专题09二次根式的混合运算综合题（原卷版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练_培优方案2022-2023学年八年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）

专题 09 二次根式的混合运算（综合题） 易错点拨 知识点：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  a  0，b＞0 a a b b  (a0,b0) b b 细节剖析： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比 相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . （2）被开方数a、b一定是 （在分母上时只能为正数）. (4)(9)  4 9 如 . 2.加减法 将二次根式化为 后，将 的系数相加减， 和 不变， 即 细 节 剖 析 ： 二 次 根 式 相 加 减 时 ， 要 先 将 各 个 二 次 根 式 化 成 23 25 2 (135) 2  2 ，再找出 ，最后 .如 . 易错题专训 一．选择题 1．（2021秋•晋安区校级期末）下列计算中正确的是（ ）A． B． C． D． 2．（2021秋•西安期末）下列等式成立的是（ ） A．2+2 ＝2 B． ÷ ＝2 C． ＝3 D． × ＝ 3．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ） A． ＝ B． ＝﹣2 C． ＝ D． × ＝ 4．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（ ） A． + ＝ B．3 ﹣ ＝3 C． ＝ ﹣ ＝3﹣1＝1 D． ＝ 5．（2019秋•沈阳月考）下列运算正确的是（ ） A． B． ＝5 C． ＝3 D． 6．（2018秋•历下区期末）下列算式中，正确的是（ ） A．3 ﹣ ＝3 B． ＝ C． D． ＝4 7．（2021春•嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（ ） A．3+2 ＝5 B． ﹣ ＝3 C．（2 ）2＝12 D． ＝±3 二．填空题 8．（2021秋•岳麓区校级期末）观察下列等式： ① ， ② ， ③ ， …… 请你根据以上规律，直接写出第⑤个等式 ． 9．（2021秋•昌平区期末）我们规定：如果实数a，b满足a+b＝1，那么称a与b互为“匀称数”． （1）1﹣π与 互为“匀称数”；（2）已知 ，那么m与 互为“匀称数”． 10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（ ﹣ ）（ + ）＝ ． 11．（2019•天津）计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于 ． 12．（2018秋•武侯区期中）观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题： ＝ ＝ ﹣1； ＝ ＝ ； ＝ ＝2﹣ （1）在计算结果中找出规律 ＝ （n表示大于0的自然数） （2）通过上述化简过程，可知 ﹣ ﹣ （填“＞”、“＜”或“＝”）； 13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且 与 都是整数，则a的值是 ． 14．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6 × ＝ ， ÷（2﹣ ）＝ ． 15．（2018•邵阳县模拟）计算： ﹣2（ +2）2014（ ﹣2）2015＝ ． 三．解答题 16．（2022•沙坪坝区校级开学）计算： （1）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）2023+（π﹣2023）0； （2）[a3•a5+（3a4）2]÷a2； （3）（ ﹣ ）× ； （4）2（ ﹣ ）﹣ （2 ﹣4 ）．17．（2022春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程： a＝ ， 1 a＝ ， 2 a＝ ， 3 …… （1）按照此规律，写出第五个等式a＝ ； 5 （2）按照此规律，若S＝a+a+a+…+a，试用含n的代数式表示S； n 1 2 3 n n （3）在（2）的条件下，若x＝ S+ a，试求代数式x2+2x的值． 2 1 18．（2021秋•丹江口市期末）观察下列等式： 第1个等式：a＝ ﹣1， 1 第2个等式：a＝ ＝ ， 2 第3个等式：a＝ ＝2﹣ ， 3 … 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第4个等式：a＝ ，并通过计算验证结果是否正确； 4 （2）第n个等式：a＝ ，并通过计算证明结果； n （3）计算a+a+a+…+a． 1 2 3 99 19．（2022春•南昌期中）我们将（ + ），（ ﹣ ）称为一对“对偶式“．因为（ + ）（﹣ ）＝（ ）2﹣（ ）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（ + ） 和（ ﹣ ）中的“ ”去掉．例如： ＝ ＝ ＝ ＝2+ ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． （1）分母有理化 的值为 ． （2）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为 x．求x+ 的值． 20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式 子的平方，如：3+2 ＝（1+ ）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ； （2）试着把7+4 化成一个完全平方式． （3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算： ．