文档内容
专题 05 全等三角形常考模型一
【知识点梳理】
模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要
在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对
应角相等.
模型示例
模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶
点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相
等.
模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，
则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.
模型四：一线三垂直型
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向
直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角
1．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使
△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
2．如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
3．如图，E，F是BD上的两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，添加下列一个条件后，仍无
法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AE＝CF C．AD＝BC D．AD∥BC
4．如图，∠BAC＝∠DAC，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC 的是
（ ）
A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．AB＝AD D．BC＝DC
5．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
6．如图，△ABE≌△ACD，若BE＝6，则CD的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，下列条件中：①AB＝DC，∠ABC＝∠DCB；②AB＝DC，∠A＝∠D＝90°；
③BO＝CO，AB＝DC；④BO＝CO，∠ABO＝∠DCO，能证明△ABC≌△DCB的是（
）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是（
）
A．28° B．38° C．45° D．48°
9．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰
好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）A．∠ABC＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．AC＝DE
11．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB
交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；
④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝
36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，
③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，
每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）
分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2 B．3 C．4 D．8
14．如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为
线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP＝CD时，
点P的坐标为（ ）
A．（4，1） B．（4，2）
C．（2，2） D．（4，2）或（2，4）
15．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
16．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．17．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E．
（Ⅰ）求证：△BEC≌△CDA；
（Ⅱ）当AD＝3，BE＝1时，求DE的长．
18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．19．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．
以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之
间存在的数量关系，并写出证明过程．
20．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5
求证：AF⊥BD
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定
的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．21．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图 1，已
知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，
垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的
条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC
＝∠BAC＝ ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 DE＝BD+CE是否成立？如成立，
请你给出证α明；若不α成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，
过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长
HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
专题 05 全等三角形常考模型一
【知识点梳理】
模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要
在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对
应角相等.
模型示例模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶
点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相
等.
模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，
则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.
模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向
直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角
1．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使
△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
【答案】C
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D 不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF 符合全等三角形的判定定理，能推出
△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故
本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
【答案】B
【解答】解：A．∵DE∥AB，
∴∠A＝∠D，
由∠A＝∠D，BC＝EF不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本
选项不符合题意；
B．∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∠A＝∠D，∠EFC＝∠BCA，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出
△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．BC＝EF，AB＝DE，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，能推出
△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，E，F是BD上的两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，添加下列一个条件后，仍无
法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AE＝CF C．AD＝BC D．AD∥BC
【答案】C
【解答】解：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，A．∠AED＝∠CFB，BF＝DE，∠B＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出
△AED≌△CFB，故本选项不符合题意；
B．AE＝CF，∠AED＝∠CFB，BF＝DE，符合全等三角形的判定定理 SAS，能推出
△AED≌△CFB，故本选项不符合题意；
C．AD＝BC，BF＝DE，∠B＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△AED≌△CFB，故本选项符合题意；
D．∵AD∥BC，
∴∠B＝∠D，
条件∠AED＝∠CFB，BF＝DE，∠B＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出
△AED≌△CFB，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，∠BAC＝∠DAC，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC 的是
（ ）
A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．AB＝AD D．BC＝DC
【答案】D
【解答】解：A．∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理
AAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B．∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出
△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出
△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D．AC＝AC，BC＝DC，∠BAC＝∠DAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选：D．
5．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故选：C．
6．如图，△ABE≌△ACD，若BE＝6，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴CD＝BE＝6，
故选：D．
7．如图，下列条件中：①AB＝DC，∠ABC＝∠DCB；②AB＝DC，∠A＝∠D＝90°；
③BO＝CO，AB＝DC；④BO＝CO，∠ABO＝∠DCO，能证明△ABC≌△DCB的是（
）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解答】解：①由 AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，根据 SAS 可以证明
△ABC≌△DCB；
②AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，根据HL可以证明Rt△ABC≌Rt△DCB；
③由BO＝CO得∠ACB＝∠DBC，AB＝DC，BC＝CB，SSA不能判断三角形全等；
④由BO＝CO得∠ACB＝∠DBC，由∠ABO＝∠DCO得∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，根据ASA可以证明△ABC≌△DCB．
∴能证明△ABC≌△DCB的是①②④．
故选：D．
8．如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是（
）
A．28° B．38° C．45° D．48°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，
∴∠AEC＝∠ACE＝ ×（180°﹣28°）＝76°，
∵∠AEC是△ADE的一个外角，
∴∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，
∴∠B＝∠D＝48°，
故选：D．
9．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰
好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．AC＝DE
【答案】B
【解答】解：A、∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠AED，但∠ABC与∠AED不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
B、∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，本选项结论成立，符合题意；
C、∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AB与AE不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
D、∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AC与DE不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
故选：B．
11．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB
交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；
④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝
36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝
BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
13．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，
每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）
分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故选：C．
14．如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为
线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP＝CD时，
点P的坐标为（ ）
A．（4，1） B．（4，2）
C．（2，2） D．（4，2）或（2，4）【答案】D
【解答】解：①当点P在正方形的边AB上时，
在Rt△OCD和Rt△AOP中，
，
∴Rt△OCD≌Rt△AOP（HL），
∴OD＝AP，
∵点D是OA中点，
∴OD＝AD＝ OA，
∴AP＝ AB＝2，
∴P（4，2），
②当点P在正方形的边BC上时，
同①的方法，得出CP＝ BC＝2，
∴P（2，4），
∴P（2，4）或（4，2）．
故选：D．
15．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
【答案】（1） 略 （2）∠F＝∠ACB＝37°
【解答】证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF
∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB
∵∠A＝55°，∠B＝88°
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37°
∴∠F＝∠ACB＝37°
16．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【答案】略
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
17．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E．
（Ⅰ）求证：△BEC≌△CDA；
（Ⅱ）当AD＝3，BE＝1时，求DE的长．
【答案】（Ⅰ）略 （Ⅱ）2
【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
（Ⅱ）解：∵△ADC≌△CEB，
∴BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，
∴DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2．
18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）略 （2）∠BDE＝∠C＝70°
【解答】证明：（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
19．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．
以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之
间存在的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1）① 略 ②BC＝CE+CD （2）BC＝CE+CD
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
20．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5
求证：AF⊥BD
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定
的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1略 （2）略 （3）∠AFG＝45°
【解答】（1）证明：如图1，
在△ACE和△BCD中，∵ ，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠BFE＝∠ACE＝90°，
∴AF⊥BD．
（2）证明：如图4，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE≌△BCD中
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG＝45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE ＝S△BCD ，AE＝BD，
∵S△ACE ＝ AE•CN，
S△BCD ＝ BD•CM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE＝90°，
∴∠EFC＝45°，
∴∠AFG＝45°．
21．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图 1，已
知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，
垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的
条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC
＝∠BAC＝ ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 DE＝BD+CE是否成立？如成立，
请你给出证α明；若不α成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，
过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长
HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【答案】（1）DE＝AE+AD＝BD+CE （2） DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）略
【解答】解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝ ，
∴∠DBA+∠BAD＝∠αBAD+∠CAE＝180°﹣ ，
∴∠DBA＝∠CAE， α
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
