文档内容
2020-2021 学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的]
1．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2+2
C．y＝2（x+4）2﹣2 D．y＝2（x+4）2+2
2．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（ ）
A．tanC＝ B．cotC＝ C．sinC＝ D．cosC＝
3．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是
（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
4．（4分）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向
5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（
）
A．10海里 B．5 海里 C．5海里 D． 海里
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含45°角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含30°角的直角三角形必相似
6．（4分）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[ ]＝0，[﹣2 ]＝﹣3．根据
你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（ ）
A．函数y＝[x]的定义域是一切整数
B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线
C．点（2 ，2）在函数y＝[x]图象上
D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果a：b＝2：3，那么代数式 的值是 ．
8．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是 ．
9．（4分）已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是 ．
10．（4分）已知二次函数y＝a（x+ ）2﹣1的图象在直线x＝﹣ 的左侧部分是下降的，那么
a的取值范围是 ．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形
DECB的面积相等，BC＝2 ，那么DE的长是 ．
12．（4分）在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那
么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是 米．
13．（4分）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看
甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是 米．
14．（4分）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC
＝ ，那么DP的长是 ．
15．（4分）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边
AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是 ．16．（4分）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方
形ABCD的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻
折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8， ＝ ，那么MN的
长是 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，
sin∠ADE＝ ，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是 ．
三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78
分）
19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．
20．（10分）如图，在 ▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．
（1）求BF：DF的值；（2）设 ＝ ， ＝ ．求向量 （用向量 、 表示）．
21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝
﹣1．
（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶
点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．
22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一
段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得
限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得
起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯
形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交
于点F，且AF•DF＝BF•EF．
求证：（1）∠ADC＝∠BEC；
（2）AF•CD＝EF•AC．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶
点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交
于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝ ，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为（t t＞1），如
果△ACM的面积是 ，求点M的坐标．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以
CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．2020-2021 学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的]
1．（4分）将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2+2
C．y＝2（x+4）2﹣2 D．y＝2（x+4）2+2
【分析】先确定抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律得到把点
（﹣1，0）平移后得到对应点的坐标为（2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析
式．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）6的顶点坐标为（﹣1，0），7）先向右平移3个单位，﹣2），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（ ）
A．tanC＝ B．cotC＝ C．sinC＝ D．cosC＝
【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．
【解答】解：如图，由勾股定理得 ＝ ＝8，
∴tanC＝ ＝ ＝ ，
cotC＝ ＝ ＝ ，
sinC＝ ＝ ＝ ，
cosC＝ ＝ ＝ ，因此选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
3．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是
（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后计算出自变量为0所对应的函数值，
再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（8，3），
∴﹣16+16+c＝3，
∴c＝7，
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+8，
当x＝0时，y＝﹣x2+7x+3＝3；
所以点（6，3）在抛物线y＝﹣x2+4x+3上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
4．（4分）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向
5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（
）
A．10海里 B．5 海里 C．5海里 D． 海里
【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义
即可得到结论．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，BC＝5海里，
∴AC＝BC•tan60°＝5 （海里），
即海监船C与货轮A的距离是5 海里，
故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形
并求解．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含45°角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含30°角的直角三角形必相似
【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．
【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例；
B、两个含45°角的等腰三角形，故不一定相似；
C、两个菱形的对应角不一定相等，故此选项错误；
D、两个含30°角的直角三角形必相似．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
6．（4分）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[ ]＝0，[﹣2 ]＝﹣3．根据
你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（ ）
A．函数y＝[x]的定义域是一切整数
B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线
C．点（2 ，2）在函数y＝[x]图象上
D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大
【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
函数y＝[x]的定义域是一切实数，故选项A错误；
函数y＝[x]的图象是分段函数，故选项B错误；点（2 ，2）在函数y＝[x]图象上；
函数y＝[x]的函数值y随x的增大不一定增大，如x＝1.6时，x＝1.5时，即x＝5.2和x＝1.7
时的函数值相等；
故选：C．
【点评】本题考查函数及其图象、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果a：b＝2：3，那么代数式 的值是 ．
【分析】根据已知条件得出 ＝ ，再把要求的式子化成 ＝ ﹣1，然后代值计算即可．
【解答】解：∵a：b＝2：3，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ﹣1＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，BD＝1.7，
∴ ，
即 ，
解得：BF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．（4分）已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是 2 ﹣ 2 ．
【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝
AB，把AB＝4代入计算即可．
【解答】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝ AB＝ ﹣5，
故答案为：2 ﹣7．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
10．（4分）已知二次函数y＝a（x+ ）2﹣1的图象在直线x＝﹣ 的左侧部分是下降的，那么
a的取值范围是 a ＞ 0 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到a的取值范围，本题得以解
决．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+ ）4﹣1，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣ ，
∵二次函数y＝a（x+ ）7﹣1的图象在直线x＝﹣ 的左侧部分是下降的，
∴a＞0，
故答案为：a＞0
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形
DECB的面积相等，BC＝2 ，那么DE的长是 2 ．【分析】先根据题意得到 ＝ ，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得
＝（ ）2＝ ，然后利用比例的性质可求出DE的长．
【解答】解：∵△AED和四边形DECB的面积相等，
∴ ＝ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
即 ＝ ，
∴DE＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通
过相似比进行几何计算．
12．（4分）在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那
么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是 2 米．
【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过B作BC⊥AD于C，
∵山坡AB的坡度为i＝1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）是4米，
∴水平距离AC＝6米，铅垂高度BC＝2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡度的定义，学会利用勾股定
理解决问题．
13．（4分）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看
甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是 （ 3 0 ﹣ 1 0 ） 米．
【分析】过C作CE⊥AB于E，先由矩形和含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再
由等腰直角三角形的性质求出AB的长，即可得出结果．
【解答】解：如图，甲楼为CD，BD＝30米，∠CAF＝30°，
过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，
∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，
∴AE＝ CE＝10 ，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝30米，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10 ）米，
即甲楼的高为（30﹣10 ）米，
故答案为：（30﹣10 ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过题意画出图形和作辅助线
构造出直角三角形是解题的关键．
14．（4分）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC＝ ，那么DP的长是 ．
【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB＝ ，求得BP＝
4，PC＝6，在Rt△CDP中，tanC＝ ，CD＝ ，得出 ＝ ，即可得出
结果．
【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，
∴AP∥CD，
∴∠C＝∠APB，
∵AB⊥BC，
∴tan∠APB＝ ，
∵tanC＝ ，
∴ ＝ ，
∴BP＝2，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，
在Rt△CDP中，tanC＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：DP＝ 或DP＝﹣ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握三角
函数定义是解题的关键．15．（4分）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边
AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是 4 ﹣ 6 ．
【分析】过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，根据等边三角形的性质得到∠C＝
∠CAB＝60°，CM＝BM＝ BC＝1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM＝ ，
设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，MN＝DG＝x，AN＝ ﹣x，接着证明
△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质得 ＝ ，解得x＝4 ﹣6，然后证明
△ADE为等边三角形，从而得到AD＝DE．
【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝ ，
∴AM＝ CM＝ ，
设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，
易得四边形DGMN为矩形，
∴MN＝DG＝x，
∴AN＝AM﹣MN＝ ﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝3 ，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝4 ﹣6．
故答案为4 ﹣6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的
关系；也考查了等边三角形和正方形的性质．
16．（4分）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方
形ABCD的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是 ．
【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH
边长是a，则大正方形ABCD的边长是 a，设AE＝BF＝x，利用勾股定理求出x，最后
利用熟记函数即可解答．
【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，
∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是 a，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AE＝BF，
设AE＝BF＝x，
在Rt△AEB中，AB3＝AE2+BE2，
即13a3＝x2+（x+a）2
解得：x ＝2a，x ＝﹣2a（舍去），
4 2
∴AE＝2a，BE＝3a，
∴∠ABE的余切值＝ ，
故答案为： ．【点评】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运
用锐角三角函数的定义求解．
17．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻
折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8， ＝ ，那么MN的
长是 4 ．
【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换
得到∠B＝∠BMD，则 DB＝DM，接着利用比例的性质得到 FM＝DM，然后证明
△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长．
【解答】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，
∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD，
∴∠B＝∠BMD，
∴DB＝DM，
∵ ＝ ，
∴ ＝4，
∴ ＝2，
∴FM＝DM，
∵MN∥DE，
∴△FMN∽△FDE，
∴ ＝ ＝ ，
∴MN＝ DE＝ ．故答案为4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的
关系；也考查了折叠的性质．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，
sin∠ADE＝ ，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是 9 ﹣ 6 ．
【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角
形求出BH，CH即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6 ，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝ ＝ ，
∴EF＝4，
∴DF＝ ＝ ＝3，
∵S△CDE ＝8，
∴ •CD•EF＝7，
∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CH＝9 ，
∴BC＝CH﹣BH＝7 ﹣6．
故答案为：4 ﹣6．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题．
三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78
分）
19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ ×7﹣ ﹣ |
＝ ﹣ + ﹣
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）如图，在 ▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．
（1）求BF：DF的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ．求向量 （用向量 、 表示）．
【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性
质得比例式，从而解得BF：DF；
（2）先求出BF＝ BD，再利用向量的加法可得答案．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1.2，
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ，
∴ ；
（2）∵BF：DF＝7：3，
∴DF＝ BD，
∵ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形
的判定与性质是解题的关键．
21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝
﹣1．
（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶
点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐
标；
（2）设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的
原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2＝ON2＝2，MN2＝4，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，4）．
∴ ，解得 ，∴抛物线的表达式为y＝x3+2x+2，
∵y＝x6+2x+2＝（x+6）2+1，
∴顶点M（﹣3，1）；
（2）∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，
∴设新抛物线的解析式为y＝（x+7）2+1﹣m，
把（2，0）代入得，
∴m＝2，
∴顶点N为（﹣7，﹣1），
∵M（﹣1，5），
∴OM2＝（﹣1）2+12＝8，ON2＝（﹣1）4+（﹣1）2＝3，MN2＝27＝4，
∴OM＝ON，OM2＝（﹣8）2+ON2＝MN7，
∴△MON是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次
函数图象上点的坐标特征，求得顶点M、和顶点N的坐标是解题的关键．
22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一
段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得
限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得
起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯
形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；
（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，∠DAB＝30°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴AF＝ DF＝ ，
∴AE＝AF﹣EF＝（ x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE•tan37°，
∴x＝（ x﹣220）×0.75，
解得x＝60（8 +4）＝（180 ，
∴AE＝ x﹣220＝（320+240 ，
FB＝x＝（180 +240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+240 +220+180
＝780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒＝ 小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷ ≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题
的关键．
23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交
于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；
（2）AF•CD＝EF•AC．
【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF
＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；
（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，
∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到 ＝ ，然后证明AD＝
AB＝CD，从而得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，
∴ ＝ ，
而∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴∠AEF＝∠BDF，
∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠BEC；
（2）∵△AFE∽△BFD，
∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，
∵EB＝EC，AB＝AD，
∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，
∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，
∴△AEF∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴EF•AC＝AB•AF
∵∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，
∴EF•AC＝CD•AF，
即AF•CD＝EF•AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通
过相似比进行几何计算．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶
点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交
于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝ ，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为（t t＞1），如
果△ACM的面积是 ，求点M的坐标．
【分析】（1）用配方法配成顶点式，即可得出结论；
（2）先判断出△CDH∽△BCO，得出 ，求出OC＝3，即可得出结论；（3）连接OM，利用三角形的面积的和差，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x2﹣2x+7）+4＝a（x﹣1）3+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（7，
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
∴A（8，0），
对于y＝ax2﹣7ax+a+4，
令x＝0，则y＝a+6，
∴C（0，a+4），
如图3，
过点D作DH⊥y轴于H，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCH+∠OCB＝90°，
∴∠CDH＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠CHD＝90°，
∴△CDH∽△BCO，
∴ ，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝ ，
∵D（3，4），
∴DH＝1，
∴ ，
∴CO＝7，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣5，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+7；（3）如图2，
由（2）知，a＝﹣1，
∴C（7，3），
∴OC＝3，
连接OM，设点M的横坐标为t（t＞5），
∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+6，
∵△ACM的面积是 ，
∴S△ACM ＝S△OCM +S△OAM ﹣S△AOC
＝ ×3t+ 2+2t+8）﹣ ×8×3
＝ ，
∴t＝ ，
∴M（ ， ）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，相似三角形的判定和性质，锐角三角
函数，几何图形的面积的计算，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以
CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN
＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝6+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝ ，
∴正方形CDEF的面积为 ．
（2）如图2中，∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴CB5＝CG•CA，
∴CG＝ ，
∴BG＝ ＝ ＝ ，
∴AG＝AC﹣CG＝ ，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝ ＝ ＝ ，
∴AM＝ ，
∵AB＝ ＝ ＝13，
∴sin∠ABM＝ ＝ ．
（3）如图3中，延长CA到N．∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝6x﹣7，
在Rt△ADE中，∵AE2＝AD6+DE2，
∴x2+（12﹣x）4＝（2x﹣7）4，
∴x＝1+ 或6﹣ ，
∴CD＝1+ ．
【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属
于中考压轴题．
