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专题06 弦图中的勾股定理
1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形
EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角
形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【详解】
解：直角三角形直角边的较短边为 =6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵
爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角
边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（
）A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从
而可得大正方形的面积为a2+b2=13．
【详解】
解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21①，
∵小正方形的面积为5，
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②，
①+②得：2a2+2b2=26，
∴大正方形的面积为a2+b2=13，
故选：A．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积
是解题关键．
3．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的面积为 ，则所有正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积等于E的面积，同理，C，D的面积的和是F
的面积，E，F的面积的和是M的面积．即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得： ， ， ．
所以，所有正方形的面积的和是正方形M的面积的3倍：即 ．
故选C
【点睛】
本题考查勾股定理，理解正方形A，B的面积的和是E的面积是解决本题的关键．若把A，B，E
换成形状相同的另外的图形，这种关系仍成立．
4．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角
三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36
C．27 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
将四个直角三角形的面积相加即可得．
【详解】由图可知，大正方形与中间小正方形的面积差等于四个直角三角形的面积和
由直角三角形的面积公式得：面积和
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的面积公式，理解题意，正确将面积差转化为面积和是解题关键．
5．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，则字
母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
如图所示，
根据勾股定理，可得
12+A=16
∴A=4
故选B
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S，S，
1 2
S，已知S＝5，S＝12，则S＝_____．
3 1 2 3【答案】17
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，S=5，S=12，
1 2
∴AC2=5，BC2=12，
∴AB2=AC2+BC2=5+12=17，
∴S=17，
3
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形
的边长为______．
【答案】2 ．
【解析】
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方
形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，∵每一个直角三角形的面积为: ab= ×4=2,
∴4 ab+ =16，
∴ =16-8=8，
∴a-b=2 ，
故答案为:2 ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为
9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2
【答案】81
【解析】
【详解】
解：根据勾股定理知正方形A，B，C，D的面积的和是92=81cm2．
故答案是：81．
三、解答题
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代
数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．【答案】 或
【解析】
【分析】
设 ，则 ，根据 和 两种情况计算即可；
【详解】
设 ，则 ，
当 时，
∴ ，
∴ ；
当 时，∴ ，
∴ ；
综上所述 或 ；
【点睛】
本题主要考查了勾股定理验证图形、正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．
10．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的
两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
(1)图2中间小正方形的周长_____，大正方形的边长为_____．
(2)用两种方法表示图2大正方形的面积．（用含a，b，c）
①S＝_____；
②S＝______；(3)利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式_____．
(4)根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
【答案】(1)4c，a+b
(2)①（a+b）2；②2ab+c2
(3)a2+b2＝c2
(4)10
【解析】
【分析】
（1）根据正方形周长公式即可解答；
（2）根据正方形的面积公式以及三角形的面积公式即可解答；
（3）根据完全平方公式可得a2+b2＝c2；
（4）根据（3）的结论计算即可．
(1)
由图得，图2中间小正方形边长为c，所以其周长4c；大正方形的边长为（a+b），
故答案为：4c；a+b；
(2)
图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝ =2ab+c2，
故答案为：（a+b）2或2ab+c2；
(3)
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2；
(4)
∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10（负值不合题意，舍去）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明和列代数式，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题
的关键．
11．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根
据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【答案】（1） ，见解析；（2）EF为 或
【解析】
【分析】
（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；
（2）分a＞b和a＜b两种情况求解．
【详解】
解：（1） （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
∵如图①，∵ ABE≌ BCF≌ CDG≌ DAH，
∴AB=BC=CD△=DA=c，△ △ △
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BAE+∠HAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
同理可证，四边形EFGH是正方形，且边长为（b﹣a），∵
∴ ，
∴
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
分两种情况：
①a＞b时，
∴a+b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5，
∴
解得：a= ，
∴EF= ；
②a＜b时，同①得： ，
解得：a= ，∴EF= ；
综上所述，EF为 或 ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．
12．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书
《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完
全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式
表示：
（1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；
（2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为
_______________；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是
_________________；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则
图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4）7.5
【解析】
【分析】
（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式以及，小正方形面积加上四个直角三角形的面积与大正方形面积相等进行求解即可；
（3）根据圆的面积公式以及勾股定理求解即可；
（4）根据S =SBC +SAC +S ABC-SAB 进行求解即可．
阴影 为直径的半圆 为直径的半圆 为直径的半圆
△
【详解】
解：（1）由题意得：大正方形面积 ，小正方形面积 ，
故答案为： ， ；
（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为 ，
∴根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，
由题意得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）如图所示，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，
∴ ，
∴S =SBC +SAC +S ABC-SAB
阴影 为直径的半圆 为直径的半圆 为直径的半圆
△
．【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，以及以弦图为背景的计算题，解题的关键在于能够熟练掌握勾
股定理．
13．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图①所示，它
是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个
直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长；
（2）现有一张长为 ，宽为 的纸片，如图②所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个
正方形．（要求：先在图②中画出分剖线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)，根据题意得到 ，求出 ，则中
间小正方形的边长即可求解；
（2）由长为6.5cm、宽为2cm可知长方形的面积为13cm2，得到正方形的边长为 ，故将长方
形分割出四个全等的直角边长为2cm、3cm的直角三角形，剩余部分分割出两个长为1cm，宽为
0.5cm的长方形.
【详解】
解：(1) 设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)，根据题意得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答：中间小正方形的边长为 ；
(2)如图所示：
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正方形与直角三角形的数量关系，分割图形的思考方法，正确理
解勾股定理及其背景是解题的关键.
14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书
《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1、图2中任选一种方法来证明该
定理．(图1、图2均满足证明勾股定理所需的条件)
（2）如图3、图4、图5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三
角形，这三个图形中面积关系满足 有 个．（不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）0
【解析】【分析】
（1）图1根据四个直角三角形的面积加中间正方形的面积等于大正方形面积，列出式子化简即可；
图2：大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，列出式子化
简即可；
（2）对图3、图4、图5逐个求出 ，验证即可；
【详解】
解：（1）如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形
的面积，得到下列式子
所以
如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积，得到
下列式子
所以
（2）0个，设直角三角形直角边为 ，斜边为 ，则由勾股定理得：
图3，是以直角三角形的三边为边作正方形得到的，则 ， ，
则： ，但是 ，不符合；
图4，是以直角三角形的三边为直径作半圆得到的，则 ， ，
则： ，但是 ，不符合；
图5，是以直角三角形的三边为边作等边三角形得到的，则 ，
，则： ，但是 ，不符合；
故答案为0个．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，正方形、圆、等边三角形面积计算知识，熟练掌握勾股定理的性质是
解题的关键．
15．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古
代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆
方图”，在该图中，以弦 为边长所得到的正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的
小正方形 组成的，其中 ， ．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；
（2）在图1中，若大正方形 的面积是13， ，求小正方形 的面积；
（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形 由八个全等的直角三角形和正方形
拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，
．若 ，求边 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；
（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；
（3）分别求出正方形 ，正方形 ，正方形 的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．
【详解】
解：（1）∵
∴ ，
∴小正方形 的边长=
又大正方形的边长为
∴正方形 的面积为 ，4个全等直角三角形的面积和为 ，正方形 的面积为
，
由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;
∴
经过整理可得
（2）∵大正方形 的面积是13，
∴
∵ ，且
∴
∴ (负值舍去)
∴
∴小正方形 的面积为1；
（3）∵正方形 由八个全等的直角三角形和正方形 拼接而成，
∴ ， ，
∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ．
而正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
∴ ，整理得， ，
∴ （负值舍去）
【点睛】
此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．
16．阅读下列材料并完成任务：
中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆方图”
(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长
得到的正方形 是由 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角
形的面积为 ；中间的小正方形边长为 ，面积为 .于是便得到式子： .赵爽
的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒
等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互
不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是“赵爽弦图”，其中 、 、 和
是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，根据这个图形的面积关系，
可以证明勾股定理.设 ， ， ，取 ， .
任务：
(1)填空：正方形 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求 的值.
【答案】(1)4，96；(2)196.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得图中的四个直角三角形都全等，可得正方形 的边长为2，即可得正方形
的面积；再利用正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积即可得四个直角三角形的面积和；
（2）易求得ab的值，和a2+b2的值，根据完全平方公式即可求得（a+b）2的值，即可解题．
【详解】
(1)根据题意得，图中的四个直角三角形都全等，
∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，∴正方形 的面积为22=4，正方形ABCD的面积为102=100，
∴四个直角三角形的面积和=正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=100-4=96；
(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为 ，
，即 .
，
.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，求得ab的值是解题的关
键．
17．【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即
直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也
就是说，设直角三角形两直角边为 和 ，斜边为 ，那么 ．迄今为止，全世界发现勾
股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用
三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 或者是 ，
因此得到 ，运用乘法公式展开整理得到 ．
【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成
正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长为 ，请你根据
古人的拼图完成证明．
（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中
四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长为 ，请你帮助完成．【实践应用】（3）已知 、 、 为 的三边 ，试比较代数式 与
的大小关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式 与 的大小关系是相等．
【解析】
【分析】
尝试探究 （1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；
实践应用 （3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解： 尝试探究 （1）图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，
；
（2）图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，
即 ，
；
实践应用]（3） ， ，
代数式 与 的大小关系是相等．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
