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专题07 算术平方根的非负性
1．设 的三条边为a，b，c，且a，b，c，满足关系式： ，则
的形状为 （ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由非负数的性质可求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：∵ +|4﹣b|+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，4﹣b＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
由勾股定理的逆定理可知， ABC是直角三角形．
故选：D． △
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．
2．△ABC的三边长a，b，c满足 +（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．26
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆
定理证明 ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
【详解】△
解：∵ +(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S ABC= =30．
△
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满
足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
3．若等腰三角形两边x、y满足 ，等腰三角形的周长为______．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用绝对值的非负性求出x和y的值，当等腰三角形的三边分别为2、2、4时，构不成三角形三边，
所以等腰三角形的三边分别为4、4、2，此时三角形周长为10．
【详解】
解：∵ ，
∵x-2≥0,2-x≥0，
∴x=2，
∴ ，
当等腰三角形的三边分别为2、2、4时，构不成三角形三边，
∴等腰三角形的三边分别为4、4、2，此时三角形周长为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查绝对值得非负性，三角形三边的关系，解题的关键是求出x和y的值，排除当等腰三角形
的三边分别为2、2、4时这一种情况．
4．若 与 互为相反数，则 _________.
【答案】0
【解析】
【分析】先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次
方程组求出 的值．
【详解】
解： 与 互为相反数，
，
，
② ①得， ，
解−得 ，
把 代入①得， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，以及二元一次方程组的解法，根据几个非
负数的和等于0，则每一个算术都等于0列式是解题的关键．
5．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足 ，则这个三角形的形
状是_______．
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】
根据绝对值、完全平方数和算数平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆
定理判断即可．
【详解】
解：由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴三角形为直角三角形．
故答案为直角三角形．【点睛】
本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题
的关键．
6．若a，b为实数，且 ，则 的值______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性可求出a与b的值，然后代入所求式子即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：b﹣2≥0，2﹣b≥0，
∴b≥2，b≤2，
∴b＝2，
∴a＝0+0+1＝1，
∴ab＝12＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查算术平方根的非负性，解题的关键是正确理解算术平方根的非负性得到b的值，本题属
于基础题型．
7．实数a、b满足 ，则 的最大值为_________．
【答案】52．
【解析】
【分析】
首先化简 ，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|
a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出 的最大值．
【详解】
解：∵ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴ 的最大值为 ，
故答案为52．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化
简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽
方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
三、解答题(共0分)
8．已知：线段a、b、c且满足 ．求：
(1)a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据非负数性质可得a、b、c的值；
（2）把a、b、c的值代入计算即可得到答案．
(1)
解：∵ ，
∴ ，即 ；
(2)
解：∵ ，
∴
，
∵ 的平方根是 ，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】
本题主要考查非负数的性质和平方根，根据非负数性质得出相应算式是关键，二次根式的化简与
运算是根本技能．
9．若一个三角形的三边a、b、c满足 ，试判断此三角形的形状．
【答案】此三角形是直角三角形．
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列出方程，求出a，b，c的值，再根据勾股定理看两小边的平方和是否等于
最长边的平方即可．
【详解】
解：∵一个三角形的三边a、b、c满足 ，
∴2a-10=0，12-b=0，c-13=0，
解得：a=5，b=12，c=13．
∵52+122=132，
即a2+b2=c2，
所以此三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质及勾股定理的逆定理．（1）初中阶段的三种非负数：绝对值，完全平方数、二次根式；（2）勾股定理的逆定理：c2=a2+b2．
10．若x，y是实数，且 ，求 的值．
【答案】－1
【解析】
【分析】
先根据算术平方根的非负性即可确定x的值，进而求出y的取值范围，再根据绝对值的性质即可得
出 的值．
【详解】
解： ，
，
，
1-y>0，
．
【点睛】
本题主要考查了分式的约分，算术平方根的非负性，实数的性质，根据算术平方根的非负性求得
x,y的值是解题的关键．
11．在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示，
化简：|c|- -|a-b|．
【答案】2a
【解析】
【分析】
首先根据数轴可以确定 的符号，以及各个绝对值数内的数的大小，然后即可去掉绝对值符号，
从而对式子进行化简．
【详解】解：根据数轴可以得到： 且
∴
=2a．
12．已知 ，求 .
【答案】
【解析】
【分析】
利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值再带入求出即可.
【详解】
【点睛】
本题利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值是突破口，然后带入运算即可.
13．已知数 满足 ，求 ．
【答案】2017.
【解析】
【详解】
试题分析：
由二次根式的意义可得 ，即 ，由此可得 ，从而原等式化为：
，由此可得 ，即 ；
试题解析：
由二次根式的意义可得 ，即 ，
∴ ，∴原等式可化为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
14．已知a,b为实数，且 ，求a2005-b2006的值.
【答案】-2
【解析】
【详解】
试题分析：根据被开方数大于等于0，求出b的取值范围，再根据非负数的性质列式求出a、b的
值，然后代入代数式进行计算即可得解．
试题解析：解：由题意得：1﹣b≥0，∴b≤1，∴原式可化为 ，由非负数的性质
得：1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2005﹣b2006=（﹣1）2005﹣12006=﹣1﹣1=﹣2．
15．代数式 有最小值吗？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明
理由.
【答案】有， .
【解析】
【分析】
把代数式配成完全平方式，化简得到几个非负数式子，然后利用非负数的性质，即可求出代数式
的最小值.
【详解】
解：有最小值；
∵
=
= ；
∵ ， ， ，∴当 ， ， 时，代数式有最小值，
即当 ， ， ，代数式有最小值；
最小值为： ；
【点睛】
本题考查了非负性的应用，整式的化简，以及利用完全平方式进行化简，解题的关键是熟练运用
非负性进行化简.
