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专题 06 立方根（综合题）
易错点拨
知识点01：立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么
叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做 开立方 .
细节剖析：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是 根指数 . 开立方和立方互为逆运
算.
知识点02：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
细节剖析：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相
同. 两个互为相反数的数的立方根 也互为相反数 .
知识点03：立方根的性质
细节剖析：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点04：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如，
， ， ， .
易错题专训
一．选择题1．（2022春•林州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B．8的立方根是±2
C．
D．立方根等于本身的数只有±1
解：A选项，负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，8的立方根是2，故该选项错误，不符合题意；
C选项， ＝﹣ ，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有±1和0，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2021秋•万州区期末）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、 ＝8，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、± ＝±8，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、± ＝±8，原计算正确，故此选项符合题意；
D、 ＝4，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（2021秋•郏县期中）有两个正整数，一个大于 ，一个大于 ，则两数之和的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：因为大于 的最小整数是5，大于 的最小整数是3，
所以两个正整数，一个大于 ，一个大于 ，这两数之和的最小值是8．
故选：C．
4．（2021春•西城区校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
①﹣64的立方根是﹣4；
②49的算术平方根是7；
③ 的平方根为± ；
④ 的平方根是 ．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
解：①﹣64的立方根是﹣4，原说法正确；
②49的算术平方根是7，原说法正确；③﹣ 没有平方根，原说法错误；
④ 的平方根是± ，原说法错误；
正确的有①②；
故选：A．
5．（2021•柳南区校级模拟）如果 ≈1.333， ≈2.872，那么 约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
解：∵ ≈1.333，
∴ ＝ ≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
6．（2021春•饶平县校级期末）已知 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵ ，
∴1﹣a＝﹣8，
a＝9，
∴ ＝ ＝3，
故选：C．
二．填空题
7．（2022秋•浑南区校级月考）已知 ≈1.463， ≈4.626， ≈0.5981，
≈1.289，若 ≈462.6，则x＝ 21400 0 ， ≈ ﹣ 0.128 9 ．
解：∵ ，
∴ ＝462.6，
∴x＝214000，
∵ ，
∴ ＝﹣0.1289．
故答案为：214000，﹣0.1289．
8．（2021秋•毕节市期末）若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的立方根为 4 ．
解：由题意得，3a+2+a﹣10＝0．
∴a＝2．
∴3a+2＝8．
∴m＝64．∴m的立方根为4．
故答案为：4．
9．（2021秋•肃州区期末） 的平方根是 ± 2 ，﹣ 的立方根是 ﹣ 2 ．
解：∵ ＝4，
∴ 的平方根是±2；
∵ ＝8，
∴﹣ 的立方根是﹣2．
故答案为：±2；﹣2．
10．（2015秋•深圳校级期中） 的平方根是 ±2 ；16的算术平方根是 4 ；27的立方根是 3
．
解： ＝4，4的平方根是±2；
16的算术平方根是4；
27的立方根是3．
故答案为；±2；4；3．
11．（2022春•河北区校级期中）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 ± 5 ．
解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝64，
解得x＝9
则2x+7＝2×9+7＝25，
∴25的平方根是±5
故答案±5．
12．（2021秋•凤城市期中）一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成64块同样大小的正方体小
木块，则小木块的棱长为 cm．
解：根据题意得： ＝ ，
则小木块的棱长是 cm，
故答案为： ．
13．（2021 春•梁子湖区期中）已知 ≈1.2639， ≈2.7629，则 ≈ ﹣
0.1263 9 ．解：∵ ≈1.2639，
∴ ＝
＝ ×
＝﹣ ×
≈﹣0.12639．
故答案为：﹣0.12639．
三．解答题
14．（2022•鼓楼区校级开学）求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）（x﹣1）3＝64．
解：（1）∵25x2﹣64＝0，
∴ ．
∴x＝ ．
（2）∵（x﹣1）3＝64，
∴x﹣1＝4．
∴x＝5．
15．（2021秋•郓城县校级月考）已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的
算术平方根．
解：∵a﹣2的平方根是±2，
∴a﹣2＝4，
∴a＝6，
∵2a+b+7的立方根是3，
∴2a+b+7＝27．
把a的值代入解得：b＝8，
∴a2+b2＝36+64＝100，
∵100的算术平方根为10，
∴（a2+b2）的算术平方根为10．
16．（2022春•山阳县期末）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．
解：设正方体容器的棱长为xcm，得，
x3＝8×9×3
x3＝216
∴x＝6
答：正方体容器的棱长为6cm．
17．（2021秋•井研县期末）已知：2x+y+17的立方根是3，16的算术平方根是2x﹣y+2，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
解：（1）依题意
，
解得： ；
（2）x2+y2＝9+16＝25，25的平方根是±5．
即x2+y2的平方根是±5．
18．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ＝
0.01， ＝0.1， ＝1， ＝10， ＝100，……
（1）已知 ≈4.47，求 的值；
（2）已知 ≈1.918， ≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 ≈1.26， ≈12.6，用含n的代数式表示m．
解：（1）∵ ≈4.47，
∴ ＝ ≈4.47×10＝44.7．
（2）∵191.8＝1.918×100，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
∴a＝36800．
（3）∵1.26×10＝12.6，
∴ ．
∴ ．
∴1000n＝m，即m＝1000n．
19．（2022春•大余县期末）已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，求式子 ﹣ 的值．
解：∵实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，∴a+9＝25，2b﹣a＝﹣8，解得：a＝16，b＝4．
∴ ﹣ ＝ ﹣ ＝4﹣2＝2．
20．（2021秋•成华区期末）已知m+n﹣5的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求
的值．
解：根据题意得 ，
解得 ，
所以3m﹣n+2＝﹣8，2m+1＝3，
所以 ＝﹣2
