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专题 09 三角形
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
一、三角形及其有关概念
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角
形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶
点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“
ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：
（1）三角形的两边之和大于第三边。（2）三角形的两边之差小于第三边。
（三角形的第三边大于两边之差小于两边之和）（3）作用：①判断三条已知线
段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关
系。
4、三角形的内角的关系：
（1）三角形三个内角和等于180°（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的
稳定性。四边形具有不稳定性。
6、三角形的分类：
(1)三角形按边分类：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形(2)三角形按角分类：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两
条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：
（1）三角形的角平分线：
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点
之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心）。交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点（重心），交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心）。锐角三角形的三条高线
的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三
角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
区别 相同
中线 平分对边 三条中线交于三角形内部
角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部
（1）都是线段
锐角三角形：三条高线都在三角形
（2）都从顶点画出
内部
垂直于对
（3）所在直线相交于
高线 边（或其 直角三角形：其中两条恰好是直角
一点
延长线） 边
二、
二、图形的全等全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的
形状和大小都相同。
全等三角形
1、全等三角形及有关概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的
顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形
ABC全等于三角形DEF”。
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
4、三角形全等的判定：
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或
“SSS”）。
（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边
角”或“ASA”）
（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“角角边”或“AAS”）
（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角
边”或“SAS”）
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有“HL”定理（斜边、直角边定
理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 ¿
角形
¿ ¿
5．证题的思路：
注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应
¿
相等； ②全等三角形面积相等．
【经典题型】考点1 三角形的三边关系
【典例1】在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根
小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（ ）
A．1cm B．2cm C．5cm D．6cm
【变式1-1】下列长度的三段钢条，不能组成一个三角形框架的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，7cm，7cm
C．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【变式1-2】若一个三角形的两边长分别为7和9，则该三角形的周长可能是（ ）
A．16 B．18 C．24 D．33
【变式1-3】若3和9是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为（
）
A．20 B．21 C．21或22 D．20或22
【变式1-4】已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
考点2 三角形的主要线段
【典例2】如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长
之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中
正确的是（ ）
A． B．C． D．
【变式2-2】如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式2-3】在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
考点3三角形的内角和
【典例3】如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．
已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝80°，AD是△ABC的角平分线，则
∠ADC＝（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【变式3-2】如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝（ ）A．50° B．60° C．65° D．70°
【变式3-3】如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A＝
65°，∠ACD＝25°，则∠B＝（ ）
A．45° B．60° C．35° D．40°
考点4 三角形的外角
【典例4】（2021春•上海期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，∠1+∠2的度数是（
）
A．180° B．270° C．360° D．无法确定
【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝
∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【变式4-2】（2021春•大东区期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若
∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【变式4-3】（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数
为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式4-4】如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于
点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
【变式4-5】如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线GH，EF上，
∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．则∠BAC的度数为（
）
A．32° B．26° C．34° D．28°
【变式4-6】如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿
直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B
考点5 全等三角形的性质
【典例5】（2021秋•吉林月考）下列各选项中的两个图形于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2021春•莱州市期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边
长，则∠1的度数是（ ）
A．47° B．49° C．84° D．96°
【变式5-2】（2021春•姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形
B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等
D．两个正方形一定是全等图形
【变式5-3】如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAE B．AC＝DE C．∠ABC＝∠AED D．AB＝AE
【变式5-4】（2020秋•衢江区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B
的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三
角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）考点6 全等三角形的判定
【典例 6】（2020 秋•莲都区期末）如图，已知 AB＝DC，下列条件中，不能使
△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90° C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC
【变式 6-1】（2021 春•盐田区校级期末）如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到
△ABC≌△DEF，只需添加（ ）
A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
【变式6-2】（2021春•岳麓区校级期末）如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明
△ABC≌△BAD，可使用全等三角形的判定定理（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【变式6-3】（2021春•西山区期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线
BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一
直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，
判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS【典例6-4】（2020秋•茌平区期末）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的
卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有 OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳
AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【典例6-5】（2020秋•肇源县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四
块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带
（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
考点7 全等三角形的性质与判定综合
【典例7】（2021春•碑林区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，
AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【变式7-1】（2020秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，
垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，
∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距
离．
【变式7-2】（2020秋•新宾县期末）已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
【变式7-3】（2020秋•武威期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD
上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，
请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝
60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与
△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
