船相距多少海里？（ ）
A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里
【答案】C
【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴ ，
离开港口3小时后， （海里）， （海里），∴ 海里，
即甲、乙两轮船相距60海里，故选：C．
例2（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里
的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西 方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东
的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只．
(1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？(2)求此时该船只所在处C与 的距离为多少海里？
【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里(2)此时该船只所在处C与 的距离为 海里
【详解】（1）解： ， ， ，
， ， ， ， ，∴在 中，由勾股定理得 ， ，
答：巡逻艇的速度为每小时48海里；
（2）解：作 于 ， ， ，
答：此时该船只所在处C与 的距离为 海里．
例3（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 海里
的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 的方向上，当海监
船行驶 海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 方向上．
(1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；(2)求 C，P 两点之间的距离 ；
(3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处
开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多
多少度的方向航行能安全通过这一海域．
【答案】(1) (2) (3)没有触礁危险，理由见解析
【详解】（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，
是直角三角形，由题可知 ， ， ， ，
∴ ， ；故答案为： ；（2）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，由题意得， ， ，
海里， ， ，在 中， ，
设 海里，则 海里， 海里， 海里，
∵ 海里， 即 ， 海里，
答： ， 之间的距离 海里；
（3）解： ，∵ ， ，
∴没有触礁的危险．
模型3.信号站（中转站）选择模型
例1（25-26八年级上·浙江·专项）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路 同侧的点C，D处，已知
于点 ， 于点 ， ， ， ．为了更好地满足游客的需
求，公园管理方决定在道路 的边上建一个游客服务中心 ，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中
心的距离相等．(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求 的度数．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：在 中， ，在 中， ，
∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，∴ ．
设 ， ， ，
， ，∴ ，解得 ，
∴游客服务中心应建在距点A 处．（2）解：由（1）可知 ， ， ，
， ，∴ ， ．
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
， ，∴ ，∴ ．
例2（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路 上修建火车站 ，以方便铁路 两旁的
， 两城的居民出行．如图， 城到铁路 的距离 ， 城到铁路 的距离 ，
，经市政府与铁路部门协商最后确定在到 ， 两城距离相等的 处修建火车站，求 ，
的长．
【答案】 ， ．
【详解】解：设 ，则 ．根据题意，得 ．
∴ ，解得 ．∴ ．∴ ， ．
例3（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个引水点 ，
其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引
水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米，
千米，求新路 比原路 ， 各少多少千米？
【答案】新路 比原路 少 千米，比原路 少 千米．【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ （千米），
设 千米，则 千米，
∵ ，∴ ，解得： ，∴ 千米，
∴新路 比原路 少 （千米），比原路 少 （千米），
答：新路 比原路 少 千米，比原路 少 千米．
模型4.台风（噪音）、爆破模型
例1（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图， 市气象站测得台风中心在 市正东方向 千米的
处，以 千米/时的速度向北偏西 的 方向移动，距台风中心 千米范围内是受台风影响的区域．
(1) 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】(1) 市不会受到台风的影响(2) 小时
【详解】（1）解：过A作 于C，∵台风向北偏西 的 方向移动，∴ ，
∵ 市气象站测得台风中心在 市正东方向 千米的 处，
∴ ，∴ 市不会受到台风的影响；
（2）过A作 ，交 于点D，E， ，∵ ，A市气象站测得台风中心在A市正东方向 千米的B处，以 千米/时的速度向北偏西
的 方向移动，∴受台风影响的路程为 ，
∴该市受台风影响的时间为： （小时），
∴如果 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为 小时．
例2（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为 的重要路段 段以50
米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点 位置，洒水车由 向 移
动，学校与路段 上的两个路口 的距离分别为 ， ，经测量，发现在 及
以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，
请求出受多长时间影响．
【答案】会受到影响，影响时间为4分钟
【详解】解：在 中， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
过点 作 于点 ，如图所示：
∵ ，∴ ，∵ ，∴学校会受到影响．
设直线 上点 到点 的距离为 ，连接 ，如图所示：则 ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，∴受影响时间为 （分钟），
答：学校会受到影响，受4分钟影响．
例3（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，小王的赛车从点
出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 出发，以3米/秒的速度由南向北行驶
（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米．
(1)出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距 点的距离之和为35米时，遥控信号是否
会产生相互干扰？
【答案】(1)不会(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【详解】（1）解：如图，出发 秒钟时， 米， 米
米， 米 米， 米 （米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时 ，此时 ，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为 米时，遥控信号将会产生干扰．
模型5.测超速、河宽模型
例1（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度 ，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点 ，发现 延长线上的点 处有一棵大树，用测距仪测得
米， 米， 米，已知 米，请你计算这条河的宽度 ．（结果保留根号）
【答案】 米
【详解】解：∵ 米， 米， 米，∴ ，
∴ 是直角三角形， ，在 中，∵ 米， 米，
∴ 米，∴ 米，
答：条河的宽度 为 米．
例2（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为 （已知 ）．如图，
一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处
（即 ），过了 后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，问：这辆小汽
车超速了吗？
【答案】没有超速，理由见详解
【详解】解：根据题意得，由勾股定理得 ，
∴小车的速度为 ，∵ ，∴这辆小汽车没有超速．
模型6.风吹莲动模型
例1（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水
一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈
（1丈 尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【详解】解： 丈 尺，设水深 尺，则芦苇长 尺，
根据勾股定理得： ，解得 ，芦苇的长度为 ，故选D．
例2（25-26八年级上·湖北·专项）[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋
千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好
奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距
离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳
索有多长（ ）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】D
【详解】解：如图，由题意知： ， ， ， ， ， ．
由题意得四边形 为长方形， ，又 ， ．
设 ，则 ．在 中，由勾股定理得 ，．解得 尺， 绳索的长度为14.5尺．故选：D．
例3（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为 ，高为 ，有一根长 的吸管
任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，由题意得： ， ，∴ ，
∴吸管露出杯口外的长度至少为 ，故选： ．
模型7.折竹抵地模型
例1（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子
高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为
x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A．
例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面 两处折断成了三段，中间一段
恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部 处，则大树折断前的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点B作 于点E，则 ，
， ，
四边形 是矩形， ，
， ，
在 中， ， ，
大树折断前的高度为 ．故选：D．
例3（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实
践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案：
课题：测量风筝的高度 ．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1， 表示地面水平线， 表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且 垂直
于地面于点A，线段 表示风筝牵引线（近似为线段）， 表示风筝到地面的垂直高度， 于点
E， 于点D．
测量数值：点B到 的距离 米；风筝牵引线 的长度： 米； 的长度： 米；(1)求风筝的垂直高度 ；(2)如图2，如果风筝沿 方向上升28米至点F（ ）， 求风筝牵引线
的长．
【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米(2)风筝的牵引线 的长是41米
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
，答：风筝的垂直高度为13.6米；
（2）解：在 中，由勾股定理得： ，
答：风筝的牵引线 的长是41米．
模型.8台阶上的地毯长度模型
例1（25-26八年级上·重庆·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是 cm，高度都
是 cm，连接 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，由题意得： ， ，∴ ．故选：A．
例2（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相
距 米 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【详解】解：如图过点B作 于点C，则 米， 米，
∴ 米，∴ 米，∴小鸟至少飞行 米，故选：C．
例3（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所
示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后
打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）： ， ， ， ， ，则其
中有 款扫地机可以购买．【答案】3
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则 ， ，
在 中， ，即 ，∴
∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于 长，
∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为 ， ， ，共3款，故答案为：3．
模型.9不规则图形面积模型
例1（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是
对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形 是某市一口袋公园的平面示意
图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向 处，C入口在桂花园B的正东方向 处，玫瑰园D与
C入口相距 ，玫瑰园D与A入口相距 ．求某市口袋公园的面积；
【答案】
【详解】解：连接 ．由题意得 ，∴ ．∴ ．
∵ ， ，∴ ．
这块地的面积 的面积 的面积
（ ）．
例2（2025八年级上·湖北·专题练习）如下图，某开发区有一块四边形空地 ，现计划在这块空地上
种植草皮，经测量， ， ， ， ， ．若种植每平方米
草皮需要 元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？
【答案】 （元）
【详解】解：如下图所示，连接 ，
， 为直角三角形，
， ， ， ，
， ， ， 为直角三角形，且 ，
这块空地的面积为 ，
在这块空地上种植草皮共需要 元．
例3（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图， ，在 上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作 的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了 ．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费
用．(3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道
方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元 方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【详解】（1）解：连接 ，施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵ ∴ ，∴ ，
即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得 ；∴ ，
故答案为：A，C；
（2）解：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴∴四边形 的面积 ，∴建造绿化地的费用 （元）；
（3）解：∵ ，∴
∵ ，∴ ，∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），
1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知 米，
米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段 ），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则
牌子上“？”处是（）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解： 米， 米， （米），
（米），故选：D．
2．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 的墙上，
装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃 及 以内时，即 ，门铃就
会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高 的学生走到D处，即 ，门铃恰好自
动响起，则 的长为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】C
【详解】解：由题意可知， ， ， ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 米，即门铃恰好自动响起，则 的长为4米，故选：C．
3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，圆柱形玻璃杯的底面直径 ．当吸管直立于杯底时，
高出杯口 ，当吸管与点A，C接触时，杯外部分长 ，则吸管长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
依题意， ， ， ，在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，故选：C．
4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、
解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控
制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点 与欲到达地点 相距10米，结果
轮船在水中实际航行的路程 比河的宽度 多2米，则河的宽度 是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D【详解】解：在 中，根据勾股定理得到 ，
即 ，解得 ，故选：D．
5．（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离
墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则
木板的长为 米．
【答案】2.5
【详解】如图，由题知， ， 米， 米， 米， 米，
设 米， 米， ，则 米，
在直角 中， ，即 ，
在直角 中， ，即 ，
，解得 ， ，解得 ，
米，即木板的长为2.5米．故答案为：2.5．
6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹
子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈 尺）．【答案】
【详解】解：设 长为x尺，则 尺，
在 中， 尺， ， ，解得： ，
则折断处离地面（即 ）的高度是 尺．故答案为： ．
7．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸
齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即 ， ， ，则
【答案】
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，解得： ，即 ，故答案为： ．
8．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A
点到D点有两条路线，分别是 和 ．已知 米， 米， 米，点D在
点C的正北方60米处（即 米， ）．(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；(2)通过计算比较两条路线谁更短．
【答案】(1) ，见解析(2) 路线更短
【详解】（1）解： ， 理由如下：在 中， 米， 米， 米，
，
， ， ．
（2）解：在 中， 米， 米，由勾股定理得： （米），
（米）， （米），
， 路线更短．
9．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代
北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂
直高度 ，将它往前推送 （水平距离 ）时，秋千的踏板离地的垂直高度
，秋千的绳索始终拉得很直，
(1)求绳索 的长度．(2)如图3，秋千荡到 时踏板离地面的高度．【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：设绳索 的长度为 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，∴ ，解得 ，
答：绳索 的长度为 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
答：秋千荡到 时踏板离地面的高度为 ．
10．（25-26八年级上·江苏期中）如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某
钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长为 ，求
的长．
【答案】
【详解】解：在 中，因为 ，所以 ．
在 中，因为 ，所以 ，
所以 ．
11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼
梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ．(1)求 的长；(2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．
（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【答案】(1) 的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，答： 的长为 ；
（2）解：地毯长为： ，已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为 ，∴需要花费 （元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
12．（25-26八年级上·湖北·期中）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从B岛沿
方向航行 到达C岛，A港到航线 的距离是 ．
(1)若轮船速度为 ，求轮船从C岛沿 返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？
【答案】(1) (2)北偏西
【详解】（1）解：由题意可知 ．
在 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，而 ，
∴轮船从 岛沿 返回 港所需的时间为 ．（2）解：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 岛在 港的北偏西 方向上．
13．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区 ，湖边 上原有两个观景台 和
，且 ，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台 （ 、 、 在同一直线上），并
铺设了步道 ，同时测量了 ， ， ，请解决以下问题：(1)试判断步道
是否是露营区 到湖边 的最短路径，并说明理由；(2)求观景台 与观景台 之间距离 的长．
【答案】(1)是，见解析；(2)观景台 与观景台 之间距离 的长为 ．
【详解】（1）在 中，∵ ， ，
∴ ∴ ，即 根据垂线段最短，
∴ 是露营区 到湖边 的最短路径；
（2）∵ ∴
∴在 中，由勾股定理得 解得：
答：观景台 与观景台 之间距离 的长为 ．
14．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽
家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路
和 ，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路 和公路 互相垂直，又从D地修了一条笔直的公
路 与公路 在H处连接，且公路 和公路 互相垂直，已知 千米， 千米，
千米．
(1)求公路 的长度；(2)若修公路 每千米的费用是2000万元，请求出修建公路 的总费用．【答案】(1)公路 的长度是 千米(2)修建公路 的费用为 万元
【详解】（1）解：∵ ， 千米， 千米，∴ （千米），
∵ 千米，∴ （千米）．答：公路 的长度是 千米．
（2）解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 千米， 千米， 千米，∴ （千米）．∴修建公路 的费用为
（万元）．
答：修建公路 的费用为 万元．
15.（24-25八年级下·浙江台州·期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行 全方位
监控与拍摄，夜间的监控距离为 ．图2中，射线 ， 是两条相交的公路， ，将图1
的球机安装在公路 上的A处， ．
(1)求该球机夜间在公路 上所能监控到的部分的长度；
(2)将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路 上的事物？
【答案】(1) (2)将该球机安装到A处右侧 外，夜间将监控不到公路 上的事物
【详解】（1）解：作 于点H，在 上取点P，使 ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∴该球机夜间在公路 上所能监控到的部分的长度为 ．（2）解：设该球机安装到A处右侧 处，如图，作 于点 ，
由题意知，当 时，夜间将监控不到公路 上的事物．
∵ ， ， ， ．
答：将该球机安装到A处右侧 外，夜间将监控不到公路 上的事物．
16．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区
规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电
瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离
为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴观光电瓶车的速度为 ，
， 这辆观光电瓶车超速了．
17．（24-25八年级下·福建福州·期中）某占地面积为 的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部
进行绿化，该办公区的规划如图所示，已知 ， ， ， ， ．
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道 的长度；
(2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于 ，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由．
【答案】(1) (2)不符合，见解析
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，答：这条直道 的长是 ．
（2）解：不符合，理由如下：∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴
．
，∵ ，∴上述设计方案不符合规划要求．
18．（24-25八年级下·广东河源·期末）中国天文传统之一，就是“立表测影”，当用来观察季节或时间时：
首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”
出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在 中， ， 平分 ， ．
(1)若“表” ， ，求 的长；(2)连接 ，若 ，判断 的形状，并说明理
由．
【答案】(1)5(2)见详解
【详解】（1）解：在 中， ， ， ， ，
平分 ， ， （即 ）， ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，解得， ，即 ．（2） 是等边三角形．理由如下： ， ，
又 平分 ， ， ，
在 中， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ， 是等边三角形．
19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内
有两个小滑块 ， ，由一根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略
不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．
(1)求 的长；(2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解： ，
∴在 中， ；
（2）解：在 中， ， ，
， ．
20．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于B处．已知始发站B
位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车
从始发站B出发，以 米 秒的速度沿铁路 低速行驶．(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干
扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： ；(2)火车从始发站出发时，小明开车从小
区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【详解】（1）解：过 作 于 ，过点B作 于H，
由题意得， ， ， ，
， 米， (米 ，∴ 米，
， ， 小区会受到噪音干扰，
设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，连接 ， ，则
米， 米， (米 ，
(米 ， 干扰的时间 (秒 ，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时 米，又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ，
又∵ ∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，解得： ，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
