专题09二次根式的混合运算综合题（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练_培优方案2022-2023学年八年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）

专题 09 二次根式的混合运算（综合题） 易错点拨 知识点：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  a  0，b＞0 a a b b  (a0,b0) b b 细节剖析： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）. (4)(9)  4 9 如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同 类二次根式 . 细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后 23 25 2 (135) 2  2 合并同类二次根式.如 . 易错题专训 一．选择题 1．（2021秋•晋安区校级期末）下列计算中正确的是（ ）A． B． C． D． 解：A. ÷ ＝3，故此选项不合题意； B．（4 ）2＝32，故此选项不合题意；， C. ＝4，故此选项符合题意； D.2 +2 ，无法合并，故此选项不合题意． 故选：C． 2．（2021秋•西安期末）下列等式成立的是（ ） A．2+2 ＝2 B． ÷ ＝2 C． ＝3 D． × ＝ 解：A、2与2 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、原式＝ × ＝3 ，故此选项不符合题意； C、原式＝3，故此选项符合题意； D、原式＝ ＝ ，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ） A． ＝ B． ＝﹣2 C． ＝ D． × ＝ 解： ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ，故选项A正确，符合题意； ＝2，故选项B错误，不符合题意； ÷ ＝ ，故选项C错误，不符合题意； ＝ ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（ ） A． + ＝ B．3 ﹣ ＝3 C． ＝ ﹣ ＝3﹣1＝1 D． ＝ 解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．3 ﹣ ＝2 ，此选项计算错误； C． ＝ ＝ ，此选项计算错误；D． ＝ ＝ ，此选项计算正确； 故选：D． 5．（2019秋•沈阳月考）下列运算正确的是（ ） A． B． ＝5 C． ＝3 D． 解：A. ＝6，符合题意； B. 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C.3 + ＝4 ，； D.2 × ＝4，不符合题意． 故选：A． 6．（2018秋•历下区期末）下列算式中，正确的是（ ） A．3 ﹣ ＝3 B． ＝ C． D． ＝4 解：A．3 ﹣ ＝2 ，此选项错误； B． + ＝2+3＝5，此选项错误； C． ，此选项正确； D． ＝ ＝2，此选项错误； 故选：C． 7．（2021春•嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（ ） A．3+2 ＝5 B． ﹣ ＝3 C．（2 ）2＝12 D． ＝±3 解：A. ≠ ，无法进行运算，故A不符合题意． B. ≠3，故B不符合题意． C. ，故C符合题意． D. ，故C不符合题意． 故选：C． 二．填空题8．（2021秋•岳麓区校级期末）观察下列等式： ① ， ② ， ③ ， …… 请你根据以上规律，直接写出第⑤个等式 1 1 ﹣ 2 ＝（ ﹣ ） 2 ． 解：①原式＝2﹣2 +1＝（ ）2﹣2 +12＝（ ﹣1）2， ②原式＝3﹣2 +2＝（ ）2﹣2 +（ ）2＝（ ﹣ ）2， ③原式＝4﹣2 +3＝（ ）2﹣2 +（ ）2＝（ ﹣ ）2， ......， 根据以上规律，第⑤个等式为： 6﹣2 +5＝（ ）2﹣2 +（ ）2＝（ ﹣ ）2， 即11﹣2 ＝（ ﹣ ）2， 故答案为：11﹣2 ＝（ ﹣ ）2． 9．（2021秋•昌平区期末）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”． （1）1﹣π与 π 互为“匀称数”； （2）已知 ，那么m与 ﹣ 1 互为“匀称数”． 解：（1）∵如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”， ∴设1﹣π与x互为“匀称数”， 则1﹣π+x＝1， 则x＝π， 故1﹣π与π互为“匀称数”； 故答案为：π； （2）∵ ， ∴m﹣1＝﹣ ， 则m﹣1＝﹣（ ﹣1）， 解得：m＝﹣ +2， ∵﹣ +2+（ ﹣1）＝1，∴m与 ﹣1互为“匀称数”． 故答案为： ﹣1． 10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（ ﹣ ）（ + ）＝ 2 ． 解：原式＝5﹣3＝2， 故答案为2． 11．（2019•天津）计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于 2 ． 解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2． 12．（2018秋•武侯区期中）观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题： ＝ ＝ ﹣1； ＝ ＝ ； ＝ ＝2﹣ （1）在计算结果中找出规律 ＝ ﹣ （n表示大于0的自然数） （2）通过上述化简过程，可知 ﹣ ＞ ﹣ （填“＞”、“＜”或“＝”）； 解：（1） ＝ ＝ ， 故答案为： ； （2）∵ ， ， ∴ ， 故答案为：＞． 13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且 与 都是整数，则a的值是 或 ． 解：∵ 是正整数， ∴a是含有﹣2 的代数式； ∵ 是整数，∴化简后 为含有2 的代数式， ∴a＝ 或 ． 故答案为： 或 ． 14．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6 × ＝ 4 ， ÷（2﹣ ）＝ + 1 ． 解：6 × ＝2 ＝4 ， ÷（2﹣ ） ＝ ＝ ＝ ＝ +1， 故答案为：4 ， +1． 15．（2018•邵阳县模拟）计算： ﹣2（ +2）2014（ ﹣2）2015＝ 4 ﹣ ． 解： ﹣2（ +2）2014（ ﹣2）2015， ＝ ﹣2×[（ +2）2014（ ﹣2）2014（ ﹣2）]， ＝ ﹣2[（﹣1）2014（ ﹣2）]， ＝ ﹣2 +4， ＝4﹣ ； 故答案为：4﹣ ． 三．解答题 16．（2022•沙坪坝区校级开学）计算： （1）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0； （2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2； （3）（ ﹣ ）× ； （4）2（ ﹣ ）﹣ （2 ﹣4 ）． 解：（1）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0＝4﹣（﹣1）+1 ＝4+1+1 ＝6； （2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2 ＝（a8+9a8）÷a2 ＝10a8÷a2 ＝10a6； （3）（ ﹣ ）× ＝（3 ﹣ ）×2 ＝2 ×2 ＝4×6 ＝24； （4）2（ ﹣ ）﹣ （2 ﹣4 ） ＝2 ﹣3 ﹣ +2 ＝4 ﹣4 ． 17．（2022春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程： a＝ ， 1 a＝ ， 2 a＝ ， 3 …… （1）按照此规律，写出第五个等式a＝ ﹣ ； 5 （2）按照此规律，若S＝a+a+a+…+a，试用含n的代数式表示S； n 1 2 3 n n （3）在（2）的条件下，若x＝ S+ a，试求代数式x2+2x的值． 2 1 解：（1）a＝ ﹣ ． 5故答案为： ﹣ ； （2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：a＝ ＝ ﹣ n ， ∴S＝a+a+a+………+a＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +………+ ﹣ ＝1﹣ ； n 1 2 3 n （3）∵S＝1﹣ ，a＝1﹣ ， 2 1 ∴x＝ S+ a＝ ﹣ + ﹣1＝ ﹣1， 2 1 ∴x2+2x ＝（x+1）2﹣1 ＝（ ﹣1+1）2﹣1 ＝6﹣1 ＝5． 18．（2021秋•丹江口市期末）观察下列等式： 第1个等式：a＝ ﹣1， 1 第2个等式：a＝ ＝ ， 2 第3个等式：a＝ ＝2﹣ ， 3 … 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第4个等式：a＝ ＝ ﹣ 2 ，并通过计算验证结果是否正确； 4 （2）第n个等式：a＝ ＝ ，并通过计算证明结果； n （3）计算a+a+a+…+a． 1 2 3 99 解：（1）a＝ ＝ ﹣2， 4＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ＝ ﹣2； （2）由题意可得， a＝ ＝ ， n ＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ＝ ； （3）a+a+a+…+a 1 2 3 99 ＝ ﹣1+ + +…+ ＝﹣1+ ＝﹣1+10 ＝9． 19．（2022春•南昌期中）我们将（ + ），（ ﹣ ）称为一对“对偶式“．因为（ + ）（ ﹣ ）＝（ ）2﹣（ ）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（ + ） 和（ ﹣ ）中的“ ”去掉．例如： ＝ ＝ ＝ ＝2+ ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．（1）分母有理化 的值为 3+ 2 ． （2）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为 x．求x+ 的值． 解：（1） ＝ ＝ ＝3+2 ， 故答案为：3+2 ． （2）∵点B关于点A的对称点为C， ∴x＝2﹣ ， ∴x+ ＝2﹣ + ＝2﹣ + ＝2﹣ + ＝2﹣ +2+ ＝4． 20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式 子的平方，如：3+2 ＝（1+ ）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2m n ； （2）试着把7+4 化成一个完全平方式． （3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算： ． 解：（1）a+b ＝（m+n ）2， ∵a+b ＝m2+3n2+2mn ， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2；2mn； （2）7+4 ＝（2+ ）2；（3）∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴a＝6，b＝±4， ∴ ＝ ＝ ＝2± ．