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专题08 a除以a的绝对值
1．设 ，则 的值是（ ）
A．－3 B．1 C．3或－1 D．－3或1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据a、b、c的正数的个数去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【详解】
∵
∴a、b、c中二负一正，
又 ，
∴ ，
而当 时， ，当 时， ，
∴ 的结果中有二个1，一个－1，
∴ 的值是1.
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质和有理数的加法，解题的关键是确定 的结果中有二个1，一个
－1．
2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ，那么 的
值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到 ，则 ， ，再进行
化简计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当 时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
=
=
=
=
=0；
故选：C．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出 ，
， ．
3．已知： ，且 ， ，则 共有 个不同的值，若在这些不同的 值中，最小的值为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有
多少个，最小的值是多少．
【详解】
解：∵ ， ，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵ ， ， ，
∴ ，
分三种情况讨论，
当 ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ，
∴ ， ，则 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
4．已知 ， ， 的积为负数，和为正数，且 ，则 的值为( )
A． B． ，2 C． ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出 的符号，再化简绝对值运算即可得．
【详解】
的积为负数
的符号为三负或两正一负
的和为正数
的符号为两正一负因此，分以下三种情况：
（1）当 时
（2）当 时
（3）当 时
综上， 的值为0
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出 的符号是解题关键．
5．下列说法正确的是（ ）
①已知 ， ， 是非零有理数，若 ，则 的值为0或 ；
②已知 时，那么 的最大值为8，最小值为 ；
③若 且 ，则代数式 的值为 ．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】利用绝对值的意义对每个说法逐一判断即可得出结论．
【详解】
解：①∵a，b，c是非零有理数，若 ，
∴a，b，c中有两个负数一个正数，
∴a，b有可能同为负数或一个正数一个负数，
当a，b同为负数时，
；
当a，b一个正数一个负数时，设a＜0，b＞0，
∴ ，
综上， 的值为0或2．故①正确；
②∵x≤5，
∴|x-5|=5-x．
当-3≤x≤5时，
∴|x+3|-|x-5|=（x+3）-（5-x）=2x-2，
∴当x=5时，原式有最大值2×5-2=8，
当x=-3时，原式有最小值2×（-3）-2=-8；
当x＜-3时，
|x+3|-|x-5|=-x-3-（5-x）=-x-3+x-5=-8．
综上，当x≤5时，那么|x+3|-|x-5|的最大值为8，最小值为-8，∴②正确；
③∵|a|=|b|且|a−b|= ，
∴a，b互为相反数，
∴a+b=0，a=-b．
∴-ab=b2．
∴|-2b|= ，
∴|b|= ，
∴b2= ．∴ ．∴③正确．
综上，正确的说法有：①②③．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求代数式的值，绝对值，利用分类讨论的方法求|x+3|-|x-5|的最大值或最小值是解
题的关键．
6．已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，则 __________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据有理数 ， ， 满足 ，且 ，得到 ， ， 中必定只有一个正数，两个负
数，分三种情况讨论：当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ，
；然后化简绝对值求解即可．
【详解】
解：∵有理数 ， ， 满足 ，且 ，
∴有理数 ， ， 中必定只有一个正数，两个负数，
当 时， ， ，
则： ；
当 时， ， ，
则： ；
当 时， ， ，
则： ；
综上所述， ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，熟悉相关性质是解题的关键．7．已知： 都不等于0，且 的最大值为m，最小值为n，则m+n=__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
分3种情况来求解即可．
【详解】
解：∵ 都不等于0，分3种情况来求求解，
∴当 同正时， =1+1+1=3；
当 同负时， =-1-1+1=-1；
当 一正一负时， =1-1-1=-1；
∵ 的最大值为m，最小值为n，
∴m=3,n=-1
∴m+n=3-1=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了绝对值及其运算，注意要分情况来进行运算，记住：正数的绝对值是它本身，负数的
绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
三、解答题
8．如果 、 、 是非零有理数，且 ，那么 的所有可能的值为_____.
【答案】0
【解析】
【详解】
试题分析：由 、 、 是非零有理数，且 可得，当a、b为正数时，则c为负；当a为
正数时，则b、c为负；分情况讨论求 的值．
试题解析：、 、 为非零有理数，且
、 、 只能为两正一负或一正两负.
①当 、 、 为两正一负时，设 、 为正， 为负
原式
②当 、 、 为一正两负时，设 为正， 、 为负
原式
综上， 的值为 .
9．已知a,b,c都不等于零，且 的最大值是m，最小值为n，求 的值．
【答案】-1；其中m=2,n=-2
【解析】
【详解】
试题分析：因为a,b,c符号不确定所以需要对其进行分类讨论,因为a,b,c在原式中的位置相同，所
以随意给三个字母规定正负，讨论三个字母符号正负，计算最值 .
试题解析：
,分类讨论，a,b,c同正，原式=1+1+1-1=2,；
a,b,c同负，原式=-1-1-1+1=-2；
a,b,c两正一负，原式=1+1-1+1=2；
a,b,c两负一正，原式=-1-1+1-1=-2.
所以m=2,n=-2，所以 .
10．a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求 _______
(2) 、 、c在数轴上的位置如图所示，则：化简： ；(3)求 的最大值，并求出此时x的范围．
【答案】(1)-1
(2)
(3)b-a，x≥b
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得．
(1)
解：由数轴可知：a＜b＜0＜c，
；
(2)
∵a＜b＜0＜c，
∴
=
=
(3)
当x＜a时，
= = ＜0，
当a≤x≤b时，
= = ，
∴ ，
当x＞b时，
= = ＞0，
综上： 的最大值为 ，
此时x的范围是：x≥b．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，同时更好的理解
题意，将困难的问题分开讨论．
11．（1）一个数a，当a>0时， = ；当a<0时， = ；
（2）两个数a、b，当ab<0时， = ；
（3）三个数a、b、c，当abc<0，a+b+c>0，且 ，求
的值
【答案】（1）1，-1；（2）-1；（3）-5．
【解析】
【分析】
（1）根据题目给出的条件，利用绝对值的性质化简即可；
（2）分为两种情况：① ， ,② ， ,分别化简绝对值然后计算即可；
（3）根据已知得出其中一个为负数，其余两个为正数，分为三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞
0，②当b＜0时，a＞0，c＞0，③当c＜0时，a＞0，b＞0，化简绝对值，然后求出x的值，再代
入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）当a>0时， ，
当a<0时， ；
（2）当 时，有两种情况：① ， ,② ， ,
∴①当 ， 时,
②当 ， 时,
，
∴综上所述，当 时，
（3）解： ， ，符合条件的只有一种情况： 其中一个为负数， 其余两个为正数，
分为以下三种情况：
①当 时， ， ， ， ， ，
；
②当 时， ， ， ， ， ，
；
③当 时， ， ， ， ， ，
，
综上所述， 的值为 0，
∴ ．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质和应用，能根据绝对值的性质将等式化简是解题的关键．
12．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求 的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负
时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为
零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求 的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式 的值．
【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1
【解析】
【分析】
（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；
③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
综合上面三个的结果得到答案；
（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.
【详解】
（1）①∵a、b都是正数，
∴ =a， =b，
∴ =1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，
∴ =-a， =b，
∴ =-1+1=0，
故答案为：0；
③∵a、b都是负数，
∴ =-a， =-b，
∴ =-1-1=-2，
故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时， =1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时， =1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时， =-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时， =-1-1+1=-1，
综上， 的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴ = ，∴当a、b、c为两正一负时， =-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负 =-1+1+1=1，
综上， 的值为-1或1.
【点睛】
此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键.
13．请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝______；当b＜0时，则 ＝______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
【答案】(1)1，-1
(2)-1
(3)3或﹣1或1或﹣3
【解析】
【分析】
（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；
（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而
代入原式中可得结果；
（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数， ②当a，b，c有一个为正数，另
两个为负数时， ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，
分别求出算式的的结果．
(1)
解：当a＞0时，则 ，
当b＜0，则 ，
故答案为：1，﹣1；
(2)解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，
∴ ；
(3)
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个
负数或三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则： ；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，
则：
＝1+1﹣1
＝1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
综上所述： 的值为3或﹣1或1或﹣3．
【点睛】
本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
14．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，
请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足 ，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即 ， ， 时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设 ， ， ，
则： ；
综上所述： 的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知 ， ，且 ，求 的值；
（2）已知a，b是有理数，当 时，求 的值；
（3）已知a，b，c是有理数， ， ．求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） 或0；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值运算求出a、b的值，再根据 可得两组a、b的值，然后代入求值即可得；
（2）分① ， 、② ， 、③ ， 、④ ， 四种情况，再分别化简
绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；
（3）先根据已知等式可得 ， ， ，且a，b，c有两个正数一个负数，再
化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】
（1）因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 或 ，
则 或 ，即 的值为 或 ；
（2）由题意，可分以下四种情况：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 ；
综上， 的值为 或0；
（3）因为a，b，c是有理数， ， ，
所以 ， ， ，且a，b，c有两个正数一个负数，
设 ， ， ，
则 ．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．
15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数
学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足 ，求 的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即 ， ， 时，则 ；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 ， ， ，则
，综上所述， 值为3或−1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足 ，求 的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且 ，求 的值．
【答案】（1） 值为-3或1；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得a，b，c都为负数或两个正数，一个负数，然后问题可求解；
（2）由题意及 可得a，b，c为两个正数一个负数，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意，得a，b，c三个有理数都为负数或两个正数，一个负数，
①当a，b，c都是负数，即 ， ， 时，则 ；
②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设 ， ， ，则
，
综上所述， 值为-3或1；
（2）由 及（1）可得：a，b，c中有两个正数一个负数，
∴不妨设 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数的加减乘除运算是解题的关键．
16．在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学
思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 的值．
【解决问题】解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， ＝ ＝1＋1＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ＝
＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
综上所述， 的值为3或－1
【探究拓展】
请根据上面的解题思路解答下面的问题；
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， ＝
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 ＋ ＝
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 ＝
【答案】（1）0；（2） 或1；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）分 和 两种情况，先化简绝对值，再计算有理数的除法与加减法即可得；
（2）分 都是负数和 中一个为负数，另两个为正数两种情况，先化简绝对值，再计算有
理数的除法与加减法即可得；
（3）先化简已知等式可得 ， ， ，再根据 得出 中只有一
个为负数，另两个为正数，然后化简绝对值，计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】
解：（1）由题意，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，综上， ，
故答案为：0；
（2）由题意得： 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当 都是负数，即 时，
则 ；
②当 中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设 ，
则 ；
综上， 的值为 或1，
故答案为： 或1；
（3）因为 ， ，
所以 均不为0，
所以 ， ， ，
所以 中只有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、有理数的加减法与除法，读懂题意，掌握分类讨论思想和有理数的运算
法则是解题关键．
